Коваль ЕЛЕМЕНТИ МАТ. ПЕРЕТВОРЕНЬ

Aij = (-1)i+j Mij .

22. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповненя:

A a11 A11 a21 A21 a31 A31 an1 An1 ai1 Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 ain Ain ;

a11	a12			a11	a12	a11a22	a21a22.
det	a22			a21	a22
a21
23. Квадратна			матриця, для якої						A		0, називається невиродженою. Кожна

невироджена матриця має єд=ину оберену матрицю, для якої виконується:

A 1 A A A 1 En ,

Обернена матриця знаходиться з виразу

A11

A21

A31

An1

A

A

A

A

1

A

A

A

A

12

22

32

n2

A 1

J

A

A

A

A

,

A

A2n

A3n

Ann

A1n

A

A

A

A

де J – приєднана матриця.

24. Основні властивості оберненої матриці: 1)(AB) 1 B 1 A 1;

2) (ABC) 1 C 1B 1 A 1 ; 3)(A') 1 (A 1)';

4)A 1 1 ; A

5)A 1 A E ;

6)E A 1 A A 1 A .

25.Матриця, в якої A 1=A’, називається ортогональною.

26.Матриці, в яких елементами є окремі підматриці. називаються блоковими:

	(A )	(A	)
A	11	12	;
	(A21)	(A22 )

Розбиваючи матрицю на підматриці. слід додержувати таких правил:

-підматриці, що стоять поруч (A11) (A12 )і(A21) (A22 ) - повинні мати однакову кількість рядків;

-підматриці, які стоять одна під одною (A11) (A21)і(A12 ) (A22 )

повинні мати однакову кількість стовпців.

27.При додаванні 9відніманні0 блокових матриць, має ьнасамперед виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий.

При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями.

28.Кронекеровий добуток двох матриць A B

31

a11

a21

де A

am1

		a11B				a12 B a1n B
						a22 B
		a21B						a2n B
A B=								.
						an2 B
		an1B						ann B
a		a					b	b	b
	12		1n				11	12	1n
a22		a2n				B	b21	b22	b2n
					;		.
am2								bm2
		amn					bm1		bmn

	A	A			A'		A'
Якщо матриця A	11	12		блокова, то A'		11		12	.
	A21	A22			A'21		A'22

29. Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніса:

(1.27) 30 Детермінант матриці А

A			A11	A12			A				A A A 1			A				A				A A A 1			A		.
			A21	A22			11				22	21	11	12				22				11	12	22	21

31. Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується AX=B,

a11			a12		a13		a1, j
			a22		a23		a2,j
a21
a		31	a	32	a	33	a	3,j
A
a		i1	a	i2	a	i3	a		ij
			an2		an3		anj
an1

a1n			x		b
a2n				1		1
a			x2		b2
	3n
		; X =		; B=
a			xj		bj
	in
			xn		bn
ann

Якщо А – невироджена матриця, то розв’язок системи AX=B знаходиться як

XA 1B.

32.Система лінійних рівнянь AX=0, називається однорідною. Вона має

нетривіпальні розв’язки, якщо A 0. Система рівнянь AX= X AX- X=0 (A-

E )X=0 має нентривіальний				розв’язок. якщо					A E	0. Останнє	рівняння
називають характеристичним рівнянням матриці А.
33.	Корені	рівняння		A E		0	є	характеристичними			коренями
(характеристичними числами, власними значеннями) матриці А.
34.	Вектори	Xk , які є розв’язком системи ( A E k )X=0 для характеристичного
корня k , називається власними векторами матриці А. Добуток

32

			0		0
		1	2
		0			0
	X' AX				A.
			0
	0				n
де X – матриця власних векторів А;
i - характеристичні корені матриці А.
35. Квадратична	форма Q(x1 , x2 , xn ) від n					невідомих x1 , x2 , xn запи-
сується у вигляді:
Q(x1 , x2 , xn ) a11 x12			2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
					n	n
a22 x22	2an2 xn x2 ann xn2				aij xi x j.
					i 1	j 1

У векторному-матричному запису квадратичну форму можна подати так: X’AX,

x1

x2

де x , А – симетрична матриця.

xn

36.Якщо d – випадковий вектор, для якого виконується: cov d = d2 E; M(d)=0, то

d’Ad – називається випадковою квадратичною формою. Для випадкової квадратичної форми

M(d’Ad)= d2 trA.

37. Якщо A=PP’ – симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень:

n
i	tr(X' AX) tr(AX' X) trA
i 1

Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють або нулю, або одиниці.

Матриця A En Z(Z'Z) 1 Z' є ідемпотентна, причому ранг її дорівнює 1. 38. Градієнтом функції f(x), коли x (x1 , x2 , xn ) є вектор

			f(x)
				x
				1
		f(x)		f(x)
	f(x)=		=	x	.
		(x)
				2
				f(x)
				xn

39. Якщо функція f(x)= B' x= Bx' , то градієнт її

( 'x) ( x')f (x) (x) (x)

40.Градієнт квадраптичної форми f(x)=x’Ax дорівнює f (x) 2Ax .

