КЛ по Информатике-2008-часть2_укр

а)

б)

Рис. 2.9. Приклад реалізації метода найменших квадратів в Microsoft Excel: а) вид листа Microsoft Excel; б) формули, що розташовано в комірках листа Microsoft Excel

2.3. Критерії засвоєння

Після вивчення й аналізу змісту теми ВИ повинні РОЗУМІТИ наступне:

1.Способи розв’язання систем лінійних рівнянь можна поділити на дві основні групи: точні (прямі) методи та ітераційні (наближені) методи.

2.Метод ітерацій і метод Зейделя збігаються, якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів рядка (не вважаючи вільних членів).

3.У загальному вигляді задача інтерполяції полягає в тому, щоб знайти таку, аналітично

висловлену функцію, щоб вона приблизно була іншою функцією, заданою таблицею на відрізку [a,b].

70

4.Метод найменших квадратів є найпоширенішим методом обробки даних.

Урезультаті вивчення даної теми ВИ повинні ЗНАТИ:

-порядок розв’язання системи лінійних рівнянь за методом Гауса;

-достатню умову збіжності метода ітерацій і метода Зейделя;

-основні відмінності між методом ітерацій і методом Зейделя;

-основні правила обчислення інтерполяційного полінома Лагранжа в проміжних точках;

-умови застосування метода найменших квадратів;

-основні правила виконання лінійної і квадратичної апроксимації за методом найменших квадратів.

Ваші знання повинні забезпечувати наступні УМІННЯ:

-правильно розв’язувати системи лінійних рівнянь точними і ітераційними методами;

-обробляти дані, використовуючи інтерполяційний багаточлен Лагранжа;

-обробляти дані, отримані в результаті експерименту за методом найменших квадратів.

2.4.Рекомендована література

Основна

1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИНОМ, 2000. – 630 с.

2.Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2000. – 266 с.

3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с

4.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. –

М.: Изд-во МАИ, 2000. – 376 с.

5.Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы: Использование MATLAB. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 720 с.

6.Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. – К.: Ви-

давнича група BHV, 2006. – 480с.

Додаткова

1.Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие./ Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 2000. – 190 с.

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

3.Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 320 с.

4.Самарский А.А. Введение в численные методы. – М., МГУ, 2000. – 271 с.

5.Уокенбах Дж. Подробное руководство по созданию формул в Excel 2002: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. – 624 с.

71

Лекція № 3. (І-Д-9).

Методи обчислення визначених інтегралів в табличному процесорі

MS Excel

І-Д-9. Ключові слова і поняття: первісна (3.1), квадратура (3.2), квадратурна формула (3.3)

3.1. Вхідна інформація для самоперевірки

Приступаючи до вивчення даної теми, ВАМ необхідно відновити в пам’яті знання з минулих періодів навчання:

-з курсу «Інформатика»: електроні таблиці, формула, комірка, апроксимація.

-з курсу «Вища математика»: визначений інтеграл, вагова функція, інтерполяцій-

ний багаточлен, формула Тейлора, парабола.

3.2.Зміст теми

§1. Метод трапецій

1.1.Постановка задачі

1.2.Формула трапецій

1.3.Погрішність формули трапецій

1.4.Загальна формула трапецій

1.5.Реалізація методу трапецій в MS Excel

§2. Метод Сімпсона

2.1.Формула Сімпсона

2.2.Залишковий член формули Сімпсона

2.3.Узагальнена формула Сімпсона

2.4.Реалізація методу Сімпсона в MS Excel

72

§1. Метод трапецій

Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a,b] і відома її первісна (3.1) F (x), то визначений інтеграл від цієї функції може бути обчислено за формулою Ньютона-Лейбніца:

∫b	f (x)dx = F (b)− F (a),	(3.1)
a
Первісна (3.1)
Первісною функції (або просто первісною) для даної функції однієї змінної		y = f (x), ви-

значеної в деякому пов’язаному окресті, називається така функція F (x) визначена в тому ж окресті, похідна від якої дорівнює f (x).

де F ′(x)= f (x). Однак, у багатьох випадках, виникають досить великі труднощі, пов’язані

із знаходженням первісної, або ця задача не може бути вирішена елементарними способами. Тому в багатьох випадках буває важко або неможливо застосувати формулу (3.1). Крім того,

підінтегральна функція f (x) часто буває задана таблицею. Тому чисельні методи обчис-

лення інтегралів мають важливе значення.

Задача чисельного інтегрування функції полягає в обчисленні визначеного інтеграла на підставі ряду значень підінтегральної функції (механічна квадратура (3.2)), а відповідні формули називають квадратурними формулами (3.3).

Квадратура (3.2)

Квадратура (від лат. quadratura — надання квадратної форми) – чисельне обчислення площини або інтегралу.

