Тема 1.4.Скалярное произведение векторов
Литература: [1], § 8, стр. 25-28; [2], §8, стр. 30-31.
Основные определения, теоремы и формулы
Скалярным
произведением двух векторов называется
число, равное произведению их длин на
косинус угла между ними. Скалярное
произведение векторов
и
обозначается через
.
Итак, по определению
.
Теорема.
Для произвольного числа
и произвольных векторов
и
справедливы следующие равенства:
1)
,
2)
и
,
3)
Если
известны координаты векторов
и
относительно ортонормированного базиса,
то скалярное произведение этих векторов
равно сумме произведений их одноименных
координат, то есть, если
(
),
(
),
то
=
,
и
угол между этими векторами можно
определить по формуле:
.
Вопросы для самоконтроля
1. Дать определение угла между векторами.
2. чему равен угол между векторами, если хотя бы один из векторов нулевой?
3. Какой можно сделать вывод, если:
1)
=0;
2)
<0;
3)
>0?
4. Для каждого из случаев, приведенных в п.3 сформулируйте обратные утверждения. Справедливы ли они?
5. В чем состоит геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе?
6. Сравните свойства скалярного произведения векторов со свойствами умножения чисел. Перечислите общие свойства этих произведений. Какими свойствами умножения чисел скалярное произведение не обладает? Объясните почему.
7. Пусть
=
.
Следует ли отсюда, что
?
Пример
1. Доказать,
что вектор
ортогонален вектору
.
Решение.
Два
вектора ортогональны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение
равно нулю. Вычислим скалярное произведение
векторов
и
:
·
=
Следовательно,
векторы
и
ортогональны.
Пример
2. Треугольник
АВС задан векторами
и
.
Выразить через векторы
и
вектор
,
гдеAH
–
высота треугольника.
Р
ешение.
Выразим вектор
через векторы
и
:
=
+
=
+
.
Так как вектор
коллинеарен вектору
,
то
.
Тогда
=
+
.
Для нахождения величины
воспользуемся перпендикулярностью
векторов
и
.
Так как они перпендикулярны, то
=0,
т. е. (
+
)(
=0.
Отсюда
и
=
+
.
Задачи
Вычислить скалярное произведение векторов
=3
-2
и
=
+2
,
если векторы
и
образуют
угол φ=
и
.Вычислить скалярное произведение векторов
=3
-2
и
=
+2
,
если известны координаты векторов
и
в ортонормированном базисе:
(4,-2,-4),
(6,-3,2).В ортонормированном базисе даны векторы
и
.
Найти: 1)cos
,
.Известно, что векторы
,
,
ненулевые и вектор
не ортогонален векторам
и
.
При каком условии выполняется равенство
·
=
·
?В пространстве даны три некомпланарных вектора
,
и
.
Найти вектор
,
удовлетворяющий условиям:
·
=0,
·
=0,
·
=0.Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов: а)
=
;
б) (
+
)2=
+2
·
+
;
в) (
·
)2=
+
;
г)
(
·(
·
)
-
·(
·
))·
=0.
Какой угол образуют единичные векторы
и
,
если известно, что векторы
=
+2
и
=5
-4
взаимно перпендикулярны?Вычислите внутренние углы треугольника ABC и убедитесь, что треугольник равнобедренный, если
и
.Вычислите тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Дан параллелограмм ABCD. Дать геометрическое истолкование равенств: 1) (
)2
–
(
-
)2=4
·
;
2)
(
+
)2
+ (
-
)2=2(
2+
2);
3) (
)(
-
)=
2-
2.
Задачи повышенной трудности
Дан тетраэдр SABC. Известны координаты векторов
,
и
в ортонормированном базисе. Найти
высотуSH
этого тетраэдра.Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длину суммы оставшихся трех векторов.
Указание: попробуйте рассуждать методом от противного.
На окружности радиуса 1 с центром в точке O дано 2n+1 точек A1, A2, … , A2n+1, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Доказать, что
.
Указание: воспользуйтесь методом математической индукции.
Домашнее задание
Доказать, что ABCD – квадрат, если векторы
и
в ортонормированном базисе имеют
следующие координаты:
(3,5,4),
(-4
(-3,-5,-4).Вектор
образует с векторами
и
ортонормированного базиса
,
,
соответственно углы 1200
и 1350.
Найти угол, который образует вектор
с ортом
.ABCD – параллелограмм. Доказать, что диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны, если в ортогональном базисе
(0,6,-2),
(6,3,-1).