- •Пределы функций. Дифференциальное исчисление
- •Донецк 2006
- •Ббк 22.161я73
- •Содержание
- •Введение
- •I. Теория пределов Основные понятия
- •Предел функции
- •1.2.1. Основные понятия
- •1.2.2. Основные свойства о пределах функции
- •1.2.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.3. Непрерывность функции
- •2.1. Производная функции
- •2.2. Таблица производных
- •2.3. Основные правила дифференцирования
- •2.4. Дифференциал функции
- •2.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2.6. Исследование функций и построение графиков
- •2.6.1. Промежутки монотонности функции
- •2.6.2. Экстремум функции
- •2.6.3. Наименьшее и наибольшее значение функции
- •2.6.4. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •2.6.5. Асимптоты графика функции
- •2.6.6. Исследование функции и построение графика
- •3. Дифференциальное исчисление Функции нескольких переменных
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Частные производные
- •3.3. Полный дифференциал
- •3.4. Экстремум функции нескольких переменных
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Литература
Вариант 1
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в);
г) .
вариант 2
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а);
б) ;
в) ;
г) .
вариант 3
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 4
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 5
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 6
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 7
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Вариант 8
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 9
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 10
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 11
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 12
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 13
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 14
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 15
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в);
г) .
вариант 16
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б);
в);
г).
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 17
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 18
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 19
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 20
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 21
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 22
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 23
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 24
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 25
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 26
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 27
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 28
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 29
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
вариант 30
1) ;
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Задание 5. Найти частные производные первого и второго порядка.
вариант 1
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 2
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 3
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 4
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 5
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 6
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 7
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
Вариант 8
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
в) ;
;
;
;
.
г) ;
;
;
;
.
вариант 9
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
вариант 10
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 11
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
-
в) ;
;
;
;
-
г) ;
;
;
;
вариант 12
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 13
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 14
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 15
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 16
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 17
|
Ответы: |
|
| |
---|---|---|---|---|
а) ; |
; | |||
; |
; | |||
. |
б) ; |
; |
; |
; |
. |
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 18
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 19
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 20
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 21
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 22
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 23
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 24
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 25
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 26
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 27
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 28
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 29
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
вариант 30
-
Ответы:
а) ;
;
;
;
.
-
б) ;
;
;
;
.
-
в) ;
;
;
;
.
-
г) ;
;
;
;
.
Задание 6. Приложение производных
Вариант 1
Найти промежутки монотонности функции .
Ответы:
а) – убывает; – возрастает
б) – убывает; – возрастает
в) – убывает; – возрастает
г) – возрастает; – убывает
Найти экстремум функции .
Ответы:
а) при – ; при ;
б) при ; при ;
в) экстремума нет;
г) при.
Разность двух чисел равна . Каковы должны быть эти числа, чтобы их произведение было наименьшим?
Ответы:
а) и ;
б) 13 и 0;
в) –13 и 26;
г) 18 и 5.
Найти промежутки выпуклости и вогнутости, и точки перегиба графика функции: .
Ответы:
а)
точки и – точки перегиба
–вогнута – выпукла
б)
точек перегиба нет; – вогнута; – выпукла
в)
график функции всюду вогнут
г)
и – точка перегиба
–выпукла – вогнута
Найти асимптоты кривой .
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Исследовать функцию и построить график .