Коваль ЕЛЕМЕНТИ МАТ. ПЕРЕТВОРЕНЬ

		0		0
	1	2		0
	0					(1.43)
X' AX					A.
		0
0				n

Отже, якщо власні вектори матриці А розміщені у вигляді стовпців матриці X, то добуток X’AX перетворює матрицю А на діоганальну матрицю, яка має характеристичні корені на головній діагоналі.

Приклад 1.7. Знайти характеристичні корені матриці А. Запишемо рівняння AX= X, або

a		x a						x		x				a		x a		x			x 0				(a			x ) a		x		0
	11 1						12		2	1						11 1	12			2	1					11		1	12		2		.(1.44)
a21x1 a22 x2 x2														a21x1 a22 x2 x2 0										a21x1 (a22 )x2 0
Запишемо характиристичне рівняння det(A E ) 0 для системи (1.44):
		a11								a12			0 (a11 )(a22 ) a12a21 0
		a21							a	22
		2						(a11 a22 ) (a11a22 a12a21) 0.																				(1.45)
Отже,					1
						a11				a22
1,2															a11 a22		2		4 a11a22				a12a21					(1.46)
					2																тоді a12		a21
Нехай			матриця А –											симетрична					,						і характеристичні								корені цієї
матриці			1
				a11 a22																		.
1,2														a11		a22 2	4a122											(1.47)
			2																													X1 X2 матриці
Підставівши поступово i																в систему (1.44), знайдемо власні вектори
А.																													X1, X2
Приклад 1.8. Знайти характеристичні корені i																								в власні вектори									матриці А:
										4				2
										A			2		.
														1

Матриця А симетрична. Для визначення i застосуємо (1.47):

1

1,2 2 (a11 a22 ) (a11 a22 )2 4a122

21 4 1 32 4 22 21 5 25 21(5 5);

1 5; 2 0.

Щоб знайти власни вектори X1(x11;x12 ) і X2 (x21;x22 ), розвяжемо для кожного

i систему рівнян (1.44)

Нехай, 1 =5, тоді

(4 5)x			11	2x	21	0	x		11	2x	21	0	x1	2x2.	(1.48)
	2x21
		(1 5)x2 0						2x21 4x2 0

Нормалізуемо вектор X1(x11;x12 ), зводячи його довжину до 1, тобто:

x2	x2	1..	(1.49)
11	21

21

Підставимо(1.48 )в (1.49) :

(2x		)2 x2		4x2						x	2		5x2												1 x2									1		x						1			.
	21		21	21							21					21																21	5						21				5
		x11	x2	2
Звідси,									.
Власний вектор				5
																2									1
										X1
													(												;						).									(1.50)
																5									5
Для знахождення власного вектора X2 (x21;x22 ), покладаемо																																														2		0.
Система (1.44) запишеться у вигляді
					x					2x						0																2x .														(1.51)
					12								22										x						22
					2x12 x22											0																	12
Норрмалізуемо вектор X2 (x21;x22 ), звівши його довжину до 1, тобто:
x2	x2		1 x2 4x2										1 5x2																		1 x2						1		x							1			.	(1.52)
11		21		12							12														12								12			5						12				5
Піставивши (1.52) у (1.51), дістанемо:
									x22							2						.
Власній вектор																5
											1					2
					x2
										(					;											).																								(1.53)
											5
																5
Зауважимо,			що оскільки										,			то власні вектори																								і		ортогональні,тобто лінійно
незалжні:

	X1	X2'				2				1										1				2									2										2
			(							;										)(					;						)														0.
																																											5
						5																						5
										5										5													5
Перевіримо, чи виконуеться (1.43):
				2						1																2										1									10
		0				5				5											4			2				5									5
X'AX	1																																														5
						1				2																		1								2
0																					2			1
		2																																											0
						5																						5
																5																							5

5			2				1									20 5				10 10
																									5 0
				5			5
	5			1			2									5 5				5 5						.
																0					0				0 0
0
				5
											5

Отже, співвідношення X' AX справді переводить матрицю А вдіогональну матритцю

		0
	1	2	Це пітверджуе правильність наведених обчислень.
	0

1.9Квадратичні форми

1.9.1.Означення квадратичної форми

22

Ознгачення 3.22. Квадратичною формою Q(x1,x2 , xn )від

n невідомих

x1,x2 , xn називаеться сума ,кожний доданок якой е квадратом одного з цих невидомих або добутком двох різних невідомих:

	Q(x1 , x2 , xn ) a11 x12	2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
			n	n	(1.54)
	a22 x22 2an2 xn x2 ann xn2		aij xi x j.
			i 1	j 1

Коефіценти членів xi2 розмішені головній діогоналі матриці симметричні і дорівнюють відповідно половинам коефіцентів при xi xj. :

aij

aji

aij aji

.

