OVM_funkcii
.pdf4.Основы теории функций
4.1.Функция действительного переменного
Действительными (или вещественными) числами называются рациональные и иррациональные числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Каждое действительное число может быть изображено точкой на числовой прямой.
Пусть даны два непустых множества X и Y R. Если каждому элементу х из множества X по определенному правилу f ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, что на множестве X задана функция (или отображение) со множеством значений Y, что моно записать как f: X → Y или y = f(x). Элемент х называется аргументом фун-
кции y = f(x), множество X – областью определения функции,
обозначаемой D(f), множество Y, состоящее из всех чисел ви-
да y = f(x), – областью значений функции, обозначаемой E(f).
Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости OXY с координатами (x, f(x)), где x D(f).
Основными элементарными функциями являются следую-
щие функции:
1) степенная функция у = хa, где a R, область определе-
ния функции зависит от степени a. |
|
|
у = x2, |
||||||||
Примерами степенной функции являются (рис.1): |
|
||||||||||
|
у = x3, x R; = −1 = |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
x R; |
, |
x R / {0}; = |
= , |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2 = 3 2, x R; |
|
|
|
|
|
|
|
2) показательная функция у = ax, где а – любое положи-
тельное число, отличное от единицы: а > 0, а ≠ 1; x R.
Экспоненциальная функция у = ex, где иррациональное чис-
ло e=2,71828… известное как Неперово число, представляет собой частный случай показательной функции (рис. 2);
3) логарифмическая функция y = logax, где а – любое поло-
жительное число, отличное от единицы: а > 0, а ≠ 1; x > 0. Частным случаем логарифмической функции является
функция натурального логарифма у = ln(x) = logex (рис. 3);
67
4) |
тригонометрические функции: у = sin(х), у = cos(х), x |
R; |
||
у = tg(x), x R / {π/2 + πn, n Z}; у = ctg(х), x R / {πn, n |
Z} |
|||
(рис. 4); |
|
|
|
|
5) |
обратные |
тригонометрические функции: |
y = arcsin(х), |
|
у = arccos(x), x |
[– 1, 1]; y = arctg(x), y = arcctg(x), x |
R (рис. 5); |
Рис.1. Примеры степенной функции
68
Рис. 2. Логарифмическая |
Рис. 3. Экспоненциальная |
функция |
функция |
Рис. 4. Тригонометрические функции
69
Рис. 5. Обратные тригонометрические функции
Рис. 6. Целая часть от x –«пол» |
Рис. 7. Модуль x |
|
70 |
Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий: сложения, вычитания, умножения, деления; и композиций функций (суперпозиций).
Композиция функций (суперпозиция функции) – это фор-
мирование сложных функций, путем применения одной функции к результату другой y = f(φ(x)).
Примеры:
1. Элементарные функции:
y = x2 + ln(x) – функция получена сложением двух простейших элементарных функций f1(x) = x2 и f2(x) = ln(x);
y = ln(x2) – функция получена путем композиции двух простейших элементарных функций y = f1(z) = ln(z) и z = f2(x) = x2; y = cos(ln4(x))) – функция получена путем композиции трех
простейших элементарных функций у = f1(z) = cos(z), z = f2(t) = t4 и t = f3(x) = ln(x).
2. Неэлементарные функции:
= = max{ , ≤ } – целая часть x – «пол»: равна наибольшему целому числу, меньшему x (рис. 6);
= |
= |
, если ≥ 0, |
– модуль x. |
−, если ≤ 0 |
Геометрически модуль x равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатой х до начала отсчета (рис. 7).
Функции целая часть от x и модуль x невозможно получить из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий или композицией функций.
3.Найти область определения функции f(x)= −3 2.
3 +5
Поскольку деление на 0 не допустимо, то (3x + 5)2 ≠ 0, т.е. x ≠ –5 3. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая за исключением x = −5 3:
= 53 .
Функция f(x), называется четной, если для любого значения x D(f) выполняется: f(– x) = f(x). Функция f(x), называется нечетной, если для любого значения x D(f) выполняется: f(– x) = – f(x). График четной функции симметричен относительно оси OX, график нечетной функции симметричен относительно начала отсчета.
71
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
1. f(x) = x2: f(– x) = (– x)2 = (– 1)2 x2 = f(x), |
следовательно, |
|||||
функция |
f(x) = x2 |
четная, |
ее график |
симметричен |
||
относительно оси OX (рис. 1). |
функции: = 3 |
|
|
|||
Четными |
являются также |
2 |
(рис. 1), |
y = cos(x) (рис. 4), y = |x| (рис. 7).