1.12.Запитання та завдання для самостійної работи

33

1. Задані матриці:
	3		6			5	2			1	2	5
	A	5	;	B 4			4 ;	C 3			2 2 ;
			7			3				5	2	3
							4
1	4			1	1		1		0			1	3	5
D	;		F 3		3 ;		E	0	;		K 1 2			4 .
4	5			2	1				1			4	5
														0

Знайдіть матриці суми (різниці): A D; C K; B F; A E. Поясніть, чому не існує суми (різниці) матриць: A B; B C; C D; D K; E K.

2.Для матриць із завданням 1 знайдіть добутки: BA; CF; CK; AE; DE. Поясніть чому не існує добутків AB; CD; FC; FB; KA; KE.

3.Для матриць із завдання 1 знайдіть транспоновані до них матриці.

4.Із множини матриць завдання 1 знайдіть симетричні. Яка ознака симетричної матриці?

5.Покажіть, що для матриць із завдання 1 справджується тотожність (A’)’=A.

1		1
6. Яка матриця називається ідемпотентною? Покажіть, що матриця	2	2	є

ідемпотентною.

7.Назвіть скалярні характеристики матриць.

8.Покажіть, що для матриць А і С із завдання 1 rgA=rgA’; rgC=rgC’.

		1	3	4
9.			2
	Дано матрицю A 3			1 . Чому дорівнює слід (trA) матриці A?
		5	1
				3
10. Для матриці А із завдання 9 покажіть, що trA=trA’.
						1	3	2
11.	Дано симетричну		матрицю				4
					A 3			1 . Покажіть, що
						2	1	5

tr(AA’)=tr(A’A)=tr( A2 ).

12.Знайдіть визначник матриці А із завдання 11

13.Для матриці А із завдання 11 покажіть, що A A'.

14.Яка матриця має обернену матрицю ? Які з поданих далі матриць мають оберені:

1		0		2		4	9			2	4		6
A	0	;B			1		;C	3		;D		2	;
		1				2			11				1
			1		2	3		1		5	2
				5
		F 4				6	; K		4	6	.
			7		8						8
						9

15. Наведіть осовні властивості оберненої матриці. 16. Задано матрицю A 1, обернену до матриці А:

34

1 0	1																		4								1 3
																											1
A 2 3	2 ;						A 1= 6																					4 ;
																			5								1
1 1	2																											3
Покажіть, що (A 1) 1 A; A 1 A E;					E									A 1										A		;	(A') 1 (A 1)'.
17. Покажіть що матриця
			1							1
			2												2
	A																			.
			1												1
			2													2
є ортогональною.
18. Задана систему лінійних рівнянь
	x	1	x					3		3;
2x1 3x2 2x3 2;
	x x				2		2x								3		2;
	1
Матриця, обернена до матриці системи,
	4									1								3
									1
A 1= 6																			4 ;
		5							1
																		3

Знайдіть розвязок даної системи рівнянь.

19.Яка матриця називається блоковою?

20.Задано по чотири блоки блокових матриць А і В:

	1 3		4 2	3	4		2	4	1 6					1		1
A11								3
		2 3	; A12		; A21 1				0 5 ; A22 3							2
			1 3	2	5		4	2	1					2
												3				1
	4 3		2 1	1	1			1	3		4	0			1	3
B11									1	2
		2 4	; B12		; B21 2							1 ; B22 2				1
			0 2	2	2				1		0				0
								4				2				2

Знайдіть суму (різницю) блокових матриць A B.

21.Яка умова множення блокових матриць? З відповідних блоків матриць А і В з попереднього завдання складіть дві матриці, які можна було б помножити одна на одну.

22.Задано матриці

	2	1			1	0
A		5	;B 0			2 ;
3					2
						2

Знайдіть матрицю Кронеккер-добутку (прямого множення) A B. 23. Задана блочна невироджена матриця

35

Знайдіть обернену матрицю A 1.

24.Яке рівняння називають характеристични рівнянням матриці А?

25.Яку назву мають корені характеристичного рівняння?

26.Чому дорівнює добуток X’AX, де X – власні вектори матриці А?

27.Знайдіть характеристичні корені і власні вектори матриці:

2		1
A	1	05,	.

28. Дайте означення квадратичної форми. Запишить її у розгорнутому вигляді і в матричній формі.

29. Коли квадратична форма є додатно визначеною і напіввизначеною? 30. Яку квадратичну форму називають випадковою квадратичною формою? 31. Чому дорівнює математичне сподіваня випадкової квадратичної форми? 32. Сформулюйте властивості випадкової квадратичної форми.

1.13. Основні терміни та поняття

Матриця Прямокутна матриця Квадратна матриця

Транспонована матриця Діагональна матриця Симетрична матриця Одинична матриця Матриця-стовпець Матриця-рядок Ідемпотентна матриця Ранг матриці Слід матриці

Детермінант (визначник) Скаляр Мінор

Алгебраїчне доповненя Кронеккерове (пряме) множення матриць Приєднана матриця Обернена матриця Блокова матриця Характеристичне рівняння Характеристичні корені Власні вектори матриці Квадратична форма Випадкова форма

36

37