2

Симметричну матрицю

A (aij ) називають матрицею квадратичної форми. У век-

торно-матричній формі квадратична форма мае вігляд

X’AX, де

X' (x1,x2 , xn ),

А- симетрична матриця.

Розглянемо , наприклад. два випадки.

a11

a12

1. Матриця А мае розмір 2х 2, а саме A

. Тоді квадратична форма

a21

a22

X' AX x1

x2

a

a

x

11

12

1

. a11x12 a12 x1x2 a12 x1x2 +a22 x22

a21

a22 x2

a11x12 a22 x22 a33x22 .

2.Матриця А діогональна, тобто

a

0

0

11

a22

0

A 0

.

0

a33

Утокомму разі

0

a

0

0 x

a

x

X' AX x1

x2

11

a22

1

x2 x3

11

1

x3 0

0 x2 x1

a22

x2

0

0

a33 x2

a33

x3

=a11x12 a12 x22 a33x32 .

-вагова сума квадратів.

Означення 1.23.Квадратичну форму і відповідну їй матрицюА називають додатно визначеною тоді і тільки тоді , коли X’AX 0 для всіх дійсних x 0.

Означення 1.24.Квадратичну форму і відповідну їй матрицю називають додатно напіввизначеною, XA’X 0 для всіх X.

Запам’ятайте важливу властивість додатно визначених матриць.

Матриця А додатно визначена тоді і тільки її характеристичні корені (власні значення) 1 додатні, а саме:

23

		0		0
	0	2		0
						(1.55)
X' AX					A.
		0
0				n

Рівняння (1.55) можемо пристосувати для знаходження іншого результату, який корисний при вивчені узагальненого методу найменьших квадратів.

Скільки всі i додатні, можемо задати діагональну матрицю Dтакого виду:

	1			0					0
		1
			1
	0								0
D													(1.56)
			1
	0		0						1
										n

Неважко побачити, що добуток (1.55) на матрицю D ліворуч і праворуч дає

одиничну матрицю:
(XD)’A(XD)=En .	(1.57)
Нехай Z=XD, тоді
Z’AZ=En .	(1.58)
Оскільки матриці X і D – невироджені, то Z – також невироджена. виконавши
відповідні перетворення, дістанемо:
А = (Z-1)’ Z-1	(1.59)

Отже, коли матриця А додатно визначена, можна знайти таку невироджену матрицю P=(Z-1)’, що A=PP’.

1.9.2. Випадкові квадратичні форми

Нехай d – випадковий вектор, А – детермінована симетрична матриця.

Добуток d’Ad називають випадковою квадратичною формою, коли коваріаційна матриця d дорівнює cov d = d2 E і матиматичне сподівання M(d)=0.

Застосувавши оператор математичного сподівання до випадкової квадратичної форми d’Ad, дістанемо:

M(d’Ad)= d2 tr(A). (1.60)

Наведемо властивості випадкової квадратичної форми.

Означення 1.25.

1.Квадратична форма d’Ad має розподіл x2 із k ступенями свободи тоді і тільки тоді, коли А – ідемпотентна матриця (тобто A2 A) і rgA=trA=k.

2.Нехай В – детермінована матриця, така що ВА=0 і d N( , 2 E). Тоді Bd і

Ad’d –незалежні.