2. f(x) = x3: f(– x) = (– x)3 = – x3 = – f(x), следовательно, фун-
кция f(x) = x3 нечетная и ее график симметричен относительно начала отсчета (рис. 1).
Нечетными являются также функции: = 1 (рис. 1), y = sin(x), y = tg(x), y = ctg(x) (рис. 4), y = arctg(x), y = arcsin(x),
y= arccos(x) (рис. 5).
3.f(x) = ex: f(– x) = e – x = 1 , 1 ≠ ( ), 1 ≠ −( ), следова-
тельно, функция не является ни четной ни нечетной (рис. 2).
Примером функции не являющейся ни четной, ни нечетной служит функции y = arcctg(x) (рис. 5). Функции у = ln(x) (рис. 3), = (рис. 1) определены лишь для неотрицательных x, и поэтому также не являются ни четными, ни нечетными.
Функция f(х) называется периодической, если существует
число Т > 0, такое что при x |
D(f) и (х + Т) D(f) выполняет- |
ся равенство f(x + T) = f(x). |
Число Т называется периодом |
функции, а наименьший из периодов – основным периодом функции.
Пример.
Примерами периодических функций служат тригонометрические функции у = sin(х), у = cos(х), с основным периодом равным 2π, и у = tg(x), у = ctg(х), с основным периодом равным π (рис. 4).
Упражнения 4.1
1. Привести примеры элементарных функций, полученных из простейших элементарных f(x) = sin(x), f(x) = x5, f(x) = ex
путем композиции. |
|
|||
2. Найти |
основные |
периоды функций: а) = sin 2 , |
||
б) = tg |
|
|
, в) = 3cos |
4 . |
|
||||
3 |
|
|
|
72
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти области определения функций: а) = |
− 8 3, |
|||||
|
|
|
1 |
, г) y = ln(x – 8)2. |
|
|
б) = |
+ 8 4, в) = |
|
|
|||
+84 |
|
|
4.Почему не является элементарной функция целая часть от x – «потолок»: = = min{ , ≥ }, равная наи-
меньшему целому числу, большему x?
5.Нарисовать графики неэлементарных функций, целая часть x – «потолок»: = = min{ , ≥ }; y = – |x – 3|.
|
|
Тест |
|
|
1. Какая из следующих функций не является элементар- |
||||
ной: |
a) у = x3, б) = 3 , |
в) = ln( 2), |
г) = ln| |, |
|
д) = 3 |
+ sin( )? |
|
|
|
2. Какой из следующих промежутков не входит в область |
||||
определения функции = |
: |
a) [0, 1], б) (0, 1) в) [0, 1) |
||
г) (– 1, 0], д) [1, +∞)? |
|
|
|
3. Какой из следующих промежутков не входит в область значений функции у = x2: a) [0, 1], б) (0, 1) в) [0, 1) г) (– 1, 0],
д) [1, + ∞)? |
|
|
|
|
|
|
4. Какая |
из |
следующих |
функций |
является |
четной: |
|
a) у = x3 + 3, |
|
б) у = x2 + 2, |
в) у = (x + 2)2, |
г) у = (x + 3)3, |
||
д) y = x2 + x3? |
|
|
|
|
|
|
5. Какая |
из |
следующих |
функций |
является |
нечетной: |
|
a) у = x3 + 3, |
|
б) у = x2 + 2, |
в) у = (x + 2)2, |
г) у = (x + 3)3, |
д) y = 3x + x3?
Примечание. При выполнении теста смотри рис.1–7.
4.2. Предел и непрерывность функции
Рис. 8. Геометрический смысл предела функции в точке x = a
73
Число А называется пределом функции f(х) при х → а, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое δ > 0, что |f(x) – А| < ε при 0 < |x – a| < δ (рис. 8). Число А называется пределом функции f(х) при х → ∞, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое N > 0, что при |x| > N: |f(x) – А| < ε. Предел обозначается:
lim ( ) = .
→
Если х < а и х → а, употребляют запись х → (а – 0) и говорят, что x стремится к а слева; если х > а и х → а, записывают х → (а + 0) и говорят, что x стремится к а справа. Числа
− = |
lim |
и ( + ) = |
lim ( ) |
|
→ −0 |
|
→+0 |
называются соответственно левым и правым пределом функции f(х) в точке а. Для существования предела функции f(x) при х → а необходимо и достаточно, чтобы f(a – 0) = f(а + 0).
