2.1. Наблюдения и оценка их результатов.

Результаты наблюдений за объектами техники представляют собой случайные величины, поскольку зависят от случайной комбинации различных факторов. Случайные величины могут быть непрерывными или дискретными. Непрерывная случайная величина может принимать любое численное значение. Дискретная – принимает только счетные (целые) значения. Например, число аварий может быть только целым.

Случайная величина обозначается обычно буквой (Х). Если проводить бесконечное количество измерений случайной величины Х, то множество их результатов представляет собой генеральную совокупность. На практике это невозможно, количество измерений имеет конечное значение (n). Набор измеренных значений (х₁, х₂, х₃ . . . х_n) называется выборкой объема (n) из генеральной совокупности, или просто выборкой. Если для описания множества результатов измерений или чисел используется ряд общих характеристик, вычисляемых на основании генеральной совокупности, то они называются параметрами, а если на основании данных выборки – то статистиками.

Одной из таких характеристик является среднее или среднеарифметическое значение измерений. Это среднее значение обычно обозначается (если случайная величина обозначена через х) и называется математическим ожиданием. Если выборка содержит всю генеральную совокупность, то среднее значение обозначается греческой буквой μ.

Кроме того, к числу характеристик относят интервал значений, медиану, частоту события, вероятность события, дисперсию и т.д.

Рассмотрим на примере, какие параметры применяются чаще всего и как они вычисляются.

В процессе измерения срока службы 50 ртутно-кварцевых ламп, получены следующие значения (упорядоченные) табл. 2.1.

Таблица 2.1. Результаты испытаний ламп. Таблица наблюдаемых значений.

n=50

3520	3710	3790	3840	3890	3940	3960	3980	4070	4250
3570	3730	3810	3850	3910	3950	3960	4010	4080	4280
3610	3750	3810	3880	3910	3950	3970	4010	4130	4360
3630	3770	3820	3880	3910	3950	3980	4020	4150	4390
3670	3780	3830	3880	3930	3960	3980	4050	4180	4460
здесь = 3854,6								=192730

Наибольшее значение 4460, а наименьшее 3520. Разность между максимальным и минимальным значением называется интервалом или вариацией (490). Среднее значение этих двух величин носит название середины интервала (для табл. 2.1 > 3990). Интервал является характеристикой разброса значений случайной величины х.

Число, которое делит ряд измерений на две равные части, называется медианой. В данном случае медиана берется равной 3935, что является средней величиной между двумя центральными 3930 и 3940. Если число n – нечетное, то центральное число и берется за медиану.

Ясное представление о ряде измерений позволяет получить таблица частот появления событий в каждом отрезке на всем интервале измерений. Для определения частот интервал разбивают на ряд отрезков, количество отрезков зависит от количества измерений n. Рекомендации для их выбора приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2.

Число измерений, n	Число интервалов, К
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

Таблица конечно не догма, а только ориентир. В нашем примере возьмем для простоты К=10, а интервал значений будем считать от 3500 до 4500. Затем подсчитывают количество измерений попавших в каждый интервал и эти величины называют наблюдаемой частотой. Чтобы далее не зависеть от натуральных значений результатов измерений наблюдаемая частота m_i пересчитывается в относительную m_i/n. Результат сводим в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Результаты обработки измерений срока службы ламп.

интервалы	3501-3600	3601-3700	3701-3800	3801-3900	3901-4000	4001-4100	4101-4200	4201-4300	4301-4400	4401-4500
наблюдаемая частота, mi	2	3	6	10	15	6	3	2	2	1
относительная частота, mi/n	0,04	0,06	0,12	0,20	0,30	0,12	0,06	0,04	0,04	0,02
накопленная частота, mi/n	0,04	0,10	0,22	0,42	0,72	0,84	0,90	0,94	0,98	1,00

На основании данных табл.2.3 строим график изменения относительной частоты по интервалам.

Полученная диаграмма в виде ломаной линии (столбиков в каждом интервале) носит название гистограммы дифференциального распределения. Ординаты на графике называются относительной частотой. Если гистограмма строится на основе генеральной совокупности, то относительная частота будет являться вероятностью попадания измерения внутрь определенного интервала. В этом случае число интервалов должно быть бесконечно большим, а ширина очень малой и ломаная линия превратится тогда в кривую, которая называется функцией распределения плотности вероятностей и обозначают эту функцию f(x). Значение х, при котором f(x) достигает максимального значения называется модой распределения. В данном примере мода  3950. Обычно мода (если она одна) соответствует наиболее часто встречающейся величине в измерениях.

Если относительные частоты суммировать от интервала к интервалу, то получаем накопленные частоты. Ломаная линия, построенная по данным табл.2.3. и отражающая изменения накопленной частоты, называется гистограммой интегрального (суммарного) распределения (рис. 2.1.). Если число измерений довести до бесконечности, а величину интервала сделать бесконечно малой, то гистограмма превратится в кривую интегрального распределения вероятности. Формула этой кривой F(х) носит название интегрального закона распределения.

Интегральное и дифференциальное распределения связаны между собой соотношением:

при этом

Интеграл F(x) численно равен площади под кривой f(x) слева от ординаты, соответствующей х. Иногда F(x) обозначают еще Р(х). Но чаще Р(х) обозначают данные полученные из выборки, а F(x) - из генеральной совокупности. Значение интегральной функции распределения в конкретной точке х_о будет равно вероятности того, что случайная величина Х будет меньше чем х_о.

Геометрически она представляет собой площадь под кривой дифференциального распределения от - до х_о.

Например, вероятность того, что срок службы ламп не превысит 4000 часов равна 0,75.

Обычно плотность распределения и функция распределения сосредоточены на определенном отрезке (а;b). За пределами этого отрезка f(x)=0. В примере (3500;4500). Вид функции плотности распределения зависит от характера измеряемой случайной величины.

Когда число измерений в выборке велико, то интервал (а;b) недостаточно характеризует разброс значений случайной величины х. Более удобной количественной характеристикой является дисперсия S², уравнение для которой при числе наблюдений n<30 имеет следующий вид:

,

а при числе наблюдений n>30

Если дисперсия вычисляется для генеральной совокупности, то обозначается ². Среднеквадратичное отклонение . Отношениеназывают коэффициентом вариации и обозначают черезC_.

Среднее значение  () иногда называютпервым начальным моментом функции распределения плотности вероятности. Значение ² носит название второго момента распределения. Если в выражении для S² разность принять в степениn, то при n=3 получают третий момент, который носит название асимметрии. При n=4 получают четвертый момент относительно среднего называемый эксцессом. Асимметрия указывает на симметрию графика относительно среднего арифметического, а эксцесс характеризует пологость кривой распределения плотности вероятности (островершинность).

Если переменная (у) равна сумме независимых переменных х₁, х₂, х₃...х_n

то

Это правило сложения полезно при анализе ошибок измерений.