КЛ по Информатике-2008-часть2_укр
.pdfL |
(x)= |
(x − x0 ) (x − x1 ) ... (x − xi−1 ) (x − xi+1 ) ... (x − xn ) |
(2.34) |
|
(xi − x0 ) (xi − x1 ) ... (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) ... (xi − xn ) |
||||
i |
|
|
||
|
|
|
||
Багаточлени (2.34) називаються коефіцієнтами Лагранжа. |
|
|||
Багаточлен Pn (x), що вирішує задачу алгебраїчної інтерполяції, може бути представ- |
||||
лено у вигляді: |
|
n |
|
|
|
|
|
||
Pn (x)= y0 L0 (x)+ y1 L1 (x)+ ...+ yn Ln (x)= ∑yi Li (x) |
(2.35) |
|||
|
|
i=0 |
|
|
Для вузла x = xi згідно умовам (2.32) зі всієї суми у формулі (2.35) залишається один |
доданокPn (xi )= yi Li |
(xi |
), а оскількиLi (xi )= 1 , то це означає виконання умов інтерполяції |
||
(2.31). |
|
|
|
|
Багаточлен |
(x − x0 ) (x − x1 ) ... (x − xi−1 ) (x − xi+1 ) ... (x − xn ) |
|
||
n |
|
|||
Pn (x)= ∑yi |
|
|
(2.36) |
|
(xi |
− x0 ) (xi − x1 ) ... (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) ... (xi − xn ) |
|||
i=0 |
|
називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа.
2.3. Лінійна інтерполяція
В окремому випадку n = 1 (інтерполяція по двох вузлах) формула Лагранжа представляє рівняння прямої y = P1 (x), що проходить через дві задані точки (лінійна інтерполяція
(2.20)).
Лінійна інтерполяція (2.20)
Окрема задачі інтерполяції. Інтерполяція з використанням формули Лагранжа відбувається по двох вузлах
y = P |
(x)= |
x − x1 |
y |
+ |
x − x0 |
y |
1 |
|
|
||||||
1 |
|
x0 − x1 |
0 |
|
x1 − x0 |
||
|
|
|
|
|
|||
2.4. Квадратична інтерполяція |
|
|
|
|
|
||
При n = 2 (інтерполяція по трьох вузлах) |
одержимо рівняння параболи y = P2 (x), |
що проходить через три задані точки (квадратична інтерполяція (2.21)):
Квадратична інтерполяція (2.21)
Окрема задачі інтерполяції. Інтерполяція з використанням формули Лагранжа відбувається по трьох вузлах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = P |
(x)= |
(x − x1 ) (x − x2 ) |
y + |
(x − x0 ) (x − x2 ) |
y |
|
+ |
(x − x0 ) (x − x1 ) |
y |
|
(x0 − x1 ) (x0 − x2 ) |
(x1 − x0 ) (x1 − x2 ) |
|
(x2 − x0 ) (x2 − x1 ) |
|
||||||
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
Поліноми Лагранжа дають хорошу якість інтерполяції при великій кількості вузлів і високого ступеня полінома. До недоліків поліномів Лагранжа можна віднести те, що існують функції, при інтерполяції яких, збільшення ступеня полінома не дає хорошого наближення.
2.5. Обчислення інтерполяційного багаточлена Лагранжа в проміжних точках
Нехай необхідно обчислити Pn (x) в точці, що не співпадає з вузлами інтерполяції. Помножимо чисельник і знаменник у формулі (2.36) на x − xi ≠ 0 і введемо позна-
чення:
60
|
E (x )= (x − x0 ) (x − x1 ) ... (x − xi−1 ) (x − xi ) (x − xi+1 ) ... (x − xn ) |
|
|
|||||||||
|
Di (x )= (xi − x0 ) (xi − x1 ) ... (xi − xi−1 ) (x − xi ) (xi − xi+1 ) ... (xi − xn ) |
|
|
|||||||||
|
Тоді вираз |
|
|
n |
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= E (x ) ∑ |
|
) |
|
(2.37) |
|
|
||
|
|
|
|
|
i=0 |
Di (x |
|
|
|
|
|
|
|
представлятиме значення полінома Лагранжа в крапці x = x . |
|
|
|
|
|||||||
|
Обчислення доцільно оформити у вигляді наступної таблиці: |
|
yi |
|
|
|||||||
i |
|
|
Різниці |
|
|
Di (x ) |
yi |
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Di (x |
|
|
0 |
x − x0 |
x0 − x1 |
x0 − x2 |
… |
x0 − xn |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x1 − x0 |
x − x1 |
x1 − x2 |
… |
x1 − xn |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 − x0 |
x2 − x1 |
x − x2 |
… |
x2 − xn |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
n xn − x0 |
xn − x1 |
xn − x2 |
… |
x − xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (x )= |
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
|
У стовбці Di (x ) записується добуток елементів відповідного рядка таблиці різ-
ниць, а величина E (x ) обчислюється як добуток підкреслених елементів головної діаго-
налі таблиці різниць. Обчисливши E (x ) і суму S елементів останнього стовпця розраху-
нкової таблиці знаходимо значення багаточлену Лагранжа в точці x = x як добуток цих величин.
