Стрмех_2_У_1999

11

3. Перевірка вантажних коефіцієнтів полягає в тому, що сума всіх вантажних коефіцієнтів дорівнює результату перемноження сумарної одиничної епюри на вантажну:

1P 2P ... nP MS MP

в прикладі:

1P 2P MS MP

Після підстановки коефіцієнтів в систему канонічних рівнянь, вирішують систему і визначають невідомі Х1, Х2,. .. , Хn.

Систему вирішують будь-яким із відомих способів: вираженням одних невідомих через інші, або за допомогою визначників, або способом Гаусса. Якщо система містить багато невідомих її найкраще вирішувати по стандартних програмах на ПЕОМ.

Лекція №21. Побудова результуючих епюр M, Q, N

Після того, як визначені невідомі X1, X2,......, Xn результуючу епюру M можна побудувати двома способами:

1)знайдені в результаті рішення системи рівнянь невідомі X1, X2,......, Xn прикладають до основної системи разом із заданим навантаженням і будують епюру M, як для статично визначної рами;

2)можна скористуватися уже мающимися одиничними епюрами М i та вантажною MP. Алгебраїчно складаючи ординати вантажної епюри MP з ординатами виправленних епюр

Мi Xi , отримують результуючу епюру M :

M = MP + MX1 1 M2X2 ... MnXn .

Перевірка правильності побудови остаточної епюри M:

1. Так як вузли рами знаходяться в рівновазі, то алгебраїчна сума згинаючих моментів і зовнішніх, прикладених до даного вузла, повинна дорівнювати нулю.

Наприклад:

M14

М34

M14

M34

1

3

M24

4

M24

2

M34 -M24 -M14 = 0

2. Деформаційна перевірка полягає в тому, що результат перемноження остаточної епюри M на будь-яку можливу одиничну епюру, побудовану для основної системи методу сил, повинен дорівнювати нулю, так як в заданій системі переміщення у напрямі відкинутого зв'язку, для якої будується одинична епюра, дорівнює нулю, тобто

( Мрез х М i ) = 0 .

Епюру поперечних сил будемо будувати використовуючи результуючу епюру моментів. Побудова епюры Q заснована на рівновазі вирізаного з системи стержня або частині його. Раму розчленовують на окремі елементи (балки) і, розглядаючи кожний такий елемент як статично визначну однопрольотну балку, поелементно будують епюры Q. Завантажують такі однопрольотні балки зовнішнім заданим навантаженням і опорними моментами. Опорні моменти беруть з остаточної епюры M.

12

Наприклад:

q

M1

M2

1 2

1 2

А	В	А	В
		эп.M
	M1	q
	M1		M2
RА	R1	R1	R2
	эп. Q		эп. Q.

У межах дільниць де эпюра Mрез прямолінійна, поперечна сила може визначатися по формулі Журавського:

Q = dM tg , dX

де - кут нахилу эпюры Mрез до осі елемента.

На епюрі поперечних сил обов'язково ставити знаки.

Эпюру подовжніх сил будують по епюрі Q спосібом вирізування вузлів. Починати вирізування треба з того вузла, в якому невідомі подовжні зусилля не більш ніж в двох елементах. До вирізаного вузла прикладають зовнішні зосереджені сили (якщо такі є), а до розрізаних елементів поперечні сили. Позитивні поперечні сили прикладають до елемента так, щоб вони обертали вузол за годинниковою стрілкою, негативні - проти. Невідомі подовжні зусилля направляють від вузла, відомі - в залежності від знаку зусилля.

Наприклад:
Q1C		Q1A	Q1C
A	C	N1A	N1C = 0
Q1B		Q1B
Q1A
		N1B	X = 0 N1A;
			Y = 0 N1B .

Ординати эпюры подовжніх зусиль можна відкладати будь у який бік, але обов'язково ставити знаки.

13

Особливості розрахунку статично невизначних систем на зміну температури.

При розрахунку статично невизначних рам, або інших систем, на зміну температури канонічні рівняння методу сил мають вигляд:

11X1 12X2 ... 1nXn 1t

0;

2t

0;

21X1 22X2 ... 2nXn

......................................

X

X

...

X

0.

n2

2

nn

n

nt

n1 1

Тут вільні члени 1t, 2t, ....,

nt

являють собою переміщення основної системи у напрямі

відкинутих зв'язків X1, X2, ...., Xn від дії температури.