Квадратурна формула (3.3)

Квадратурна формула, або Формула квадратури – це формула, що служить для наближеного обчислення певних інтегралів по значеннях підінтегральної функції в кінцевому числі точок

1.1. Постановка задачі

Нехай потрібно знайти визначений інтеграл

F = ∫b

f (x)ρ (x)dx , ρ (x)> 0

(3.2)

a

де функція f (x) неперервна на відрізку [a,b], а вагова функція ρ (x) неперервна на інтервалі (a,b). Виразити інтеграл через елементарні функції вдається рідко, а компактну і зручну для доведення до числа відповідь виходить ще рідше. Тому звичайно заміняють f (x) на таку апроксимуючу функцію ϕ (x,a)≈ f (x), щоб інтеграл від неї обчислювався в елементарних функціях.

Найчастіше f (x) заміняють деяким узагальненим інтерполяційним багаточленом.

Оскільки така апроксимація лінійна щодо параметрів, то функція при цьому заміняється деяким лінійним виразом, коефіцієнтами якого служать значення функції у вузлах:

n
f (x)= ∑ f (xi ) ϕi (x)+ r (x)	(3.3)

i=0

де r (x) – залишковий член апроксимації. Підставляючи (3.3) в (3.2), одержимо формулу чисельного інтегрування (квадратурну формулу):

73

n
F = ∑ci f (xi )+ R ,
i=0		(3.4)
ci = ∫b ϕi (x) ρ (x)dx ,	R = ∫b	r (x) ρ (x)dx
a	a
де величини xi – називають вузлами, ci – вагами, а	R – погрішністю або залишковим

членом формули. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, при-

чому вузли і коефіцієнти цієї суми не залежать від функції	f (x).
Найкраще вивчена заміна функції f (x) алгебраїчним багаточленом, що і буде розг-
лянуто нижче.
1.2. Формула трапецій
Геометрична інтерпретація визначеного інтегралу	F = ∫b	f (x)dx полягає в тому, що
	a

він чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції обмеженої частиною осі абсцис, двома прямими x = a , x = b і підінтегральною кривою y = f (x) (рис. 3.1).

R

y = f (x)

			a			b
Рис. 3.1 Геометричні побудови для методу трапецій
Заміняючи приблизно функцію						f (x) лінією, одержимо трапецію, площа якої дорів-
нює F 1 =	1	(b − a) ( f (a)+ f (b)), або
2
		F = ∫b	f (x)dx ≈		1	(b −a) ( f (a)+ f (b)).	(3.5)
				2
		a
Формула (3.5) це формула трапецій для наближеного обчислення визначеного інтег-
рала. Погрішність квадратурної формули – це площа, що дорівнює R .
	1.3. Погрішність формули трапецій
Для цього розкладемо f (x)				за формулою Тейлора, обираючи середину відрізка за

центр розкладання і припускаючи наявність у функції необхідних по ходу міркувань неперервних похідних:

	f (x)= f (x )+ (x − x ) f ′(x )+	1	(x − x )2	f ′′(x )+ ...,	де x =	1	(a + b) (3.6)
		2				2
			74

Погрішність є різниця точного і наближеного значення інтегралу. Підставляючи в (3.5) розкладання (3.6) одержимо головний член погрішності:

R = ∫b	f (x)dx − b −a	( f (a)+	f (b))≈ −	1	(b − a)3 f ′′(x ),	(3.7)
a	2			12

де члени, відкинуті при заміні точної рівності наближеною, містять старші похідні і більш високі ступені довжини відрізка інтегрування. Помітимо, що члени розкладання (3.6), що

утримують f (x) та f ′(x ) знищилися і не дали внеску в погрішність. Це ж можна одержати іншим способом:

Припускаємо, що функція

y = f (x)

належить

y C(2) [a,b]

і двічі диференційована.

Будемо розглядати R = R(h)

як функцію кроку h = x1 − x0 = b −a . Тоді можна покласти:

x0 +h

h

R(h)=

∫

ydx −

(3.8)

2

y (x0 )+ y (x0 + h)

x0

Диференціюємо цю формулу два рази по h .

′

(h)= y (x0 + h)

1

h

′

(x0 + h)=

−

−

R

2

y (x0 )+ y (x0 + h)

2

y

(3.9)

1

h

(x0

+ h)

=

′

2

y (x0

+ h)− y (x0 ) −

2

y

R′′(h)=

1

y′(x0 + h)−

1

y′(x0 + h)−

h

y′′(x0 + h)= − h y′′(x0 + h)

(3.10)

2

2

2

2

причому R(0)= 0 ; R′(0)= 0 .