2.6. Реалізація метода інтерполяції в MS Excel
Приклад реалізації задачі інтерполяції в Microsoft Excel наведено на рис. 2.6.
§ 3. Методи обробки даних: метод найменших квадратів
3.1. Постановка задачі
Визначення виду функціональних залежностей, що одержано у фізичному експерименті, має дуже важливе значення. Так, у результаті експериментів часто одержують сукупність
точок (x1 , y1 )...(xN , yN ), абсциси яких {xk } різні. Одне із призначень чисельних методів – визначення формули виду y = f (x), що пов’язує ці змінні, точніше – вибір класу припустимих формул, коефіцієнти в яких повинні бути визначені.
61
а)
б)
Рис. 2.6. Приклад реалізації задачі інтерполяції в Microsoft Excel: а) вид листа Microsoft Excel; б) формули, що розташовано в комірках листа Microsoft Excel
62
Якщо всі чисельні значення {xk }, {yk } відомі з декількома знаками точності, то інте-
рполяційний поліном може бути з успіхом використаний, інакше це неможливо. У деяких експериментах застосовується спеціалізоване устаткування, що дозволяє одержати вимірювані точки, принаймні, з п’ятьма знаками точності. Однак більшість експериментів проводиться на устаткуванні, що надійно дає тільки три або менше знаки точності. Часто у вимірі
присутнє експериментальна помилка. І хоча записуються три цифри для значень {xk }, {yk }
мається на увазі, що справжнє значення f (xk ) задовольняє рівності: |
|
f (xk )= yk +εk |
(2.38) |
де εk – помилка виміру.
Для визначення кращого наближення функції до отриманих точок, проведемо дослі-
дження помилок (які також можна називати відхиленнями або залишками): |
|
εk = f (xk )− yk , для 1 ≤ k ≤ N . |
(2.39) |
Існує декілька норм (2.22), які можна використати із залишками в (2.39), щоб виміряти, наскільки далеко від даних лежить крива y = f (x).
Норма (2.22)
Норма (від лат. norma — керівний початок, правило, зразок) – встановлена міра, середня величина чого-небудь.
Максимальна помилка: |
E∞ ( f )= max { |
|
|
|
f (xk )− yk |
|
} |
|
|
(2.40) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1≤k≤N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
||||||||||||
Середня помилка: |
E1 |
( f )= |
∑ |
|
f (xk )− yk |
|
|
|
|
(2.41) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
N |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
N |
|
f (xk )− yk |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Середньоквадратична помилка: |
E2 |
( f )= |
|
|
∑ |
|
|
|
(2.42) |
|||||||||||
N |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Розглянемо це на прикладі.
Приклад.
Порівняти максимальну, середню і середньоквадратичну помилки для лінійного на-
ближення |
функції |
y = f (x)= 8,6 −1,6 x |
по заданих |
крапках |
|
(−1;10), (0;9), (1;7 ), |
||||||||||||||||||||
(2;5), (3;4), (4; 3), (5;0) |
і (6;−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xk)=8,6 1,6*xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6 |
|
7 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 2.7. |
|
Графік функції y = f (x)= 8,6 −1,6 x з нанесеними крапками |
63
Знайдемопомилки, використовуючизначенняфункції f (xk ) і εk , отриманівтаблиці2.4.
