Стрмех_2_У_1999

21

визначення сгор одиничну епюру можна будувати як для заданої (мал. а) так і для основної (мал. в) системи методу сил, тобто:

P=1	ГОРC	MР ЕЗ MP
	MP
h

Лекція №23. Метод переміщень

Метод переміщень є таким же універсальним методом, як і метод сил, і може бути застосований для розрахунку будь-яких статично невизначних систем. Однак найбільш раціонально застосування цього методу для розрахунку статично невизначних рам і нерозрізних балок. При розрахунку інших статично невизначних систем (ферм, арок і т.д.) рішення методом переміщень виходить більш громіздким в порівнянні з методом сил, і, в ручній реалізації, для розрахунку таких систем метод переміщень, як правило, не застосовується.

У методі сил за невідомі приймалися зусилля в так званих «зайвих» зв'язках, після визначення яких ми могли знайти всі інші зусилля (M, Q, N) в будь-якому перетині, а потім, використовуючи отримані епюри визначити переміщення будь-якої точки споруди.

Але можна вирішити задачу і в іншій постановці: спочатку визначити переміщення яких-небудь точок споруди, а потім відповідні їм зусилля. Так вирішується задача в методі переміщень, де за невідомі приймаються кутові і лінійні переміщення вузлів рами.

Основні передумови методу:

1)як і в методі сил, нехтують впливом подовжніх і поперечних сил на переміщення вузлів рами, враховують вплив тільки згинаючих моментів;

2)через малість деформацій вигину, нехтують зміною довжин стержнів за рахунок викривлення їх осей;

3)у загальному разі навантаження вузли рами можуть повертатися і лінійно зміщатися. Вважається, що при повороті жорсткого вузла все примикаючі елементи повертаються на один і той же кут. Елементи, що сходяться в шарнірному вузлі, повертаються кожний на свій кут, в зв'язку з чим кут повороту шарнірного вузла визначити не вдається;

1

2

3

1

P

22

4) лінійні переміщення вузлів відбуваються по дузі кола, але в зв'язку з їх малістю вважають, що переміщення вузлів відбуваються перпендикулярно до елемента, якому вони належать.

Міра кінематичної невизначеності рам (кількість невідомих).

Мірою кінематичної невизначеності називається число невідомих переміщень, знання яких визначає деформований вигляд системи і, отже, всі зусилля в ній. Враховуючи сказане, міра кінематичної невизначеності рами визначається:

(1)

тут - міра кутової рухливості рами. Вона визначається числом жорстких вузлів рами, не вважаючи опорних, так як їх положення зазделегідь відоме. Жорстким вважається вузол, в якому, принаймні, два з стержнів, що сходяться сполучені між собою жорстко.

=4.

У одному вузлі може за допомогою шарніра сполучатися група жорстких вузлів, наприклад

=2

=5

шарнир

23

- міра лінійної рухливості рами, рівна кількості можливих незалежних лінійних зміщень вузлів рами.

=1

Якщо це візуально визначити скрутно, то задану раму перетворюють в шарнірностержневу систему, вводячи у всі жорсткі вузли, в тому числі і опорні, шарніри. Міра свободи отриманої системи і визначає міру лінійної рухливості рами.

Наприклад:

=2

Або	W 3Д 2Ш0 СОП

W 3 5 2 4 5 2

Основна система методу переміщень і канонічні рівняння.

Після визначення числа невідомих, вибирають основну систему методу переміщень. На відміну від методу сил, де основну систему вибирають статично визначеною, в методі переміщень як основна система приймається кінематично визначена система, яка утвориться із заданої шляхом накладення на її вузли зв'язків, перешкоджаючих пружним переміщенням вузлів.

Вводяться зв'язки двох типів:

а) зв'язки першого роду, або пружно-податливі защемления, які не дають вузлам можливості повертатися, але не перешкоджають можливим їх лінійним зміщенням (моментні зв'язки)

24

Зв'язки першого роду

Зв'язки першого роду вводяться у всі жорсткі вузли рами.

б) зв'язки другого роду або опорні стержні, які не заважають повороту вузлів, але виключають їх можливі лінійні зміщення

зв'язок другого роду

Вводять зв'язки другого роду у напрямі можливих лінійних переміщень вузлів.

Розглянемо приклад вибору основної системи методу переміщень

=1+1=2

Z1 Z2

1 2

Z2

задана система

основна система

Тобто основна система являє собою набір окремих статично невизначних балок з постійною жорсткістю.

