METODIChKA_Nachertat_Geometria

Табл. 2 (продолжение 2)

24

Табл. 2 (продолжение 3)

25

6.Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Чтобы построить эту линию, необхо-

димо определить две общие точки, принадлежащие данным плоскостям. Рассмотрим не-

сколько случаев решения этой задачи при различном задании пересекающихся плоскостей.

Если одна из плоскостей проецирующая (рис.31), то одна из проекций линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом.

Одна из пересекающихся плоскостей – плоскость общего положения, задана треугольником (параллельными или пересе-

кающимися прямыми), вторая плоскость – проецирующая, зада-

на проецирующим следом (рис.31). Одна из проекций линии пе-

ресечения совпадает с проецирующим следом, а общие точки 1

и 2 лежат на сторонах треугольника. Прямая 1-2 – это линия Рис. 31

пересечения плоскостей β (АВС) и ά (f2ά).

В случае, когда пересекающиеся плоскости общего положения заданы любым спосо-

бом, для нахождения общих точек применяются вспомогательные секущие плоскости – по-

средники. В качестве плоскостей посредников выбирают две плоскости частного положения.

Решение этой задачи состоит из трех последовательно выполняемых операций:

-рассечь плоскости двумя вспомогательными плоскостями,

-построить линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданными,

-найти точки пересечения этих построенных линий и провести через них искомую

прямую.

Рис. 32

На рис.32 показан пример решения задачи. Плоскости общего положения ά и β рассе-

чены вспомогательной горизонтальной плоскостью ε. Эта плоскость пересекает плоскость ά по прямой 1-2, а плоскость β – по прямой 3-4. Прямые 1-2 и 3-4 лежат в плоскости ε и пере-

секаются в точке К. Это и будет одна из искомых общих точек, принадлежащих обеим плос26

костям ά и β. Повторив построение с помощью второй вспомогательной плоскости σ полу-

чим вторую общую точку L. Прямая КL – искомая линия пересечения плоскостей ά и β. На рис.32,а построения показаны на наглядном изображении, на рис.32,б – на ортогональном эпюре.

7.Пересечение прямой линии с плоскостью.

Задача на нахождение точки пересечения прямой линии с плоскостью является основ-

ной позиционной задачей начертательной геометрии. Она входит составной частью в реше-

ние многих задач в различных разделах курса. От того, насколько хорошо она будет освоена,

зависит успешное изучение последующего материала. В общем виде решение этой задачи

состоит из трех последовательно выполняемых операций:
- через данную прямую проводим вспомогательную проеци-
рующую плоскость;
- строим линию пересечения данной плоскости и вспомога-
тельной;
- определяем точку пересечения данной прямой с построен-
ной линией пересечения плоскостей.
На рис.33 показано решение задачи на ортогональном эпюре.
Дана прямая ℓ и плоскость ά (АВС). Через прямую проведена
горизонтально-проецирующая плоскость ε. Горизонтальный след	Рис. 33
плоскости ε1 совпадает с горизонтальной проекцией прямой ℓ. По-
строена прямая 1-2 линия пересечения данной плоскости ά и вспо-
могательной плоскости ε. Сначала отмечены горизонтальные проек-
ции точек 11 и 21 затем по линиям проекционной связи фронтальные
проекции 12 и 22. Отмечена точка К2 фронтальная проекция точки
пересечения данной прямой с построенной прямой 1-2, и по линии
проекционной связи найдена ее горизонтальная проекция К1.
Решение задачи должно завершиться определением видимых
и невидимых участков на проекциях данной прямой. Для этого на
фронтальной проекции на прямых АВ и ℓ возьмем конкурирующие	Рис. 34

точки 3 и 4 (рис. 34) на фронтальной проекции точка 4 закрывает точку 3, так как у нее коор-

дината Y больше (см. на горизонтальную проекцию этих точек), поэтому прямая ℓ видимая до точки пересечения с плоскостью треугольника АВС (т. К2). Для установления видимости на горизонтальной проекции возьмем конкурирующие точки 5 и 6 на прямых ℓ и ВС. Коор27

дината Z точки 5 меньше координаты Z точки 6 (см. фронтальные проекции этих точек), т.е.

точка 5 ниже точки 6, поэтому прямая ℓ – невидимая.

Следует отметить частный случай решения задачи на пересечение прямой с плоско-

стью, когда прямая занимает проецирующее положение. В этом случае одна из проекций ис-

комой точки оказывается известной, остается определить положе-

ние второй проекции.
На рис.35 прямая m в горизонтально-проецирующем поло-
жении. Горизонтальная проекция К1 точки ее пересечения с плоско-
стью тоже известна – она находится в той точке, в которую проеци-
руется вся прямая. Для определения фронтальной проекции иско-
мой точки проводим произвольную плоскость ∑1. Находим линию
1-2 пересечения плоскости ∑ и плоскости АВС, а затем находим
фронтальную проекцию точки К2.	Рис. 35

Задача. Построить линию пересечения 2-х плоскостей ά (∆ АВС) и β (m//n) (рис 36).

Рис. 36

Решение задачи сводится к нахождению точек пересечения прямой n с плоскостью ά и

прямой m с плоскостью ά.

8. Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающим-

ся прямым плоскости. Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плос-

кость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций

28

(см. разд.3, рис. 16), то пересекающимися прямыми плоскости, которые нужно взять для по-

строения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная проекция

прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

Это правило проиллюстрировано на рис.37 в форме ре-
шения задачи: через точку А(А1;А2) провести прямую, перпен-
дикулярную плоскости ά. Плоскость ά на рис.37 задана тре-
угольником ά (ВСD).
В плоскости ά проведены горизонталь h (h2,h1) и фрон-
таль f (f1,f2) , затем через А1 проведена горизонтальная проек-
ция перпендикуляра p1 под прямым углом к h1, а через точку
А2 фронтальная проекция перпендикуляра p2 под прямым уг-
лом к f2. Прямые p1 и p2 есть проекции искомого перпендику-
ляра р.	Рис. 37

9. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит перпендику-

ляр к другой.

Пусть через данную прямую m необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости ά заданной треугольником ∆ВСD (рис.38).

Для решения задачи достаточно на прямой m

взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости ά.

Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость β,

которая содержит прямую р, перпендикулярную плос-

кости ά, следовательно, плоскости β и ά взаимно пер- Рис. 38

пендикулярны.

После изучения выше изложенного материала разделов 6-9 (стр. 26-29) Вы можете приступить к выполнению самостоятельной графической работы Эпюр1(лист 3).

29

Графическая работа Эпюр1( лист 3).

1)Содержание задания Эпюра 1 (лист 3)

В задании необходимо выполнить решение двух задач:

- через прямую ЕF провести плоскость перпендикулярную плоскости ά (∆АВС). По-

строить линию пересечения этих плоскостей и установить их видимость.

- построить сечение пирамиды SABC плоскостью ά (m//n). Установить видимость

2)Требования к выполнению графической работы.

Рекомендации к оформлению задания.

Задание выполняется на формате А3 (297х420) карандашом. Надписи на чертеже вы-

полняются шрифтом согласно ГОСТ 2.304-68.

Варианты координат для выполнения задачи 1 даны в табл.3.

Варианты заданий для выполнения задачи 2 даны в табл.4.

Студенту вариант для выполнения графической работы выдает преподаватель.

Рекомендации к выполнению задания.

Перед тем, как приступить к выполнению работы, необходимо изучить материал, из-

ложенный на стр. 26…29

Пример выполнения графической работы Эпюр 1 (лист 3) смотрите на рис. 42.

Задача 1.

По заданным координатам (см. табл.3) построить проекции точек А, В, С, Е, F.

Две плоскости взаимно перпен-

дикулярны, если одна из них содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости.

Поэтому наша задача из точки Е опус-

тить перпендикуляр на пл. ∆АВС. Для выполнения этого воспользуемся сле-

дующим утверждением.

- прямая перпендикулярна плос-

кости, если она перпендикулярна двум прямым, которые принадлежат этой плоскости

- в проекциях прямой угол не из-

меняется только с прямыми, которые

Рис. 39

30

Рис. 40

параллельны плоскостям проекций, т.е. с горизонталью и фронталью.

Выходя из этого, проводим горизонталь h(h1;h2) и фронталь f(f1;f2

Потом из точки Е2 проводим прямую n2

перпендикулярно f2, а из точки Е1 прямую n1

перпендикулярно к h1. Решение этого этапа даны на рис.39.

Плоскость β (ЕF Х n) перпендику-

лярна пл. ά (∆АВС).

Теперь приступим к построению ли-

нии пересечения этих плоскостей. Для этого найдем точки пересечения прямых n и ЕF с

плоскостью ά (∆АВС), соответственно т.N и

M. Искомая линия, линия пересечения плоскостей, будет проходить через эти две точки. На рис. 40 выполнены построения по нахождению этой линии.

Для установления видимости плос-

костей на фронтальной проекции возьмем на прямых АС и n пару конкурирующих то-

чек 4 и 7 (рис.41). На фронтальной проекции т. 4 закрывает точку 7, т.к. у нее координата

Y больше (см. на горизонтальные проекции этих точек), поэтому сторона АС видимая, а

прямая n – невидимая.

Для установления видимости на гори-

зонтальной проекции возьмем конкурирую-

щие точки 8 и 9 на прямых ВС и ЕF, точка 8

имеет координату Z большую (см. фронталь-

ные проекции этих точек), т.е. она выше точ-

ки 9, следовательно прямая ЕF – видимая,

ВС – невидимая.

Рис. 41

) треугольника АВС.

31

Задача 2.

Условие задачи 2 выбирается согласно варианта из табл. 4. Вычерчивайте проекции произвольных размеров сохраняя пропорции изображений.

Если треугольная пирамида пересекается плоскостью, то в общем случае (если плос-

кость не пересекает основание пирамиды) в сечении будет треугольник.

Для построения сечения необходимо найти точки пересечения ребер АS, BC, CS в се-

кущей плоскостью ά (m//n). Задачу нахождения точки пересечения прямой с плоскостью мы решали неоднократно. Если Вы забыли, как это выполняется, обратитесь к рис. 34.

Видимость ребер и прямых, которыми задана секущая плоскость определяется с по-

мощью конкурирующих точек.

Поздравляем Вас с успешным завершением первой графической работы «Эпюр 1»

состоящей из трех листов. Желаем отлично защитить её.

32

33

Пример выполнения Эпюра 1 (лист 3)

Рис 42