- •Министерство образования и науки Украины
- •С о д е р ж а н и е
- •В в е д е н и е
- •I. П о н я т и е и н т е г р а л а
- •1.1. Неопределенный интеграл.
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Определенный интеграл. Формула Ньюбона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •II. М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я
- •2.1. Метод непосредственного интегрирования
- •2.2. Метод замены переменной
- •2.3. Интегрирование по частям
- •2.4. Интегрирование рациональных дробей
- •2.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Примеры.
- •6) Случай универсальной подстановки .
- •2.7. Несобственные интегралы
- •Ііі. Задания для индивидуального решения
- •3.1. Метод непосредственного интегрирования
- •3.2. Метод замены переменной
- •3.3. Метод интегрирования по частям
- •3.4. Интегрирование рациональных дробей
- •3.5. Интегрирование иррациональных функций
- •3.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Несобственные интегралы
2.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Главная идея при интегрировании иррациональных функций заключается в том, чтобы различными преобразованиями свести данный интеграл к интегралу от известных рациональных функций.
Если подынтегральное выражение содержит линейную иррациональность типа , то целесообразна подстановка: .
Например.
.
Подкоренное выражение заменяют переменной в такой степени, чтобы корень извлекался. Если имеется несколько корней с разными показателями и одинаковыми подкоренными выражениями, то вводится такая замена, чтобы все корни извлекались (общий знаменатель всех дробных показателей).
Например.
1.
.
2.
.
Замечание. Если функция содержит выражения , то, чтобы свести ее к рациональному виду, вводят .
Подынтегральное выражение имеет вид дифференциального бинома .
При вычислении таких интегралов руководствуются следующим:
а) если - целое, то раскладывают бином;
б) если - целое, то делают замену ;
в) если - целое, то делают замену .
- знаменатель дроби .
Например.
.
Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе и замены переменной и приходят к табличным интегралам: и .
.
Интеграл от более сложной квадратичной иррациональности вычисляют путем выделения под корнем полного квадрата, замены переменной и получения суммы двух интегралов: один вида , а другой – вида 3.
Например.
.
Если подынтегральная функция имеет вид , то следует сделать замену .
Например, .
|
предварительно преобразуем подкоренное выражение:
.
Если задан интеграл вида , то после выделения полного квадрата и замены переменной используют формулу интегрирования по частям.
Например,
а)
.
Запишем начало и концовку:
.
Приведем подобные элементы:
;
.
Возвратимся к старым переменным и запишем результат интегрирования:
.
б)
.
В результате получаем равенство:
.
.
Замечание. Интегралы вида можно вычислять с помощью подстановки , однако, методом интегрирования по частям результат достигается быстрее.
Если встречается интеграл вида , то заменой (или ) его преобразуют к более простому виду.
.
.
2.6. Интегрирование тригонометрических функций
Случай перехода от произведения функций к сумме:
а) ;
б) ;
в) .
В результате применения указанных формул получают табличные интегралы.
Примеры.
а)
.
б) .
2) Случай, когда имеется произведение степени одной функции на другую:
а) , проводят замену ;
б) , проводят замену .
Примеры.
а) .
б) .
3) Случай четной степени одной функции:
а) , используют формулу , .
б) , используют формулу , .
Указанные формулы позволяют понижать степень.
Примеры.
а)
.
б)
.
4) Случай нечетной степени одной функции.
а) - выделяют один , остальную часть выражают через и проводят замену .
б) - выделяют один , остальную часть выражают через и проводят замену .
Примеры.
а)
.
б)
.
5) Случай произведения степеней двух функций:
а) – четные – понижают степень (как в п.3);
б) хотя бы одно нечетное, тогда решают как в п. 4.
Примеры.
а)
.
б)
.
в)
.