- •Основы информационных технологий
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Современные информационные технологии
- •1.1 История, современное состояние и перспективы развития вычислительной техники
- •1.2 Элементная база, архитектура, сетевая компоновка, производительность
- •1.3 Понятие информации. Классификация и виды информационных технологий
- •Основные свойства информационных технологий.
- •1 .4 Операционные системы
- •2 Основные программные средства информационных технологий
- •2.1. Программное обеспечение. Текстовые редакторы, их возможности и назначение
- •2.2. Графические редакторы
- •2.3. Электронные таблицы
- •2.4. Сервисные инструментальные программные средства
- •2.5. Системы математических вычислений MatLab
- •2.6 Система подготовки презентаций
- •3 Сетевые технологии и интернет
- •3.1 Классификация компьютерных сетей
- •3.2 Семиуровневая модель структуры протоколов связи
- •2.3. Взаимодействие компьютеров в сети
- •3.3 Организационная структура Internet
- •3.4 Инструментальные средства создания web-сайтов. Основы web-дизайна
- •3.5 Языки разметки гипертекста html и xml
- •3.6 Скриптовые языки программирования
- •4 Системы управления базами данных
- •4.1. Классификация систем управления базами данных
- •4.2 Модели данных
- •4.3 Моделирование баз данных
- •4.4 Архитектура и функциональные возможности субд. Языковые и программные средства субд
- •4.5 Общая характеристика субд ms Access
- •4.6 Основные объекты ms Access
- •4.7 Основы языка sql
- •Контрольные вопросы
- •5 Защита информации при использовании информационных технологий
- •5.1 Основы информационной безопасности
- •5.2. Методы и средства защиты информации
- •5.3 Защита от несанкционированного доступа к данным
- •5.4 Классы безопасности компьютерных систем
- •5.5 Основные аспекты построения системы информационной безопасности
- •6 Математическое моделирование и численные методы
- •6.1 Математические модели и численные методы решения задач в различных предметных областях
- •6.2 Численное дифференцирование и интегрирование
- •6.2.1 Особенность задачи численного дифференцирования
- •6.2.2 Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов
- •6.2.3 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
- •6.2.4 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона
- •6.2.5 Постановка задачи численного интегрирования
- •6.2.6 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •6.2.7 Формула трапеций
- •6.2.8 Формула Симпсона
- •6.2.9 Оценка точности квадратурных формул
- •6.3 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.3.1 Задача Коши и краевая задача
- •6.3.1.1 Классификация уравнений
- •6.3.1.2 Задача Коши
- •6.3.2 Одношаговые методы решения задачи Коши
- •6.3.2.1 Метод Эйлера
- •6.3.2.2 Модифицированный метод Эйлера
- •6.3.2.3 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
- •6.3.2.4 Погрешность решения и выбор шага
- •6.3.3 Многошаговые методы решения задачи Коши
- •6.3.3.1 Многошаговые методы
- •6.3.3.2 Метод Адамса
- •6.3.3.3 Методы прогноза и коррекции (предиктор-корректор)
- •6.3.3.4 Общая характеристика многошаговых методов
- •6.3.4 Краевая задача и метод стрельбы
- •6.3.4.1 Краевая задача
- •6.3.4.2 Метод стрельбы
- •6.3.4.3 Метод стрельбы для линейного дифференциального уравнения
- •6.4 Решение дифференциальных уравнений в чстных производных
- •6.4.1 Краткие теоретические сведения
- •6.4.2 Классификация уравнений по математической форме
- •6.4.3 Основы метода конечных разностей
- •6.4.3.1 Построение сетки
- •6.4.3.2 Аппроксимация уравнения эллиптического типа
- •6.4.3.3 Аппроксимация уравнения гиперболического типа
- •6.4.3.4 Аппроксимация уравнения параболического типа
- •6.4.3.5 Погрешность решения
- •6.4.4 Основы метода конечных элементов
- •6.4.4.1. Формирование сетки
- •6.4.4.2 Конечно-элементная аппроксимация
- •6.4.4.3 Построение решения
- •6.6 Элементы математической статистики
- •6.6.1 Генеральная совокупность. Выборка. Статистические ряды
- •6.6.2 Графическое изображение вариационных рядов. Эмпирическое распределение
- •6.6.3 Средние величины и показатели вариации
- •6.6.4 Средняя арифметическая и ее свойства
- •6.6.5 Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •6.6.6 Коэффициент вариации
- •6.6.7 Структурные средние
- •6.6.8 Законы распределения случайных величин
- •6.6.9 Статистические гипотезы
- •7 Методы оптимизации и системы поддержки принятия решений
- •7.1 Характеристика методов решения задач оптимизации
- •7.1.1 Численные методы безусловной оптимизации нулевого порядка
- •7.1.1.1 Основные определения
- •7.1.1.2 Классификация методов
- •7.1.1.3 Общая характеристика методов нулевого порядка
- •7.1.1.4 Метод прямого поиска (метод Хука-Дживса)
- •7.1.1.5 Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера—Мида)