Основна система методу сил

вибирається аналогічно як і при розрахунку рами на

дію зовнішнього навантаження.

Будують, як звичайно, одиничні епюри

М

1 ,

М

2 ,

...,

М

n та визначають одиничні

коефіцієнти i k .Переміщення від дії температури:

t

t

l

t

t

l

kt

В

0

MKdS

В

0 NKdS,

Н

Н

h

2

пер

де

- коефіцієнт лінійного розширення матеріалу з якого виконана система;

- зусилля в стержнях основної системи від дії Xk = 1;

MK,NK

tн, tв - температура зовні рами і всередині.

Знак

переміщення

kt

визначається

так:

якщо

деформації елемента dS від

температури і одиничної сили аналогічні, то знак відповідного додатку буде позитивним і навпаки. (Тобто знак додатків, що входять в kt береться “плюс", якщо деформації елемента від дії Xк =1 і зміни температури співпадають і “мінус", якщо не співпадають).

Після визначення невідомих X1, X2, ...., Xn, остаточну эпюру згинаючих моментів від дії температури отримують як алгебраїчну суму виправлених эпюр:

M = MX1 1 M2X2 ... MnXn .

Особливості розрахунку статично невизначних систем на зміщення опор.

Осідання опор споруд може відбуватися через податливість грунту під підмурівком, при гірських виробленнях, карстовых явищах і т.д.

Система канонічних рівнянь при розрахунку споруд на зміщення опор записується:

11X1 12X2					... 1nXn 1C						0;
	X		X				X				0;
	21 1	22		2		2n		n		2C
......................................
	X		X				X				0.
		n2		2		nn		n		nC
	n1 1

тут KC - це переміщення у напрямі XK викликане зміщенням опор.

Переміщення опор визначають, спостерігаючи за спорудою в процесі її експлуатації, задаються маркшейдерами при шахтних підробітках територій, що забудовуються і т.д.

14

Наприклад, при нерівномірному осіданні опор, як це показане на рисунку.

А	В		ВЕРТ
			В
	ГОР	B
	В

							1C = + Dверт;
							X1
							X2 2C = + Dгор;
					X3		3C = - В.
або:					X2		X3
KC		iK Ci ,
	R
де		Ci - задане осідання опори у напрямі i-го опорного зв'язку.

RiK - реакція iго опорного зв язку від дії XK = 1.

Одиничні коефіцієнти i k визначають, як звичайно, шляхом перемноження епюр М 1

, М 2 , ..., М n , побудованих для основної системи за методом сил.

Після визначення невідомих X1, X2, ...., Xn, остаточну эпюру згинаючих моментів від

осідання опор отримують як алгебраїчну суму виправлених эпюр: M = MX1 1 M2X2 ... MnXn .

Лекція №22. Спрощення канонічних рівнянь методу сил при розрахунку симетричних рам

Основна трудність застосування методу сил при розрахунку рам, що мають велику міру статичної невизначености, пов'язана з визначенням коефіцієнтів і рішенням системи канонічних рівнянь. При розрахунку симетричних рам, є ряд прийомів, що дозволяють частину побічних коефіцієнтів ik звернути в нуль.

Одним з таких прийомів є використання симетрії рами при виборі основної системи методу сил. Тобто основну систему необхідно вибрати симетрично, причому постаратися, щоб як можна більше число невідомих було у вигляді прямо- і зворотньосиметричних зусиль.

Прямосимметричні невідомі створюють симетричні епюри моментів, а зворотньосиметричні невідомі кососиметричні епюри. Результат перемноження таких епюр:

ik Mi Mk = 0 .

15

X1

X3

X2

X3

I2

X1

h

I1

I1

q

= 3

О.С.

l

Одиничні і вантажна епюри мають вигляд:

l/2	X1=1	l/2 1	1
			X2=1

X1=1		X3=1
qh2/2
( M1	(M2	M3
		h
		МАЛ. 1

X3=1

Mp

h

Тоді в нашому випадку 12 = 21 = 0;	13 = 31 = 0, і система з трьох рівнянь з трьома
невідомими:

11Х1 + 12Х2 + 13Х3 + 1Р =0

21Х1 + 22Х2 + 23Х3 + 2Р =031Х1 + 32Х2 + 33Х3 + 3Р =0,

після підстановки коефіцієнтів перетворюється в одне незалежне рівняння:

11Х1 + 1Р =0;

і систему з двох рівнянь з двома невідомими:

22Х2 + 23Х3 + 2Р =032Х2 + 33Х3 + 3Р =0.

