Lection20
.docxЛекция 20. Применение определенного интеграла.
#1. Вычисление площади при помощи определенного интеграла.
Как известно, из предыдущей лекции, определенный интеграл это площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью абсцисс. Но применять это свойство интеграла нужно осторожно.
Пример. Вычислить площадь фигуры между функцией
и осью OX на отрезке
Попробуем решить эту задачу «в лоб». Очевидно, что такой резудьтат не может быть правильным результатом. Причина в графике функции Площадь между функцией и осью абсцисс состоит из двух частей. Первая часть это площадь на отрезке , вторая часть это площадь на отрезке . Как видно из графика, обе площади равны. Но когда мы вычисляем интеграл по отрезку , то вторая площадь входит в интеграл с отрицательным знаком и в итоге получается 0. Правильное решение Тот же результат, можно получить, используя следующую формулу:
Этот пример иллюстрирует следующий подход к вычислению площадей – площадь расположенная ниже оси абсцисс входит в интеграл с отрицательным знаком. Поэтому следует разделять положительную и отрицательную составляющие интеграла.
Вычисление площади фигуры, образованной графиками двух функций.
Если необходимо вычислить площадь фигуры, образованную графиками двух функций и ,
то следует применить следующую формулу.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченную следующими кривыми
Графики этих функций
Точки пересечения графиков функций находятся из решения уравнения:
Значения и являются очевидными решениями данного уравнения.
Площадь фигуры между графиками можно вычислить по формуле
#2. Вычисление площадей при параметрическом задании функции.
Предположим, площадь может быть вычислена при помощи интеграла
А подынтегральная функция может быть представлена в параметрическом виде
При этом
Площадь может быть вычислена при помощи интеграла
Пример. Вычислить площадь эллипса
Выделяем из формулы
Переменная изменяется на отрезке . Площадь можно вычислить по формуле
Но, эллипс имеет следующее параметрическое представление
Применим формулу (*), но при этом надо учесть отрезок для переменной x соответствует отрезку .
#3. Вычисление площадей в полярной системе координат.
Напомним, что в полярной системе координат положение точки на плоскости определяется двумя параметрами: – расстояние от точки до начала координат и – угол наклона радиус вектора точки (вектор от начала координат до точки) к оси абсцисс.
Полярная система координат связана с декартовой системой координат следующими формулами
И обратное соотношение
Предположим, в полярной системе координат задана функция на отрезке .Заметим, что в полярной системе координат отрезок определяет некоторый сектор. Площадь в полярной системе координат определяются формулой.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченную лемнискатой
Очевидно, площадь этой фигуры равна сумме площадей четырех равных частей
#4. Вычисление длин дуг при помощи определенного интеграла.
Если нужно вычислить длину некоторой кривой, то подход для решения этой задачи принимается такой же, как и в случае вычисления площадей. Кривую разбивают на отдельные части, считают эти части отрезками прямой, вычисляют длины этих отрезков и суммируют их длины. Результат будет тем более точным, чем меньшие по длине отрезки участвуют в разбиении.
В результате этого подхода получаем следующие формулы для вычисления длин дуг.
-
Кривая задана функцией на отрезке .
-
Кривая задана параметрическим способом на отрезке :
-
Кривая задана в полярной системе координат :
Пример. Вычислить длину окружности
1-й способ.
Представим уравнение окружности в виде «явной» функции.
Для применения первой формулы найдем производную функции
Кроме того, интегралом будем вычислять только четвертую часть от всей длины кривой, ту часть, которая лежит в первой четверти.
2-й способ.
Уравнение окружности в параметрической форме имеет вид
где, это угол радиус-вектора точки с осью абсцисс: .
Вычислим производные
Как и в предыдущем примере, интеграл будет вычислять только четвертую часть от всей длины.
3-й способ.
Уравнение окружности в полярной системе координат имеет вид
Заметим, что функция , поэтому .
Пример. Вычислить длину кардиоиды.
,
Вычисляем производную
Подставляем в интеграл и учитываем, что интеграл будет вычислять только половину дуги.