Ідея методу: для того, щоб основна і задана система були рівноцінні в значенні деформацій і зусиль, необхідно в основній системі зв'язки повернути на відповідні кути і додати їм лінійні зміщення як в заданій системі. При цьому в додаткових зв'язках виникнуть реактивні зусилля. У зв'язках першого роду реактивні моменти, а в зв'язках другого роду реакції. Оскільки в заданій системі додаткових зв'язків немає, то можна записати умови рівноцінності: реактивні зусилля в додаткових зв'язках від їх переміщення і дії зовнішнього навантаження повинні бути рівні нулю, тобто

R1 R1відZ1	R1відZ2	R1P	0
	R2 відZ2		,
R2 R2 відZ2		R2 P 0
визначимо
R1відZ1 r11Z1;	R1відZ2 r12 Z2 ;			и т.д.,
де:
r11 – реактивное усилие в связи 1 от единичного смещения				связи Z1=1, т.е. индексы при
коэффициентах позначають			rik
		де	від чого

25

Тоді, система канонічних рівнянь методу переміщень для систем з двома невідомими запишеться

r11Z1 r12 Z2 R1P 0r21Z1 r22 Z2 R2P 0

Для n-разів кінематично невизначних систем

r11Z1 r12Z2 .........		r1n Zn R1P	0
	r22Z2	r2nZn R2P	0
r21Z2
..............................................				(2)
	rn2Z2	rnnZn RnP 0
rn1Z1

Лекція №24. Визначення коефіцієнтів і вільних членів канонічних рівнянь

Як вказувалося вище, завдяки введенню додаткових зв'язків, основна система методу переміщень являє собою набір окремих статично невизначних балок постійної жорсткості по довжині. Їх опорні закріплення можуть бути двох типів: жорстке затиснення або шарнір (див. мал. а і б)

а)

б )

Оскільки ми нехтуємо подовжніми деформаціями елементів, то можливими переміщеннями вузлів балок а) і б) є вертикальні лінійні переміщення і поворот жорстко закріпленого вузла.

Коефіцієнти, що входять в канонічні рівняння, являють собою реактивні зусилля в додаткових зв'язках від переміщень вузлів і дії зовнішніх навантажень. Тому розглянемо

напружено-деформований стан окремих балок від різних можливих видів впливів.
	Z=1
1)	EI		11 X1 1C
A		B
X1=1					1 1 1 2 1
		M1	11		EI 2		3	3EI
1
	3EI				1С		1
		2
3EI		эп.M M1	X1				1C		3EI
					X	1
							11

Аналогічно вирішуючи задачу для інших можливих видів впливів, формують таблицю напружено-деформованих станів окремих балок.

	26
Ескіз балки	Епюри і реакції
Z=1	3EI
EI		2
	3EI

	EI	3EI					3EI
	Z=1		2					3
Z=1	EI				6EI			2EI
						2
		4EI
	EI				12EI
	Z=1			6EI	3			6EI
				2				2
	q			q 2
				8
			5 q					3q
			8					8
	P		3	P		5	P
			16		32
/2	/2		11					5
				P				P
			16					16
	M			M				M
				2	15, M
q				q 2	q 2			q 2

	12	24	12
	q		q
	2		2
	P	P	P

	Р	8	8	8
(/2		P		P
		(/2		2
		2

27

Порядок визначення коефіцієнтів розглянемо на конкретному прикладі:

	q	q
		Z1
1)		2)
h		Z2
2
EIC	EIC
h		О.С.
2
.	l	=1+1=2.

r11Z1 r12Z2 R1P 0

r21Z1 r22Z2 R2P 0

1е рівняння називається моментним;

2е рівняння - рівнянням зсуву.

3)Для визначення коефіцієнтів канонічних рівнянь необхідно побудувати одиничні і вантажну епюри. Епюри будують в основній системі методу переміщень, послідовно задаючи одиничні зміщення всім додатковим накладеним зв'язкам і від дії зовнішнього

навантаження, використовуючи раніше складену таблицю.