Угрупування невідомих.

Часто, при розрахунку симетричних рам, не вдається вибрати основну систему так, щоб всі невідомі розмістилися на осі симетрії. Тому для отримання симетричних і зворотно симетричних епюр доводиться в якості невідомих застосовувати не окремі сили, а групи прямо- і кососиметричних сил.

		16
	P		P
I2	I2	y1	y2
h	I1
l	l	= 2

X2=1				P
X1				X1
X2				X2

			2l
X1=1	X1=1	X2=1	l
	l
	M1		M2

Мал. 2

У1 = Х1 + Х2

У2 = Х1 - Х2,

12 = 21 = 0.

таким чином система рівнянь:

X

X

0;

(2)

11

1

12

2

1P

0;

X

22

X

2P

21

1

2

перетворюється:

11 X1+ 1P = 0;

і

22 X2+ 2P = 0

Перетворення навантаження.

Будь-яке навантаження, прикладене до симетричної рами, можна розікласти на

складові симетричного і кососимметричного вигляду.

q

q/2

q/2

Х2 =0

X2

X1

=0

X1

Р

Р/2

Р/2

( = 4

I

	q/2	X4	X3
			q/2
X3	P/2	X4	P/2
		II

11X1 12X2 1P 0;

21X1 22X2 2P 0;

33X3 34X4 3P 0;

34X3 44X4 4P 0;

Сума двох навантажень I + II дає початкове навантаження

17

При навантаженні рами симетричним навантаженням в симетричних зв'язках будуть виникати тільки симетричні невідомі зусилля, а при навантаженні зворотно симетричним навантаженням зворотно симетричні зусилля (див. малюнок).

Порядок розрахунку наступний:

1)перетворюють навантаження в прямо симетричну і зворотно симетричну;

2)розраховують раму незалежно на прямо- і кососиметричне завантаження, враховуючи при цьому, що при прямо симетричному завантаженні виникають тільки симетричні зусилля у відкинутих зв'язках, а при зворотно симетричному завантаженні тільки кососиметричні

зусилля. Це значно скоротить розрахунок в кожному варіанті завантаження. Рішення доводять до побудови эпюр MП.С. і MК.С;

3)остаточну епюру отримують підсумовуванням епюр, отриманих в кожному розрахунку

M = MП.С. + MК.С..

Застосування жорстких консолей.

Нехай потрібно розрахувати три рази статично невизначну раму

а)

б)

X2

в)

X1

X3

P

P

X2

P

d

I1 I1 h

X1

X3

X1

X2

X2

l

= 3

Якщо основну систему методу сил вибрати як показано на мал. б, то:

12 = 21 = 0;

23 = 32 = 0.

Вводячи в основну систему мал. в жорсткі консолі (тобто EI = , можна добитися

щоб всі побічні коефіцієнти були рівні нулю.

D

l/2

l/2

1

1

X1=1		X1=1
h-d	M1	h-d

X3=1

X2=1

M2

M3

При побудові епюр, на жорстких консолях епюри не будуються, так як при перемноженні їх за правилом Верещагина, результат перемноження в межах жорстких

	консолей необхідно буде ділити на EI = , тобто		y0	0.
			EIКОНС
	12 = 21 = 0;	23 = 32 = 0

Щоб і 13 = 31 = 0 підберемо довжину жорсткої консолі з умови:

															18
	13		31		1		1	d d		1	1			h d	h d 1		2	1	d	l			1 2 0
							2											EI2 2
					EI1					2

Тоді система канонічних рівнянь прийме вигляд:

11X1 1P 0;

		X			0;
				2P
	22	2
		X			0.
				3P
	33	3

Метод пружного центра.

Цей метод застосовують в основному при розрахунку статично невизначних арок і рам, елементи яких мають змінну жорсткість по довжині.

Суть цього способу полягає в тому, що за допомогою спеціального прийому домагаються, щоб всі побічні коефіцієнти системи канонічних рівнянь були рівні нулю.

Розглянемо симетричну 3 рази статично невизначну раму.