|
|
|
|
Обчислення для знаходження E1 ( f ) |
і E2 ( f ) |
Таблиця 2.4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
xk |
|
|
|
yk |
|
f (xk )= 8,6 −1,6 xk |
|
|
εk |
|
|
εk2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
||||
-1 |
|
|
|
10 |
|
10,2 |
|
0,04 |
|||||
0 |
|
|
|
9 |
|
8,6 |
|
0,4 |
0,16 |
||||
1 |
|
|
|
7 |
|
7,0 |
|
0,0 |
0,00 |
||||
2 |
|
|
|
5 |
|
5,4 |
|
0,4 |
0,16 |
||||
3 |
|
|
|
4 |
|
3,8 |
|
0,2 |
0,04 |
||||
4 |
|
|
|
3 |
|
2,2 |
|
0,8 |
0,64 |
||||
5 |
|
|
|
0 |
|
0,6 |
|
0,6 |
0,36 |
||||
6 |
|
|
|
-1 |
|
-1,0 |
|
0,0 |
0,00 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
2,6 |
1,40 |
|||
|
0,8 |
|
|||||||||||
E∞ ( f )= max{0,2;0,4;0,0;0,4;0,2;0,8;0,6;0,0}= |
|
||||||||||||
E1 |
( f )= |
1 |
(2,6)= 0,325 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
1,4 |
1 2 |
≈ 0,41833 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( f )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зрозуміло, що максимальна помилка найбільша і якщо одна крапка погана, те її значення визначає E∞ ( f ). Середня помилка E1 ( f ) – просто середнє абсолютних величин помилок різних крапок. Вона часто використовується завдяки простоті обчислення. Помилку E2 ( f ) часто використають при вивченні помилок статистичної природи.
Найкраща побудована лінія визначається шляхом мінімізації однієї з величин, заданих виразами (2.40) – (2.42). Таким чином, можна знайти три лінії, побудовані щонайкращим об-
разом. Традиційно обирається третя норма E2 ( f ) тому, що її набагато легше мінімізувати.
3.2. Метод найменших квадратів
Нехай залежність між змінними x та y представлена таблицею даних, отриманих в експерименті:
X |
x1 |
x2 |
… |
xN |
Y |
y1 |
y2 |
… |
yN |
Потрібно отримані дані описати деякою функціональною залежністю вигляду y = f (x). Така залежність повинна відбити основну тенденцію зміни змінної y зі зміною
змінної x і згладити випадкові погрішності вимірів, які є неминучими в експерименті. Задача знаходження емпіричної формули (2.23) складається із двох основних етапів.
Емпірична формула (2.23)
Формула, що служить для аналітичного подання дослідних даних.
Напершомуетапі необхідно встановитивиглядзалежності y = f (x), тобтовирішитичиє вона лінійною f (x)= a0 + a1 x , квадратичною f (x)=a0 +a1 x+a2 x2 , логарифмічною f (x)=a0 +a1 ln(x) або який-небудь іншою. Для цього експериментальні точки наносять на координатну площинуіпоїхрозташуваннювисуваютьгіпотезупровиглядемпіричноїзалежності.
64
На другому етапі, коли загальний вид емпіричної функції обрано, необхідно визначити числові значення її параметрів a0 , a1 , a2 ,..., an . Критерієм вибору значень параметрів є
метод найменших квадратів (МНК) (2.24).
Метод найменших квадратів (МНК) (2.24)
Метод найменших квадратів – один з методів теорії помилок для оцінки невідомих величин за результатами вимірів, що містить випадкові помилки. Застосовується при обробці спостережень.
У методі найменших квадратів апроксимація (2.25) відбувається на підставі того, що сума квадратів відхилень по всіх крапках повинна бути найменшою. Тобто:
Апроксимація (2.25)
Апроксимація (від лат. approximo — наближаюся), заміна одних математичних об’єктів (напр., чисел або функцій) іншими, простішими і в тому або іншому значенні близькими до вихідних (напр., кривих ліній близькими до них ламаними).
N |
N |
( f (xk )− yk )2 min , |
|
F = ∑δk |
=∑ |
(2.43) |
|
k =1 |
k=1 |
|
|
де δk – відхилення. |
|
|
|
Якщо взяти поліном у вигляді: |
|
|
|
f (x)=a0 +a1 x+a2 x2 +...+am xm , |
(2.44) |
то F = F (a0 ,a1 ,...,am )
Помітно, що ступінь поліному m повинна бути менше числа крапок N . (У випадку m = N − 1 одержимо поліном Лагранжа).