Звідси, інтегруючи R′′(h)

по h та використовуючи теорему про середні, одержуємо,

послідовно:

R′(h)= R′(0)+ ∫h R′′(t )dt = 0 −

1

∫h t y′′(x0 + t )dt = −

1

y′′(ξ1 )∫h tdt = − h2

y′′(ξ1 ), (3.11)

2

2

0

0

0

4

де ξ1 (x0 , x0 + h), звідки:

R (h)= R (0)+ ∫h R′(t )dt = 0

−

1

∫h t y′′(x0 + t )dt = −

1

y′′(ξ )∫h t2dt

= − h3

y′′(ξ ),

(3.12)

4

4

0

0

0

12

де ξ (x0 , x0 + h), тобто:

R(h)= − h3

y′′(ξ )

(3.13)

12

Знак «мінус» вказує на те, що якщо друга похідна на відрізку позитивна, то формула (3.5) апроксимується з надлишком, у противному випадку – з нестачею.

1.4. Загальна формула трапецій

Взагалі, довжина відрізка b −a може бути не малою, тому залишковий член (3.7) може бути великий. Для підвищення точності на відрізку [a,b] вводять досить густу сітку

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b (розбивають відрізок на n частин). Інтеграл розбивають на су-

му інтегралів по кроках сітки і до кожного кроку застосовують формулу (3.5). Одержують

загальну (узагальнену) формулу трапецій:

	b	1	n			1	n
	∫ f (x)dx ≈		∑(xi − xi−1	) ( fi−1 + fi ),	деR ≈ −		∑(xi − xi−1	)3 f ′′(xi )	(3.14)
						12
	a	2 i=1					i=1

На рівномірній сітці вона спрощується:

75

	b		1				1
	∫ f (x)dx ≈ h			f0	+	f1 + f2 + ...+ fn−1 +		fn	,	(3.15)
			2				2
	a

		1	n	1	b
	де R ≈ −		∑h3 f ′′(xi )≈ −		h2 ∫ f ′′(x)dx ,	h = xi − xi−1 = const
		12		12
			i=1		a

1.5. Реалізація методу трапецій в MS Excel

Приклад розрахунку представлений на рис. 3.2

Формула (3.13) не завжди зручна при обчисленнях, тому в більшості випадків застосовують оцінку погрішності за методом Рунге:

	R =	Ih − I2h	(3.16)
		3

де Ih та I2h - значення інтеграла, що обчислені на сітці з одинарним і подвійним кроком розбивання відповідно.

а)

б)

Рис. 3.2. Приклад обчислення визначеного інтегралу за методом трапецій в Microsoft Excel: а) вид листа Microsoft Excel; б) формули, що розташовано в комірках листа Microsoft Excel

76

§ 2. Метод Сімпсона

Геометрично формула Сімпсона виходить у результаті заміни підінтегральної функції y = f (x) параболою y = L2 (x), що проходить через три крапки M0 (x0 , y0 ), M1 (x1 , y1 ) і

M2	(x2	, y2 ) (рис. 3.3).		(x2 , y2 )
		M	2
		L2 (x)

M1 (x1 , y1 )

f (x)

M0 (x0 , y0 )

Рис. 3.3. Геометричні побудови для методу Сімпсона

2.1. Формула Сімпсона

З вигляду залишкового члена (3.15) потрібно, щоб результат, отриманий за формулою трапецій, можна було б уточнювати методом Рунге. Проводячи таке уточнення для відрізку, що містить вузли x0 , x1 , x2 , одержимо формулу Сімпсона.

F ≈ 13 4 Fтрап (h)− Fтрап (2 h) =

		1				1			1					1			1
	=			4	h		f0	+ f1 +		f	2		− 2 h		f0	+		f	2		=	(3.17)
		3				2			2					2			2

= 13 h ( f0 + 4 f1 + f2 ) де h = xi − xi−1 .

2.2. Залишковий член формули Сімпсона

Таким чином, залишковий член формули Сімпсона дорівнює:

x			− h (y0 + 4 y1 + y2 ), де
R = ∫2	ydx				y = f (x)	(3.18)
x0			3
Припустимо, що функція y C(4) [a,b], тоді одержимо більш простий вираз і для фо-
рмули Сімпсона. Фіксуємо середню крапку x1				і розглядаючи R = R(h), будемо мати:
x1 +h		h		y (x1 )+
R = ∫ ydx −						(3.19)
		3	y (x1 − h)+ 4		y (x1 + h)
x1 −h

Звідси, диференціюючи функцію R = R (h) по h послідовно три рази, одержимо:

77

R

′

(h)=

−

1

y (x1 + h)

+ y (x1 − h)

3

y (x1 − h)+ 4 y (x1 )+ y (x1 + h) −

h

2

4

−

−y

′

(x1

− h)+ y

′

(x1

=

(x1 + h)

−

y (x1 )−

(3.20)

3

+ h)

3

y

+ y (x1 − h)

3

−

h

−y

′

(x1

− h)+ y

′

(x1

3

+ h)

R

′′

(h)

