OVM_geometr

a) окружность, б) эллипс, в) гипербола, г) парабола, д) пересекающиеся прямые?

4. Какой из цилиндров второго порядка можно получить

																																						2					2
перемещением												гиперболы												вдоль				оси			OZ:				a)						+					= 1,
																																					4						4
		2				2							2				2								2						2		2
б)				+				= 1, в)							−						= 1, г)					= , д)						−			= 0?
	4				9							4					9								4						4			9
	5. Какая из следующих																							поверхностей								не			имеет								центра
симметрий: a)											2	+				2		+				2	= 1, б)				2	+	2		= 1,			в)		2				−		2			= 2 ,
											9				4						16						9		9								9					4
	2				2				2									2					2		2
г)				+				−		= 1, д)											+			+		= 0?
	9				4				16								9						4		16

Задачи

1.Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам: а) A(3; 5);

б) B(– 4,3); в) C(7,– 2).

2.Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М(x,y), если: а) xy > 0; б) xy < 0; в) x – y = 0; г) x + y = 0;

д) x + y > 0; е) x + y < 0; ж) x – y > 0; з) x – y < 0.

3.Найти координаты точек правильного шестиугольника ABCDEF, центром симметрий которого является начало отсчета точка О, и вершина A имеет координаты (2,0).

4.Найти углы треугольника ABC, если A – точка пере-

сечения прямых 3x + 2y – 6 = 0		и x – 4y – 4 = 0, B – прямых
3x + 2y – 2	= 0 и x + 3y – 12 = 0,	C – прямых x – 4y – 4 = 0 и
x + 3y – 12	= 0.

5.Составить уравнение прямой в форме y = kx + p, исходя из того, что она проходит через точки A(– 1,4), B(2,5).

6.Найти уравнения четырех прямых при попарном пересечении, которых получается квадрат ABCD, вершины А и B которого имеют координаты (2,7) и (6,10) соответственно.

7.На прямой y = – x + 2 найти ближайшую к началу координат точку (т.е. находящуюся на минимальном расстоянии).

8.	Найти расстояние d	от точки М(– 5,3) до прямой
2x + 3y – 2 = 0.
9.	Даны векторы и :	= 13, = 19 и + = 24. Вы-
числить − .

74

10. По векторам и построить каждый из следующих векторов: а) 5 , б) 12 , в) 5 + 12 , г) 5 – 12 , д) 12 − 5 , если

1)(−3,2) и (2,7), 2) (2,2) и (5,0), 3) (0, −2) и (2, −7). 11. Угол между векторами и равен 60о, причем = 5,

= 8. Определить + и − .

12.Угол между векторами и равен 120о, = 3, = 4.

Вычислить: а) ,		б) 2,	в) 2,	г) +	2, д) − 2,
ж) 3 + 4 2, з)	3 − + 2 .
13. Используя	понятия:		противоположно		направленные,

равные векторы; угол между векторами; скалярное произведение векторов, найти вершины правильного шестиугольника ABCDEF с центром симметрий в точке H(4,6), если вершина A имеет координаты (4 + 2, 6 + 2).

14.Два вектор (1,0) и (2, 2 3) приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , если = 6.

15.Составить уравнение параболы вершина которой находится в начале координат если: а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ОX и ее параметр р = 1; б) парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку С(1,1).

	16. Сколько												общих							точек	имеют гипербола										и		эллипс:
а)	2		−	2				= 1 и					2	+				2		= 1;		б)	2	−		2	= 1 и			2		+			2		= 1;
	16				9								25					4					16			9				9					4
в)	2		−	2				= 1 и					2		+			2		= 1.
	16				9								16					4
	17. Вывести												общее							правило, по			которому					можно опре-
																													2				2
делить сколько общих точек имеют гипербола																															−					= 1 и
																													2				2
						2					2
эллипс									+			= 1.
						2					2
	18. Какие кривые																			определяют			следующие							уравнения:
								2
а) = +										2 − 9						,				б) = −3		2 + 1			,		в) = − 2 + 9,
							3
							2
г) = +										2 + 25							. Изобразить эти кривые на чертеже.
							5

19. Точка Р(2,– 1,– 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

75

20. Даны точки M1(3,– 1,2), M2(4,– 2,– 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 1 2.

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3,4,– 5) параллельно векторам 1 = (3, 1, −1) и 2 = (1, −2, 1).

22.Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

а) 2x + ly + 3z – 5 = 0, mx – 6 y – 6z + 2 = 0; б) 3x – y + lz – 9 = 0, 2x + my + 3z – 3 = 0.

23.Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

а) 3x –5y + lz – 3 = 0, x + 3y + 2z + 5 = 0; б) lx + y – 3z – 3 = 0, 2x + my – 3z + 1 = 0.

24.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат, перпендикулярно к двум плоскостям

2x – y + 3z – 1 = 0 и x + 2y + z = 0.

25.Установить, что плоскость x – 2 = 0 пересекает эллип-

соид 2 + 2 + 2 = 1 по эллипсу; найти его полуоси и вер-

16 12 4

шины.

26. Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает однопо-

лостный гиперболоид 2 − 2 + 2 = 1 по гиперболе; найти ее

32 18 2

полуоси и вершины.

27. Установить, что плоскость y + 6 = 0 пересекает гипер-

	болический параболоид	2	−	2	= 6 по параболе; найти ее
		5		4

параметр и вершину.

28. Составить уравнение поверхности, образованной вра-

щением эллипса 2 + 2 = 1, лежащего в плоскости OYZ, вок-

25 9

руг оси OY.

29. Составить уравнение поверхности, образованной вра-

	щением гиперболы	2	−	2	= 1, лежащей в плоскости OXY,
		25		9

вокруг оси OZ.

30. Сколько различных цилиндров можно описать вокруг сферы x2 + y2 + z2 = 25. Найти уравнения цилиндров, описанных вокруг этой сферы, сечениями которых плоскостью OXY являются две параллельные прямые.

76