3.3. Лінійна апроксимація
У цьому випадку m = 1 , тоді апроксимуюча функція буде мати вигляд:
f (x)=a0 +a1 x |
(2.45) |
Згідно МНК значення її параметрів підбираються таким чином, щоб відхилення експериментальних точок (xk ; yk ) від обраної кривої було мінімальним. Тобто параметри a0 ,
a1 повинні бути такими, щоб сума квадратів відхилень спостережуваних значень yk від роз-
рахованих за функцією (2.45), була мінімальною. Сума квадратів відхилень від лінійної функції (2.45) має вигляд:
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
F (a0 , a1 )= ∑(a0 + a1 xk − yk )2 min |
|
(2.46) |
||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
ЗВЕРНІТЬ |
|
|
Величина E2 ( f ) |
буде мінімальної тоді і тільки тоді, коли |
||||||
|
||||||||||
УВАГУ! |
|
|
буде мінімальної величина (2.46). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NB ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Величина F (ao ,a1 ) |
|
є функцією двох змінних. Необхідною умовою екстремуму такої |
||||||||
функції є рівність нулю всіх її окремих похідних: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂F (ao ,a1 ) |
= 0 |
|
∂F (ao ,a1 ) |
|
= 0 |
(2.47) |
|
|
|
|
∂a0 |
|
∂a1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вони мають вигляд:
65
|
∂F (a0 , a1 ) |
N |
(a0 + a1 xk − yk )= 0 |
|
|
|
= 2∑ |
||
∂a0 |
||||
|
k =1 |
(2.48) |
||
|
∂F (a0 , a1 ) |
N |
||
|
|
= 2∑ |
(a0 + a1 xk − yk ) xk = 0 |
|
∂a1 |
||||
|
k =1 |
|
Таким чином, після перетворення маємо нормальну систему двох лінійних рівнянь щодо невідомих параметрів регресії a0 , a1 .
|
|
N |
N |
|
a0 N + a1 ∑xk = |
∑yk |
|
||
|
|
k =1 |
k =1 |
(2.49) |
|
N |
N |
N |
|
a0 ∑xk + a1 ∑xk2 = ∑ yk xk |
|
|||
|
k =1 |
k =1 |
k =1 |
|
Рішення системи – значення параметрів a0 , a1 можна знайти методом зворотної матриці. Представимо систему (2.49) у матричній формі:
N
∑N xk
k =1
Тоді:
N |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xk |
a |
|
|
∑yk |
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||
k =1 |
|
0 |
= k =1 |
|
або |
0 |
= B |
|||||||||
|
a |
|
A |
a |
|
|||||||||||
N |
|
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑xk2 |
|
|
∑ yk |
xk |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
= A−1 |
B |
(2.50) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
Знайдені параметри регресії a0 , a1 підставляють у рівняння (2.45) і в такий спосіб
одержують емпіричне лінійне рівняння, яке найкращим чином описує експериментальні дані. Для оцінки відповідності підібраної прямої і експериментальних даних уводять по-
няття коефіцієнта лінійної кореляції (2.26), що обчислюється за формулою:
Коефіцієнт лінійної кореляції (2.26)
Коефіцієнт кореляції характеризує тісноту лінійної залежності і приймає значення в інтервалі −1 ≤ Ryx ≤ 1 . Чим ближче Ryx до 1 або -1, тим тісніше лінійний зв’язок (прямий або зво-
ротній) між змінними х та у.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xk − |
|
) (yk − |
|
) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ryx = |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
(2.51) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xk − |
x |
)2 |
∑(yk − |
y |
)2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k=1 |
|
|||||||||
де: |
1 |
N |
|
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
= |
∑xk , |
y |
= |
∑yk – середні величини змінних х та у. |
|
|||||||||||||
|
N |
N |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3.4. Квадратична апроксимація |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Якщо m = 2 , то одержуємо функцію: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= a0 + a1 x + a2 x2 |
(2.52) |
У цьому випадку нормальна система має вигляд:
66
|
∂F (a0 , a1 ,a2 ) |
N |
(a0 + a1 xk + a2 xk 2 − yk )= 0 |
|
||||||||
|
= 2∑ |
|
||||||||||
∂a0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
||||
|
∂F (a |
|
, a |
|
,a |
|
) |
N |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
= 2∑(a0 + a1 xk + a2 xk |
2 − yk ) xk = 0 |
(2.53) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂a1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
) |
k =1 |
|
|
|
||||
|
∂F (a |
0 |
, a |
1 |
,a |
2 |
N |
(a0 + a1 xk + a2 xk 2 − yk ) xk 2 = 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= 2∑ |
|
|||||
∂a |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Після перетворення маємо нормальну систему трьох рівнянь щодо невідомих параметрів регресії a0 , a1 , a2 :
|
N |
|
N |
N |
|
a0 N + a1 ∑xk + a2 ∑xk2 = |
∑ yk |
|
|||
|
k =1 |
|
k =1 |
k =1 |
|
|
N |
N |
N |
N |
|
a0 |
∑xk + a1 |
∑xk2 + a2 ∑xk3 = ∑xk yk |
(2.54) |
||
|
k =1 |
k =1 |
k =1 |
k =1 |
|
|
N |
N |
N |
N |
|
a0 |
∑xk2 + a1 |
∑xk3 + a2 ∑xk4 = ∑xk2 yk |
|
||
|
k =1 |
k =1 |
k=1 |
k =1 |
|
Розв’язавши систему (2.54) щодо параметрів a0 , a1 , a2 |
одержуємо конкретний вид |
функції (2.52). Зміна кількості параметрів не призведе до зміни суті самого підходу, а виразиться в зміні кількості рівнянь у системі (2.54).
