kinematika

8.2. Вращательное движение твердого тела Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-

нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.

Закон вращательного движения твердого тела выражается уравнением:

ϕ= f (t),

где ϕ - угол поворота тела, измеряется в радианах; t – время, с.

Примеры задания закона вращательного движения: ϕ= 4t 2 , рад; ϕ= 2πt +3, рад; и т.д.

Определим законы вращательного движения секундной, минутной и часовой стрелок механических часов:

а) секундной стрелки

ϕ1 = 260πt , рад;

б) минутной стрелки:

ϕ2 = 36002πt , рад;

вэтом уравнении учли, что один оборот минутная стрелка совершает за 1 час = = 60 минут = 3600 с.

в) часовой стрелки:

ϕ3 = 432002πt , рад;

где 43200 с = 12 часов – время одного полного оборота часовой стрелки. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения

твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени:

ω=ϕ• = ddtϕ, с-1.

Так, угловая скорость секундной стрелки механических часов равна:

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

29

к оглавлению

ω1 = ddtϕ1 = 260π, с-1.

→

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора ω , численная

	величина которого ω равна dϕ и который направлен вдоль оси
	dt
	вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно
	происходящим против хода часовой стрелки (рис.8.1). Такой
	вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось
	вращения, и направление вращения тела вокруг этой оси.
	Угловое ускорение характеризует изменение угловой
Рис. 8.1	скорости с течением времени. Угловое ускорение тела в данный

момент времени численно равно первой производной от угла поворота тела по времени:

ε = dω = d 22ϕ = •ϕ•, с-2. dt dt

Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (ω=const ), то вращение тела называется равномерным. Закон равномерного вращения

ϕ= ω t.

Из этого равенства следует также, что при равномерном вращении

ω= ϕt .

Втехнике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов

вминуту, обозначая эту величину через n об/мин. Зависимость между угловой скоростью ω (с-1) и числом оборотов в минуту n (об/мин):

ω= π30n .

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным ( ε = const ), то вращение называется равнопеременным и закон такого движения имеет вид:

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

30

к оглавлению

ϕ= ϕ0	+ ω0	t ± εt 2	, рад;	(1)
		2

где ϕ0 - начальное значение угла поворота тела, рад; ω0 - начальная угловая скорость тела, с-1.

При ускоренном вращении третье слагаемое уравнения (1) имеет знак «плюс», а при замедленном (когда ω и ε имеют разные знаки) – «минус».

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также

→

изобразить в виде вектора ε , направленного вдоль оси вращения. При этом

направление	→	совпадает с направлением	→	, когда тело вращается ускоренно
	ε		ω

→

(рис. 8.1) и противоположно ω при замедленном вращении. 8.3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела Скорость точки вращающегося твердого тела равна:

V = ω h,

где ω - угловая скорость тела, с-1;

h – расстояние от рассматриваемой точки до оси вращения тела, м.

Таким образом, линейная скорость точки вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой окружности в сторону угловой скорости тела.

Нормальное ускорение точки вращающегося тела равно произведению квадрата угловой скорости на расстояние до оси вращения:

an = ω2 h, м/с2.

Нормальное ускорение всегда направлено от рассматриваемой точки к оси вращения.

Касательное ускорение точки вращающегося твердого тела численно равно произведению углового ускорения тела на расстояние от данной точки до оси вращения:

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

31

к оглавлению

aτ = ε h, м/с2.

Направлено касательное ускорение точки вращающегося тела по касательной в сторону углового ускорения.

Если тело вращается равномерно, то касательное ускорение любой точки тела равно нулю.

Полное ускорение точки равно:

a= an2 + aτ2 .

8.4.Передача вращательного движения от одного тела к другому

Процесс передачи вращательного движения от одного твердого тела к другому широко используется в техническом оборудовании. Именно этот процесс характеризует работу, а, точнее, передачу механической энергии, как в редукторах: цилиндрическом, коническом, червячном и др., так и в передачах при помощи гибких систем: ременных, цепных, передачах трения и т.д.

Рассмотрим передачу вращательного движения на следующем примере (рис. 8.2). Шкив 1, радиусом R1 , соединен ременной передачей со шкивом 2, радиус которого R2 . Пренебрегая проскальзыванием ремня, считая, что угловая скорость шкива 1 равна ω1 ,

Рис. 8.2	определить: 1) угловую скорость шкива

2; 2) скорость т.М, расположенной на ободе шкива 2. Направление вращения шкива 1 показано на рис. 8.2.

Решение. Все точки ремня имеют равные линейные скорости, модуль которых, с одной стороны равен V = ω1 R1 , а, рассматривая вращение шкива 2: V = ω2 R2 . Таким образом, получаем:

ω2 = ω1 R1 .

R2

Скорость т.М равна:

VM = ω2 R2 .

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

32

к оглавлению

Направление вектора V→M определяется направлением угловой скорости шкива

2.

Передача вращения в цилиндрических редукторах происходит следующим образом (рис. 8.3). Вращение от ведущего вала I к ведомому валу II передается через

Рис. 8.3.

две пары находящихся в зацеплении зубчатых колес: пару 1-2 и пару 2/ -3. Линейная скорость V1 точки соприкасания колеса 1 с колесом 2 относится к точкам обоих колес, следовательно, ее модуль равен

V1 = ω1 R1 = ω2 R2 ,

откуда

ω1 = R2 .