24

3. Якщо A=PP’ –симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень

n

i tr(X' AX) tr(AX' X) trA.

i1

4.Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють нулю або одиниці,

асаме:

	якщо AX X,тоA2 X AX 2 X ; проте												A2 X AX X , тобто
2	X X , оскільки	X 0, то 2		0. Звідси 0								або 1.
5.	Матриця A En	Z(Z'Z) 1 Z'			є ідемпотентною, rgA=1 і матриця Я має таку
властивість, що (Z’Z) – квадратна симетрична невиродженеа матриця.
		1	1						3		6
	Приклад 1.9. Нехай Z 1		2 ; тоді Z'Z								;
									6		14
		1	3
			Z'Z			42 36 6 0,
отже, матриця Z’Z – невироджена.						14
									1
							6
			(Z'Z) 1						3		;
							1
										6

		5			2						1
		6			6
											6
Z(Z'Z) 1 Z'		2				2				2			.
		6			6				6
		1			4				5
									6
		6			6

Визначимо нову матрицю А так:				1			2				1
				6							6
							6
A E		Z(Z'Z) 1 Z'		2				4					2		.
	n			6			6
											6
				1			4				1
											6
				6			6

Матриця А – симетрична та ідемпотентна, оскільки A2 A. Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1.

Знайшовши характеристичні корені цієї матриці, тобто розв’язавши рівняння A E 0, дістанемо 1 1 і 2 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості

;.

1.10. Диференціювання функції багатьох змінних (градієнт функції f(x) )

Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f(x1,x2 , xn ), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто

25

X= (x1,x2 , xn )'.

Тоді можна коротко записати f(x)= (x1,x2 , xn )'.

f(x)

Означення 1.25. Градієнтом функції f (x) (позначається: f(x)= (x) )

називається вектор, який складається з частичних функції f (x) за x1,x2 , xn :

			f(x)
				x
				1
		f(x)		f(x)
	f(x)=		=	x		(1.61)
		(x)
				2
				f(x)
				xn

Нехай потрібно визначити градієнт функції f(x)= B' x, коли

( 1, 2 , n )' і x (x1,x2 , xn )'.

Тоді

x

1

f

(x) ( , )

x2

x x

x

.

2

n

1

2

n

1 1

2

n

Отже, градієнт функції

xn

( 'x)

i

(i 1,n)

(1.62)

(x)

Узявши до увагу, що 'x=x' , градієнт можна визначити як

'(x)

( 'x)

=( 1, 2 n )’

(1.63)

(x)

(x)

Далі розглянемо функцію

f (x) x' Ax,деA (aij )

- симетрична матриця порядку n

і x = (x1,x2 xn )' - n-вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як квадратичну форму (див.підрозділ. 1.9).

Визначимо градієнт квадратичної форми. Для цього подамо f(x) x'Ax як скалярний добуток:

a

a

a

1n

x

11

12

1

f(x) x'Ax = (x1

,x2

a21

a22

a2n x2

xn )

an2

an1

ann xn

x

1

(a11x1 a21x2 an1xn;a12x1 a22x2 a2nxn an1x1

x2

(1.64)

an2x2 annxn)

xn

x1(a11x1 a21x2 an1xn ) x2 (a12x1 a22x2 a2nxn ) xn (an1x1 an2x2 annxn )

26

Знайдемо компоненти вектора-градієнта. Перший компонент

f (x)		(x' Ax)
			2a11x1	(a12	a	21) (a1n		an1)xn
x1		x1
					2a			2a
					12			1n

n

2a11x1 2a12 x2 2a1n xn 2 a2 j xj .

1 n

Другий компонент:

(x' Ax)

			(a12 a21)x1 2a22 x2 (a23 a32 )x3 (a2n an2 )xn
		x2
					n
		2a21x1 2a22 x2 2a23x3 2a2n xn			2 a2 j xj .
n-й компонент :					1 n
		(x' Ax)			n
				(a1n an1)x1 (an2 a2n )x2 2ann xn 2 anj xj .
		xn			1 n

Отже, градієнт від квадратичної форми f(x)=x’Ax має вигляд

(x' Ax)

xn

		n
	2 a1j xj .				a	11
		1 n
		n	xj		a21
		2 a2 j		. 2
		1 n
		n
		2 anj	xj		an1
				.
		1 n

a		a	1n	x
	12				1
a22		a2n x2					2AX.	(1.65)
an2
		ann xn

Отже, скорочено

(x' Ax)

xn 2AX. (1.66)

1.11.Коротки висноки

1.Матрицею називається таблиця чисел, яка визначає її розмір з m рядків і n стовпців:

	a11	a12	a1n
		a22
А=	a21			a2n
		am2
	am1			amn

2.Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розмір m n.

3.Якщо m n, то матриця – прямокутна; якщо m n- матриця квадратна порядку n (або m).