		-	IP	х	X1	X3	X1
h	IC	+		IC		X2	X2

l								у
11X1 12X2 13X3 1P 0;
	X			X		X		0;
			22		23		2P
	21	1		2		3
	X			X		X		0;
			32		33		3P
	31	1		2		3

x	X1 = 1	X2 = 1
	y	x
	y
	M1 y	M2 x

l			M		M		dl	l x y dl
12 21 0			1 2					0
			EI						EI
l			y dl							l	x dl
13 31 0						;		23 32 0
			EI								EI

X3 = 1

M3 1

19

Побудуємо пружний контур

1

EIP

dF 1 dl EI

d l

1 EIС

1

EIС

І коефіцієнти запишуться:

12	21	xydF	- відцентовий момент інерции пружного контура відносно вісей x і y
12	31	ydF	- статичний момент площі пружного контура відносно вісі x
23	32	xdF	- статичний момент площі пружного контура відносно вісі y.

Статичні моменти і відцентовий момент інерції рівні нулю відносно головних осей, розташованих в центрі тягаря перетину.

Отже, якщо невідомі X1, X2, X3 прикладені в центрі тягаря пружного контура, то всі побічні коефіцієнти системи канонічних рівнянь будуть рівні нулю і система запишеться:

11X1 1P 0;

		X			0;
				2P
	22	2
		X			0;
				3P
	33	3

Щоб прикласти невідомі в центрі тягаря пружного контура, використовуються жорсткі консолі.

У розглянутому прикладі:

y

SX

Ц.Т.

F

F

1

h 2

1

l

X1

X3

X1

EIC

EIP

X2

X2

1

h

S

h

2

X

EI

2

C

Порядок визначення положення центра тягаря пружного контура наступний:

1. на заданій рамі будуємо пружний контур, ширина якого дорівнює 1 ; EIi

2.вибираємо систему координат, прийнявши одну з вісей за вісь симетрії рами;

3.знаходимо положення пружного центра:

y0 SX F

Порядок розрахунку рам методом сил.

1.Визначають міру статичної невизначеності системи:

= CОП + 2Ш0 - 3D;

або

= 3K- Ш0 ;

20

2.Вибирають найбільш раціональну основну систему методу сил (з урахуванням можливих спрощень).

3.Записують систему канонічних рівнянь методу сил.

4.Для основної системи будують одиничні Mi і вантажну MP епюри моментів.

5.Визначають коефіцієнти системи канонічних рівнянь.

6.Перевіряють правильність обчислення коефіцієнтів (універсальна, порядкова і перевірка вантажних коефіцієнтів).

7.Вирішують систему канонічних рівнянь і визначають значення невідомих X1, X2, ...., Xn. Правильність рішення системи потрібно перевірити підстановкою знайдених невідомих в систему рівнянь.

8.Будують виправлені эпюры Mi *Xi

9. Складаючи виправлені епюри та вантажну, отримують резильтуючу епюру

MРЕЗ MP Mi Xi

10. Перевіряють правильність побудови епюри MРЕЗ:

а) статична перевірка - повинно виконання рівноваги моментів у вузлах

в) деформаційна перевірка ( M РЕЗ Mi ) = 0.

11.По епюрі MРЕЗ будують епюру поперечних зусиль Q і потім по епюрі Q - епюру подовжніх зусиль N.

12.Виконується статична перевірка рівноваги рами загалом:

MK = 0;x = 0;y = 0;

в ці рівняння входить задане навантаження і опорні реакції, які беруть з эпюр MРЕЗ, Q, N. 13. У випадку необхідності визначають переміщення вказаних перетинів рами.

Визначення переміщень статично невизначних систем.

Для визначення переміщень статично невизначних систем необхідно спочатку побудувати епюри M від дії зовнішнього навантаження і від дії одиничної узагальненої сили, прикладеної у напрямі шуканого переміщення. І потім перемножуючи епюри за правилом Верещагіна, визначають шукане переміщення. При цьому вантажну епюру будують для заданої статично невизначної системи (вирішуючи її будь-ким з відомих методів: метод сил, переміщень і т.д.), а одиничну епюру будують для основної системи методу сил, що значно спрощує процес визначення необхідних переміщень. Допустимість таких спрощень

доведемо на прикладі:		CГОР=?
а)	б)		в)
	q		q
З	У		HB
	I1		VB
h	I2

MРЕЗ

Аl

Для заданої рами епюра MРЕЗ показана на мал. б. Якщо в опорі В відкинути дві опорні зв'язки і у напрямі відкинутих зв'язків прикласти опорні реакції VB і НВ (див. мал. в), то епюри моментів і деформації систем, показаних на мал. а і в будуть однакові, а, отже, для