ω2 R1

Таким образом, угловая скорость колес зубчатой передачи обратно пропорциональна радиусам этих колес.

Аналогично:

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

33

к оглавлению

ω2		=	R3 .
ω			r
	3		2
Следовательно,
ω1	=	R2 R3 .
ω		R r
3			1	2

Отношение угловой скорости ведущего колеса (вала) к угловой скорости ведомого колеса (вала) называется передаточным числом или передаточным отношением:

i = ω1 = ωI . ω3 ωII

Так как числа зубьев пропорциональны длинам окружностей и, следовательно, радиусам, то передаточное число определяется и по числу зубьев:

i = Z2 Z3 . Z1 z2

Таким образом, угловая скорость ведомого вала II равна:

ω

= ω =ω

R1 r2

=ω

Z1 z2

,

II

3

I R

R

1

Z

2

Z

3

2

3

где: Z1 - число зубьев ведущего колеса 1;

Z2

- число зубьев промежуточного колеса 2;

z2 - число зубьев промежуточного колеса 2/;

Z3

- число зубьев ведомого колеса 3.

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

34

к оглавлению

9. Задание К2. Простейшие движения твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях.

Прямолинейное поступательное движение тела 1 вдоль оси х задано

уравнением x = at 2 + bt + c (х	– в	сантиметрах, t –	в	секундах). Значения
коэффициентов а, b, c и время t1	заданы в таблице К2-1.
Для механизма, изображенного		на рисунке К2.1,	по	заданному уравнению

движения тела 1 найти для момента времени t1 скорость и ускорение тела 1 и точки М колеса 3. Векторы скоростей и ускорений показать на рисунке механизма. Радиусы колес 2 и 3 (в сантиметрах) заданы в таблице К2-1.

Указание: схема механизма на рис. К2.1 выбирается в соответствии с последней цифрой шифра.

Таблица К2-1

	Предпоследняя	r2	R2	r3	R3	a	b	c	t1
	цифра шифра
	1	5	10	10	20	10	5	10	5
	2	10	20	15	25	15	10	20	4
	3	15	30	20	30	20	15	30	3
	4	20	40	25	35	25	20	40	2
	5	25	50	30	40	30	25	50	1
	6	30	60	35	45	35	30	15	4
	7	35	70	40	50	40	35	25	3
	8	40	80	45	55	45	40	35	2
	9	45	90	50	60	50	45	45	1
	0	50	100	55	65	100	50	55	0,5

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

35

к оглавлению

варіант			варіант
1	2		2	2
		M			M
x	1	3	x	1	3
3	2		4	2
		M			M
x	1	3	x	1	3
5	2	3	6	2
					M
		M
x	1		x	1	3
7	2	3	8	2
		M			M
x	1		x	1	3
9	2	3	0	2
		M			M
x	1		x	1	3
		Рис. К2.1
© Кафедра ТПМ ДонНАСА			36		к оглавлению

10. Пример 1 решения задания К2.

Груз В (рис. 10.1), опускаясь, приводит во вращение вал радиуса r1 и сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиуса R1 . Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением а. Определить скорость и ускорение т.А шестерни 2 радиусом R2 , которая находится в зацеплении с

→ →

шестерней 1. На рисунке показать VA и aA . Запишем условие задачи в кратком виде:

Дано: r1; R1; V0 = 0; a; R2 VA - ? aA - ?

Решение.

Рис. 10.1

Так как груз В начинает двигаться без начальной скорости, то его скорость в любой момент времени t будет равна аt (VB = at). Эту же скорость будут иметь все точки обода вала (т.е. точки, находящиеся на расстоянии r1 от оси вращения). Но, с другой стороны, скорости этих точек равны ω1 r1 , где ω1 - общая для вала и шестерни 1 угловая скорость. Следовательно,

ω1 r1 = at, и

ω1 = at . r1

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

37

к оглавлению

Теперь найдем угловую скорость ω2 шестерни 2. Так как в точке С сцепления колес линейная скорость должна быть одной и той же для обеих шестерен, то

VC = ω1 R1 = ω2 R2 ,

откуда:

ω2 = ω1 R1 = at R1 = aR1 t, с-1.

R2 r1 R2 r1R2

Итак, угловая скорость шестерни 2 растет пропорционально времени. Скорость т.А шестерни 2 равна:

VA = ω2 R2 =	aR1	t R2	= aR1 t, м/с.
	r1R2		r1

Вектор V→A направлен по касательной в сторону угловой скорости шестерни 2 (см. рис. 10.1).

Полное ускорение точки А равно:

aA = an2 + aτ2 , м/с2.

Нормальное ускорение точки вращающегося твердого тела (шестерни 2):

2			aR1		2		a	2		2		2		2
									R1
an = ω2	R2	=			t	R2 =		2			t		,	м/с	.
			r R	2			r		R
			1							2
							1
			→
Вектор нормального ускорения an					точки вращающегося твердого тела всегда

направлен к оси вращения (см. рис. 10.1).

Касательное ускорение точки А (точки вращающегося твердого тела): aτ = ε2 R2 , м/с2.

Найдем угловое ускорение ε2 шестерни 2:

ε2	= dω2	=	aR1	, с-2.
	dt		r1 R2

Касательное ускорение равно:

a	τ	=	a R1		R	2	= a R1	, м/с2;
			r R	2			r
			1				1

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

38

к оглавлению