=

2

′

(x1 − h)+ y

′

1

′

′

−

3

−y

(x1 + h) −

3

− y

(x1 − h)+ y

(x1 + h)

−

h

′′

(x1 − h)+ y

′′

=

1

− y

′

(x1

− h)+ y

′

(x1

+ h)

−

(3.21)

3

y

(x1 + h)

3

−

h

′′

(x1 − h)+ y

′′

3

y

(x1 + h)

R

′′′

(h)

=

1

′′

(x1

− h)+ y

′′

(x1

+ h)

1

′′

(x1

− h)+ y

′′

(x1

+ h)

−

3

y

−

3

y

−

h

−y

′′′

(x1 − h)+ y

′′′

= −

h

− y

′′′

(x1

− h)+ y

′′′

(x1

(3.22)

3

(x1 + h)

3

+ h) =

2

= −

h2 yIV (ξ3 )

3

де ξ3 (x1 − h, x1 + h).

Крім того,

маємо R(0)= 0 ; R′(0)= 0 ;

R′′(0)= 0 . Послідовно інтегруючи

R′′′(h) і

використовуючи теорему про середні, знаходимо:

R′′(h)= R′′(0)+ ∫h R′′′(t )dt = −

2

∫h t2 yIV (ξ3 )dt = − 2 yIV

(ξ2 )∫h t 2dt = −

2 h2 yIV (ξ2 )

(3.23)

3

0

0

3

0

9

де ξ2 (x1 − h, x1 + h).

R′(h)= R′(0)+ ∫h R′′(t )dt = −

2

∫h t

3 yIV (ξ2 )dt = −

2 yIV (ξ1 )∫h t3dt = −

1

h4 yIV (ξ1 )

(3.24)

9

18

0

0

9

0

де ξ1 (x1 − h, x1 + h).

R(h)= R(0)+ ∫h R′(t )dt = −

1

∫h t4 yIV (ξ1 )dt = −

1

yIV (ξ )∫h t4dt = −

1

h5 yIV (ξ )

(3.25)

18

90

0

18

0

0

де ξ (x1 − h, x1 + h).

Таким чином, залишковий член формули Сімпсона дорівнює:

R = −

h5

yIV (ξ ), де ξ (x0 , x2 )

(3.26)

90

тобто формула Сімпсона є більше точною, ніж формула трапецій.

2.3. Загальна (узагальнена) формула Сімпсона

Нехай

n = 2 m

є парне

число та

yi

= f (xi )

(i = 0,1,2,...,n)

значення

функції

y = f (x)

для

рівновіддалених крапок

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn

= b

із

кроком

h = b −a = b − a .

n

2 m

x

, x

Застосовуючи

формулу

Сімпсона

до

кожного

подвоєного проміжку

0

2

,

x

2

, x

4

... x

2 m−2

, x

довжини 2 h одержимо:

2 m

78

∫b	ydx ≈ h		(y0 + 4 y1			+ y2 )+ h	(y2 + 4 y3	+ y4 )+ ...+ h	(y2 m−2 + 4 y2 m−1 + y2 m )
a		3				3		3
	Звідси одержуємо загальну (узагальнену) формулу Сімпсона:
b		h			+ y2 m )+ 4 (y1
∫	ydx ≈
		3	(y0				+ y3 + ...+ y2 m−1 )+ 2 (y2 + y4 + ...+ y2 m−2 )
a
	Або:
	b			h			2 m−1	2 m−2
	∫ ydx ≈					+ y2 m )+ 4 ∑ yi нечёт.
				3	(y0			+ 2 ∑ yi чёт.
	a						i=1	i=2

	b			2 m−1		1,		якщо i − непарні
	∫ ydx ≈ h		(y0 + y2 m )+	∑	(3 +Ci ) yi
						, де C =	−1,	якщо i − парні
	a	3		i=1

(3.27)

(3.28)

(3.29)

Залишковий член загальної формули Сімпсона дорівнює сумі залишкових членів на

кожній з m ділянок. Якщо ввести середнє значення четвертої похідної					yc IV (ξ ), то:
R = −	h5	yc IV (ξ )= −(b − a)	h4	yc IV (ξ )	(3.30)
			180
90

Частіше цю формулу не застосовують, а виконують прорахунок із кроком h і 2 h . Одержуємо:

R = −(b −a)

h4

yIV

h

180

R2h

= 16

(3.31)

(2

h)4

R

= −(b −a)

yIV

Rh

2h

180

I = Ih + Rh

Ih + Rh = I

2h + 16 Rh Rh =

I

h

− I

2h

(3.32)

I =

15

I2h + R2h

Формула (3.32) - перевірка погрішності по Рунге.

2.4. Реалізація методу Сімпсона в MS Excel

Приклад обчислення визначеного інтегралу за методом Сімпсона в MS Excel представлено на рис. 3.4

79