Значення різниць |
|
yk − F (a0 ,a1 ,a2 )= εk |
(2.55) |
називають відхиленнями обмірюваних значень від обчислених за формулами (2.45) або
(2.52).
Сума квадратів відхилень
N |
|
|
σ = ∑εk2 |
(2.56) |
|
k = |
1 |
|
відповідно до принципу найменших квадратів для заданого виду функції, що наближає, повинна бути найменшої.
ЗВЕРНІТЬ |
Із двох різних наближень однієї й тієї ж табличної функції |
УВАГУ! |
кращим вважається те, для якого (2.56) має найменше зна- |
NB ! |
чення. |
|
Аналогічно можна записати систему для полінома будь-якого ступеня m ≤ N :
f (x)= a0 + a1 x + a2 x2 + ...+ am xm |
(2.57) |
При цьому, якщо m = N , то точкова середня квадратична апроксимація алгебраїчним багаточленом збігається з лагранжевою інтерполяцією. Таким чином, підвищення ступеню апроксимуючого полінома на певному кроці приведе до погіршення якості. Інший шлях підвищення якості апроксимації пов’язано з вибором замість алгебраїчних поліномів інших ортогональних поліномів, а також функцій виду:
y = a xb |
y = a bx |
y = a + |
b |
|
|||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
x |
(2.58) |
|||
y = |
y = |
y = a lg x |
|||||
a x + b |
a x + b |
||||||
|
|
|
|
|
і інших, які легко лінеаризуються шляхом логарифмування або заміни змінних (табл. 2.5,
рис. 2.8).
67
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2.5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Заміна змінної (змінних) для метода лінеаризації даних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функція, |
y = f (x) |
Лінеаризована форма, |
Заміна змінної (змінних) і |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = A x + B |
постійних |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y = |
|
A |
+ B |
|
|
|
|
|
y = A |
1 |
|
+ B |
X = |
1 |
|
, Y = y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = |
|
D |
|
|
|
|
|
y = −1 (x y)+ |
D |
|
X = x y , Y = y , C = |
−1 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
x +C |
|
|
|
|
|
C |
A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= A x + B |
X = x , Y = |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
A x + B |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y = |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= A |
|
1 |
+ B |
X = |
1 |
, Y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A x + B |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
y = A ln(x)+ B |
|
|
y = A ln(x)+ B |
X = ln(x), Y = y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = C eA x |
ln(y)= A x + ln(C ) |
X = x , Y = ln(y), C = eB |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = C xA |
ln(y)= A ln(x)+ ln(C ) |
X = ln(x), Y = ln(y), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = eB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = (A x + B)−2 |
|
|
y−1 2 = A x + B |
X = x , Y = y−1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = C x e−D x |
y |
|
= −D x + ln(C ) |
|
|
|
|
|
y |
|
, C = e |
B |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
X = x , Y = ln |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = −A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
|
|
|
|
|
ln |
−1 = A x + ln(C ) |
X = x , Y = ln |
|
−1 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 +C e |
A x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
C = eB и L – постійні, що повинні бути задані
68
Рис. 2.8. Можливі криві, що використовують при лінеаризації даних
3.5. Реалізація метода найменших квадратів в MS Excel
Приклад реалізації методу найменших квадратів у середовищі Microsoft Excel наведено на рис. 2.9.
69