4)

		Z1=1
	4EIC
	h
		3EIP
	2EIC	M1
	h

	6EIС	Z2=1
	h2
12EIС	3EIС
h3	h3
6EIС	M2	3EIC
h2		h2

	q 2
	8
Ph	P
8	2
	MP

Коефіцієнти моментных рівнянь, що являють собою реактивні моменти в додаткових зв'язках визначають шляхом вирізування цих додаткових зв'язків з відповідних эпюр. До зв'язку, що вирізається прикладають реактивні моменти, взяті з эпюр і шукану реакцію зв'язку. Шукану реакцію прикладають так, як задавалося одиничне переміщення зв'язку, що

28

розглядається і потім, записуючи рівність моментів в зв'язку, що розглядається, нулю, визначають шукану реакцію.

r11 - реактивний момент в першому зв'язку від її одиничного зміщення.

r11			M1=0;
3EIP	r		3EIP 4EIC		0;
	11			h
4EIC	r		3EIP	4EIC ;
h	11			h
r12

					M1=0;
	6EIС
			r		6EIC	0; r		r		6EIC	;
	h		12		h		12	21		h

R1P

				q 2		q	2		Ph
					M1=0; R1P					;
	8					8			8
	Ph
	8

Коефіцієнти рівнянь зсуву, представляючі собою реактивні зусилля в зв'язках другого роду, визначають, відчікаючи від рами елемент, через який передаються реакції на зв'язок, що розглядається, вздовж якого розташований додатковий опорний стержень. До відсіченого опорного елементу прикладають шукану опорну реакцію (у напрямі, якій задавали одиничному переміщенню) і реакції стержнів, які проецируются на вісь додаткового стержня.

З рівняння, у вигляді суми проекцій всіх сил на напрям одиничного переміщення, визначаємо величину шуканої реакції.

r22

R2P

12EIС

3EIС

P

h3

2

h3

X=0; r

3EIC

12EIC

15EIC

;

X=0; R

P

;

h3

11

h3

h3

1P

2

5) Перевірки коефіцієнтів системи канонічних рівнянь (виконують досить рідко):

а) універсальна: сума всіх одиничних коефіцієнтів рівна результату множення сумарної одиничної эпюры самої на себе:

rii 2 rik MS MS

29

Сумарну одиничну эпюру отримують шляхом складання всіх одиничних эпюр:

				3EIP
4EIC
		–
	h
–	6EIС
	h2
2EIC – 6EIС				M	S	3EIC
	h		h2			h2

б) построкова перевірка: сума всіх одиничних коефіциєнтів i-го рівняння дорівнює

результату множення сумарної одиничної епюри на Mi .

rik MS Mi

в) перевірка вантажних коефіцієнтів: сума всіх вантажних коефіцієнтів рівна, взятому із зворотним знаком, результату множення сумарної одиничної эпюры на вантажну, побудовану для основної системи методу сил:

RiP MS MP .

6)Коефіцієнти підставляють в систему канонічних рівнянь і вирішують її, визначаючи невідомі Z1, Z2,. ..... Zn.

7)Після того, як знайдені дійсні переміщення додаткових зв'язків Zi, будують остаточні епюри зусиль в заданій системі.

Епюру знинаючих моментів Mрез отримують складанням ординат вантажної епюри MP

зординатами виправлених епюр MiZi , тобто:

MРЕЗ MP M1Z1 M2Z2

...... MnZn

Правильність побудови остаточної эпюры згинаючих моментів перевіряють тими же способами, що і в методі сил:

а) перевіряється рівновага вузлів рами - в методі переміщень ця перевірка є істотною, оскільки в основній системі рівності моментів у вузлі немає, а в заданій системі воно повинно виконуватися;

б) виконується деформаційна перевірка. Для цього вибирається основна система методу сил, будується одна з можливих одиничних эпюр і:

MРЕЗ Mi 0 3%

По епюрі моментів будують эпюру Q, а по эпюре Q - епюру подовжніх сил N.

30

Лекція №25. Особливості розрахунку рам з непаралельними стойками

У рамах з паралельними стойками, незалежно від того горизонтальний ригель або похилий, лінійні зміщення вузлів рівні між собою.

	2		2'
		1'
1			1-2 = 1'-2'
			1-1' 2-2'
			1-2-2'-1' — параллелограмм
			1-1' = 2-2'
А			В

Більш складно визначити залежність між лінійними зміщеннями вузлів рам з непаралельними стойками.

А1	В2
	2'
2
			12
1
1'

А

В

Визначають залежність між лінійними зміщеннями вузлів за допомогою діаграми

Вілліо:

- вибираємо точку О - полюс діаграми, з полюса відкладаємо незалежне зміщення (В2 у напрямі перпендикулярно стойці В2 і прямі перпендикулярно А1 і перпендикулярно ригелю

1-2.

(В-2 2

ПРО (12

(А-1 1

- вимірюючи отримані відрізки, знаходимо відносини

					1 2
k1 A	A 1	;	k1 2			.
	B 2				B 2