- •7.1.1.6 Метод вращающихся координат (метод Розенброка)
- •7.1.1.7 Метод параллельных касательных (метод Пауэлла)
- •7.1.2 Численные методы безусловной оптимизации первого порядка
- •7.1.2.1 Минимизация функций многих переменных. Основные положения
- •7.1.2.2 Метод наискорейшего спуска
- •7.1.2.3 Метод сопряженных градиентов
- •7.1.3 Численные методы безусловной оптимизации второго порядка
- •7.1.3.1 Особенности методов второго порядка
- •7.1.3.2 Метод Ньютона
- •7.2 Линейное программирование
- •7.2.1 Транспортная задача линейного программирования
- •7.2.1.1 Постановка задачи
- •7.2.1.2 Венгерский метод
- •7.2.1.3 Метод потенциалов
- •7.3 Прямые методы условной оптимизации
- •7.3.1 Основные определения
- •7.3.2 Метод проекции градиента
- •7.3.3 Комплексный метод Бокса
- •7.4 Методы штрафных функций
- •7.4.1 Основные определения
- •7.4.2 Методы внутренних штрафных функций
- •7.4.3 Методы внешних штрафных функций
- •7.4.4 Комбинированные алгоритмы штрафных функций
- •7.5 Информационные технологии поддержки принятия решений
- •7.6 Информационные технологии экспертных систем Характеристика и назначение
- •Список литературы
6.4.3.3 Аппроксимация уравнения гиперболического типа
Построение алгебраических уравнений на основе дифференциального уравнения гиперболического типа (1) выполняется, так же как и в предыдущем случае, заменой производных конечно-разностными аналогами. В качестве примера рассмотрим задачу продольных колебаниях тонкого однородного стержня длиной L, когда его деформация u зависит только от продольной (вдоль оси стержня) координаты х и времени t.
Колебания стержня описываются дифференциальным уравнением
(6.75)
где , E и - модуль упругости и плотность материала стержня.
Аппроксимация уравнения производится на сетке в координатах t и х. Примерный вид сетки показан на рис. 6.6. Данная задача не имеет верхней границы по координате t. Это объясняется тем, что с формальной точки зрения колебания в стержне могут продолжаться неопределенно долгое время, даже если будут учтены потери, приводящие к их затуханию.
Рис. 6.6 ‑ Сетка в координатах t и x
Используя сетку, запишем в конечных разностях уравнение, эквивалентное (6.75):
(6.76)
или
(6.77)
где . Из (6.76) и (6.77) видно, что форма шаблона уравнения гиперболического типа подобна форме шаблона ура внения эллиптического типа.
Аналогично предыдущей задаче запишем уравнение (6.77) для каждого узла сетки и, подставляя в него вместо i и j соответствующие этим узлам номера, получим систему связанных алгебраических уравнений.
В качестве граничных условий по x в данной задаче могут использоваться любые условия, описывающие способ закрепления стержня. Например, жесткое закрепление предполагает нулевой сдвиг на концах стержня. Это соответствует условию u(x=0,t) = 0 и u(x=L,t) = 0, где x = 0 и x = L - координаты концов стержня.
По времени t в качестве начальных условий зададим при t = 0 исходную деформацию стержня и начальную скорость его колебаний
(6.78)
Решение системы уравнений для рассматриваемой задачи можно получить с помощью сравнительно простой процедуры, называемой явной схемой. Эта схема строится на том, что все уравнения системы последовательно связаны между собой.
Расчет будем проводить в следующем порядке. Вначале определим деформацию стержня в моменты t = 0 и . Для t = 0 деформация известна из заданных начальных условий (6.78). Для следующего момента времени деформацию определим с помощью второго начального условия, задающего скорость при t = 0:
тогда (6.79)
При известных из (6.78) и (6.79) ui,1 и ui,2 начнем решение задачи следующим образом. Полагая, что j = 2, то есть ui,j-1 = ui,1 и ut,j = ui,2, подставим в (6.77) известную из (6.78) соответствующую t = 0 начальную деформацию , и соответствующую деформацию (см. (6.78)). Вычисление правой части (6.77) позволяет определить в момент времени .
Далее действуя аналогично и сдвигая шаблон решения на одну линию сетки по координате t, вычисляются последовательно фазы колебаний ui,4 - из ui,2 и ui,3, затем ui,5 - из ui,3 и ui,4 и так далее. То есть очередной временной слой j+1 рассчитывается из предыдущих с индексами j и j-1.
При решении гиперболического уравнения следует обращать внимание на выбор шага сетки по x и t. Теоретически можно показать, что приближенное решение, получаемое с помощью (6.77), сходится к точному при и со скоростью если . Иначе говоря, если выбран шаг сетки по координате x, то появляется ограничение на шаг по времени t.
При метод становится неустойчивым как в абсолютном, так и в относительном смысле. Последнее означает, что по мере продолжения вычислений ошибки катастрофически нарастают. Теоретически показано, что при в = 1 метод устойчив и конечно-разностное решение совпадает с точным. При решение хотя и устойчиво, но его точность с уменьшением убывает.