- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
1.2. Елементи векторної алгебри
Щоб знайти координати вектора , потрібно із координат його кінця відняти координати початку :
. (1.2.1)
Довжина (модуль) вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат:
. (1.2.2)
Ортом або одиничним вектором називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Координатні орти:
.
При складанні (відніманні) векторів їхні координати складаються (віднімаються), а при множенні вектора на число його координати помножуються на це число.
Скалярним добутком векторів іназивається число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:
. (1.2.3)
Якщо ,тодіскалярний добуток
. (1.2.4)
Якщо матеріальна точка (тіло) під дією постійної за величиною і напрямом сили переміщується уздовж вектора, торобота сили обчислюється за формулою :
. (1.2.5)
Векторний добуток – це вектор
. (1.2.6)
Якщо вектори імають спільний початок, то модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах (обо подвоєній площі прямокутника).
Мішаним добутком трьох векторів,іназивається їх векторно-скалярний добуток:
. (1.2.7)
Якщо вектори ,імають спільний початок, то модуль мішаного добутку дорівнюєоб’ємові паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (обо шести об’ємам піраміди).
У випадку
, (1.2.8)
то вектори ,ієкомпланарними, тобто лежать в одній площині.
Вектори ,єколінеарними (), якщо
, (1.2.9)
де ‑ ненульове число.
Вектори ,єортогональними (), якщо
. (1.2.10)
Приклад 1.2.1. За координатами вершин , , , піраміди знайти: а) довжину сторони , б) косинус кута між ребрами і, в) об’єм піраміди , г) роботу рівнодіючої сил і , під дією якої тіло переміщується прямолінійно з точки в точку .
Розв’язання. Знайдемо вектори ,,за формулою (1.2.1):, , .
а) Тоді за формулою (1.2.2) довжина сторони дорівнює (од.)
б) Згідно (1.2.3) та (1.2.4):
.
в) Об’єм піраміди (шоста частина об’єма паралелепіпеда, побудованого на тих самих векторах) із застосуванням (1.2.7):
(куб. од.),
г) Рівнодіюча сил і ‑ це сила, робота цієї сили згідно (1.2.5):
.
Зауважимо, що приклад 1.2.1 відповідає завданню 1.2 контрольної роботи.
Література: [1, с. 296 ‑ 315], [2, с. 402 ‑ 432], [3, с. 12 – 22, 35 ‑ 63], [5], [6].
1.3. Пряма на площині
Загальне рівняння прямої:
. (1.3.1)
(‑ сталі числа,і одночасно нулю не дорівнюють).
Рівняння прямої, яка має кутовий коефіцієнт k (тангенс кута між прямою і додатною піввіссю Ох) і перетинає вісь Оу в точці, ордината якої дорівнює b, має вид:
. (1.3.2)
Рівняння прямої, яка проходить через точку в заданому напрямку:
. (1.3.3)
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і, має вигляд:
. (1.3.4)
Рівняння прямої “у відрізках” на осях координат
. (1.3.5)
є зручним для побудови прямої на площині (пряма проходить через точки і, що розташовані на осях Ох і Оу відповідно).
Рівняння прямої, паралельної осі Ох, записується у вигляді , а прямої, паралельної осіОу ‑ у виді .
Якщо є дві прямі (або ),, то
тангенс кута між прямими і:
. (1.3.6)
(знак плюс відповідає гострому куту , а знак мінус – тупому).
Умова паралельності прямих ():
, або . (1.3.7)
Умова перпендикулярності ():
, або . (1.3.8)
Відстань точки до прямої знаходиться за формулою
. (1.3.9)
Приклад 1.3.1. За координатами вершин ,,трикутника знайти: а) рівняння лінії , б) рівняння висоти , в) довжину висоти.
Розв’язання. а) Знайдемо рівняння лінії, що проходить через точки і : , або, тобто. Таким чином, загальне рівняння : .
б) Запишемо спочатку рівняння з кутовим коефіцієнтом: . Таким чином,‑кутовий коефіцієнт прямої . Пряма , значить кутовий коефіцієнт прямої згідно (1.3.8) дорівнює . Користуючись рівнянням прямої (1.3.3), яка проходить через точку в заданому напрямку, маємо рівняння : , або ,,.
в) Довжина висоти ‑ це відстань точки до прямої . Значить, за формулою (1.3.9) (од.)
Зауважимо, що приклад 1.3.1 відповідає завданню 1.3 контрольної роботи.
Література: [1, с. 15 ‑ 45], [2, с. 33 ‑ 53], [3, с. 123 – 127], [5], [6].