4.Якщо матриця має один стовпець або рядок, то її називають відповідно: матрицею-стовпцем або матрицею-рядком. Загалом такі матриці називають векторами, а саме:

27

	a11
A	a	21	; А= a11	a12 a1n

an1

5.Якщо матриця А має всі нульові елементи, то вона є нульовою:

	0		0		0
		0	0		0
А=
			0
	0				0

6.Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною:

110 0

0 a22 0a

А=

	0	0
			am

7. Якщо в діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а саме

	1	0	0		0
		1	0
	0				0
En	0 0		1	0 ,
					0
	0	0	0		1

то така матриця називається одиничною n-го порядку.

	a11	a12	a1n
		a22
8. Якщо в матриці А=	a21			a2n	поміняти місцями елементи рядків на
		am2
	am1			amn
відповідні елементи стовпців (або навпаки), то дістанемо транспантовану матрицю

a	a	...	a
12	12		1n
a21	a22	...	a2n
A' a	a	...	a
31	32	...	3n
... ...			...
am1	am2	...	amn

9.Квадратна матриця А називається симетричною, якщо A’=A.

10.Додавання і віднімання виконується тільки для матриць одного того самого порядку. Якщо A (aij )і B (bij ) маютьоднаковий порядок, то матриця суми (різниці) C (aij bij ).

11.Матриця будь-якого порядку А може бути помножена на скаляр .

28

	a11		a12	a13
		a21	a22
A					a23
					.
			am2
	am1				amn

При множенні матриці А на скаляр виконуються такі закони:

а) A=A ;

б) ( A)’= A+ B;

в) (A+B)= A+ B;

г) ( + )A= A+ B;

д) ( )A= ( A)= ( A).

12. дві матриці А і В помножити одна на одну, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. Кожний елемент cij матриці-

добутку С=АВ є сумою добутків відповідних елементів (aij ) i-го рядка на відповідні елементи j-го стовпця:

		n
cij ai1b1j	ai2b2 j ainbnj	aikbkj .
		k 1

13.При множенні матриць справджуються такі закони: а) АВ ВА; б) (АВ)С=А(ВС);

в) (А+В)С=АС+ВС; г) С(А+В)=СА+СВ;

д) (АВ)=( А)В=А( В);

е) АЕ=ЕА=А;

є) (АВ)’=В’А’;

		b
			1
14. Добуток матриці A a1 a2	... ap B	b2
		bp

c (a1b1 a2b2 apbp )

a1

Якщо вектор А= a2 ,

...

an

то

	a1
			n
A' A a1 a2	... an a2
			= ai2	a12	a22 an2
	...		i 1
	an

29

a

a2

a

a

a

a

1

1

1

2

1

n

AA'

a2

a1 a2

... an =A

a2a1

a22

a2an .

...

ana2

an2

an

ana1

15.Квадратна матриця, що задовольняє умову A2 A, називається ідемпотентною.

16.Кожна матриця має скалярну характеристику – ранг матриці. Рангом називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців (рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора матриці А, який відрізняється від нуля:

rg A min(m,n),

m,n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А.

17. Якщо rgF=min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу виконуються такі співвідношення:

а) rgA=rg A’; б) rg A’A =rgA;

в) rgAB min(rgA,rgB); г) rg En =n

18. Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики:слід матриці і її визначник (детермінант).

Слідом матриці розмірності (n n) є сума елементів, що містяться на її головній діагоналі, тобто

n

trA= aii .

i 1

Для сліду виконуються такі співвідношення:

а) trA=trA’;

б) tr( A+ B)= trA+ trB, (A і B – матриці однакового порядку);

в) tr(AB)=tr(BA);

г) tr(AA’)=tr(A’A)=tr( A2 ), (коли А – симетрична); д) tr En =n.

19. Детермінантом ( визначником ) квадратної матриці А n-го порядку називається алгедраїчна сума членів, кожний з яких містить n співмножників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка (стовпця) визначника. Позначається:

					a11	a12	a1n
det A або		A		=	a21	a22	a2n		.
					an1	an2		ann

20.Визначник (n-1)–го порядку, в якому викресленні i–й рядок і j–й стовпець, називається мінором елемента aij і позначається Mij .

21.Мінором Mij , який береться зі знаком ( 1)i j , де -номер рядка, -номер стовпця елемента aij , називається алгебраїчним доповненям цього елемента, а саме:

30