Понятие непрерывности функции
С понятием предела непосредственно связано понятие непрерывности функции: функция f(x) называется непрерывной в точке а, если:
1)эта функция определена в некотором интервале, содержащем точку а (т. е. в самой точке а и вблизи этой точки);
2)существуют, конечны и равны между собой левосторонний и правосторонний пределы
lim = lim ( ) ;
→ −0 →+0
3) значение пределов равно значению функции в точке а:
lim |
= = |
lim . |
→ −0 |
|
→+0 |
Функция f(x) называется разрывной в точке a, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке a не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности. Если точка a является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом: 1) если граничная точка a входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой разрыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции изнутри ее области опре-
74
деления равен или не равен значению функции в точке a; 2) если граничная точка a не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непре-
рывной в этой области.
Пример. Исследовать на наличие точек разрыва функции:
1. у =1.
Решение. Область определения функции представляет собой все действительные числа за исключением числа x = 0. Таким образом, в точке x = 0 нарушается первое условие непрерывности функции, т. е. точка x = 0 – является точкой разрыва функции (рис. 1)
2. = .
Решение. Областью определения функции являются все неотрицательные числа: D(y) = [0, ∞). Точка x = 0 является граничной точкой области определения и принадлежит этой области. Функция существует правее точки x = 0.
Найдем правосторонний |
предел: lim |
|
= 0. Найдем |
||
|
|
|
→0+0 |
||
значение функции при x = 0: |
0 = 0. |
|
|
Предел функции при x → 0 равен значению функции в точке x = 0, значит функция = непрерывна в точке x = 0,
аследовательно не имеет точек разрыва (рис. 1).
3.y = ln(x).
Решение. Областью определения функции являются все положительные числа: D(y) = (0, ∞). Точка x = 0 является граничной точкой области определения но не принадлежит этой области, а следовательно является ее точкой разрыва (рис. 1).
Функция f(х) называется бесконечно большой при х → а,
если lim ( ) = ∞, то есть для любого сколь угодно боль-
→
шого М найдется такое δ > 0, что |f(x)| > M при 0 < |x – a| < δ. Функция f(х) называется бесконечно малой при х → а если
lim ( ) = 0.
→
Примеры:
1. Функция y = tg(x) (рис. 4) является бесконечно большой при х → 2 − 0.
75
2.Функция y=ex (рис. 2) является бесконечно большой при
х→ + ∞.
3.Функция y=ex (рис. 2)является бесконечно малой при
х→ – ∞.
4.Функция y=sin(x) (рис. 4) является бесконечно малой при х → 0.
Вычисление пределов функции
Практическое вычисление пределов основывается на
следующих правилах, теоремах и утверждениях. |
|
|||||||
I. Если существуют конечные пределы lim ( ) и |
lim ( ), |
|||||||
то верны следующие равенства: |
→ |
→ |
||||||
|
|
|||||||
1) lim( ( ) ± ( )) = lim |
± lim ; |
|
||||||
→ |
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
2) lim( ( ) × ( )) = lim |
× lim ; |
|
||||||
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
||
|
( ) |
|
lim ( ) |
|
|
|
|
|
3) lim |
= |
→ |
|
при lim ( ) ≠ 0. |
|
|||
( ) |
lim ( ) |
|
||||||
→ |
|
|
→ |
|
|
→
II. Если функция f(x) непрерывна (см. п. 4.2) в точке x = x0 и
lim ( ) = 0, то
→
lim ( ) |
= |
lim ( ) |
= 0. |
→ |
|
→ |
|
III. Если в некотором достаточно малом промежутке, содержащем точку а, для любого х выполняется g(x) f(x), то
|
lim |
≤ lim . |
|
|||||||
|
→ |
→ |
|
|||||||
IV. Первый замечательный предел: |
|
|||||||||
|
|
|
lim |
sin |
= 1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
→0 |
|
|
|||||
V. Второй замечательный предел: |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
1 + |
= |
и lim 1 + |
|
|
= . |
||||
|
||||||||||
|
||||||||||
→∞ |
|
|
|
→0 |
|
|||||
VI. Если существуют пределы lim ( ) и |
lim ( ), причем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
хотя бы один из них бесконечен либо равен нулю, тогда для
вычисления предела lim |
|
можно воспользоваться табли- |
|
|
|||
→ |
|
||
цами 1, 2. |
|
|
76