68

15. Преобразование Галилея. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции; их общие характерные особенности. Рассмотреть силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета.

x' = x − υ0t, y' = y, z' = z, t' = t.

Формула называется преобразованиями Галилея для координат и времени.

Все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой.

Это утверждение носит название принципа относительности Галилея. Он означает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно

Неинерциальной системой отсчёта называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной

Рассмотрим в начале движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта:

F = ma

Введём кроме неё неинерциальную систему отсчёта и договоримся первую называть неподвижной, а вторую подвижной:

F = maабс

На основании теоремы сложения ускорений:

aабс = aотн + aпер + aк

Отсюда перепишем:

maотн = F −maпер −maк

Мы видим, что в неинерциальной системе отсчёта ускорение точки определяется не только силой F и массой m, но и характером движения самой подвижной системы отсчёта.

−maпер = Φпер −переносная силаинерции;

−maк = −2m[ωпер ,υотн ]= Φк − поворотная сила инерции или сила инерции Кориолиса.

В неинерциальных системах причиной ускоренного движения являются и силы инерции, не связанные ни с каким взаимодействием.

maотн = F +Φк +Φпер

16Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции; их общие характерные особенности. Рассмотреть центробежную силу и силу Кориолиса; условия их проявления. Примеры применения центробежной силы в технике и быту; примеры проявления силы

Кориолиса в природе и примеры, когда необходимо ее учитывать.

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — система отсчёта, к которой не применим первый закон Ньютона — «закон инерции», говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью.

Си́лы ине́рции — многозначное понятие, применяемое в механике по отношению к трём различным физическим величинам. Одна из них — «даламберова сила инерции» — вводится в

инерциальных системах отсчёта для получения формальной возможности записи уравнений динамики в виде более простых уравнений статики. Другая — «эйлерова сила инерции» — используется при рассмотрении движения тел в неинерциальных системах отсчёта. Наконец, третья — «Ньютонова сила инерции» — сила противодействия, рассматриваемая в связи с третьим законом Ньютона

Центробежная сила. Сила Кориолиса

Пусть неинерциальная система отсчета К′ вращается вокруг неподвижной оси с постоянной

угловой скоростью ω. В этом случае на тело, движение которого описывается относительно системы К′, «действуют» особые силы инерции. Рассмотрим только простейшие случаи, когда

тело или покоится относительно системы отсчета К′, или движется перпендикулярно угловой скорости.

Р

По второму закону Ньютона

Рассмотрим центробежную силу на примере шарика закрепленного на платформе, вращающейся вокруг

неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью ω (рис. ). Инерциальная система К покоится. При вращении платформы нить, на которой закреплен шарик, находится в отклоненном от вертикали положении. На шарик действуют

две силы: mg и N . Относительно инерциальной системы отсчета К шарик вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω.

ma =mg + N = F ,

где a — нормальное (центростремительное) ускорение шарика относительно инерциальной неподвижной системы отсчета К. Оно направлено к центру окружности — точке О, его величина

a = υ2 =ω2R .

R

Относительно неинерциальной системы отсчета К′, которая вместе с платформой вращается с угловой скоростью ω, шарик неподвижен. Векторная сумма сил mg + N = F , действующих

на шарик, не равна нулю. в случае a′= 0 получим равенство: 0 =mg + N + Fин,

Fин = −mw = −m(a −a′) = −ma.

значит, величина силы инерции в данном случае

Fин =mω2R ,

вектор Fин направлен против вектора a , т.е. по радиусу от центра. Эта сила инерции, равная по

величине mω2R и направленная по радиусу окружности вращения от ее центра, называется

центробежной силой.

2. Сила Кориолиса. Необходимость введения этой силы инерции вытекает, например, из следующего опыта. Пусть снова имеем платформу, вращающуюся с постоянной угловой

скоростью ω вокруг вертикальной оси. Положим в центр платформы маленький шарик m и толкнем его в направлении радиуса платформы, сообщая шарику начальную скорость υ0

(рис. 3.16, а). Траекторией шарика будет являться не радикальная прямая, а определенная кривая линия. Относительно инерциальной неподвижной системы отсчета сложное движение шарика состоит из движения в радиальном

направлении относительно платформы со скоростью u′ и движения тех точек платформы, через которые шарик последовательно проходит. Результатом сложения скоростей в каждый момент времени и является наблюдаемая траектория. Шарик движется под действием двух сил: силы тяжести и

силы реакции опоры — платформы. Относительно Рис неинерциальной системы отсчета — платформы — ее движение отсутствует. Поэтому своеобразная траектория шарика объясняется действием дополнительной силы. Эта сила инерции, как можно показать,

FK =2mu′×ω,		(3.75)

называется силой Кориолиса.

В формуле (3.75) u′ — скорость тела (шарика) относительно системы К′ в каждой точке движения тела; ω — угловая скорость вращения системы отсчета К′.

Согласно (3.75) направление FK определяется векторным произведением, или правилом правого

винта. В случае, изображенном на рис. 3.16, а, эта сила поворачивает траекторию шарика. Если изменить опыт таким образом, чтобы в начальный момент времени шарик имел скорость

относительно системы отсчета К′ по окружности вращения вокруг точки О′, то, по (3.75), сила

Кориолиса будет направлена по радиусу от центра О′ (рис. 3.16, б).

Земля является, строго говоря, неинерциальной системой отсчета, вращающейся с запада на восток вокруг оси, проходящей через географические полюса, с угловой скоростью

	ω=	2π	7 10−5 с−1 . При описании движения тел относительно Земли с большой
		24 ×3600

точностью нужно учитывать силы инерции, в частности центробежную и силу Кориолиса. Действие центробежной силы на тела, находящиеся на поверхности Земли, приводит к зависимости ускорения свободного падения от географической широты местности (вместе с другой причиной — формой Земли). Действие силы Кориолиса на тела, движение которых наблюдается с Земли, ведет к ряду эффектов, например: при свободном падении тел в северном полушарии кориолисова сила «действует» на восток, благодаря чему в этом случае наблюдается отклонение тел к востоку; если тело движется вдоль меридиана в северном полушарии, сила Кориолиса «действует» в правую сторону относительно движения; если тело движется вдоль меридиана в южном полушарии, сила Кориолиса «действует» в левую сторону по отношению к направлению движения; при движении тела вдоль параллели на восток сила Кориолиса направлена от Земли; при движении тела по параллели на запад кориолисова сила прижимает тело к Земле.

17 Колебательное движение. Свободные колебания. Амплитуда. Циклическая частота. Фаза гармонических колебаний; начальная фаза колебаний. Гармонический осциллятор. На примере пружинного маятника получить дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний; привести его решение и путем подстановки в исходное уравнение, показать, что оно действительно является решением. Привести графики изменения со временем координаты, скорости и ускорения гармонического осциллятора.

Колебательным движением (колебаниями) называют всякий процесс, который обладает свойством повторяемости во времени.

амплитуда — максимальное смещение тела или системы тел из положения равновесия. Обозначается буквой A или xmax, измеряется в метрах (м);

Свободные колебания, колебания в любой колебательной системе, происходящие в отсутствие внешнего воздействия; то же, что собственные колебания.

начальная фаза Чтобы маятник двигался, его можно толкнуть, когда он спокойно висит в положении равновесия, а можно отвести в сторону и отпустить.

Гармони́ческий осцилля́тор — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

F=-kx

где k — коэффициент жёсткости системы.

дифференциальное уравнение гармонических колебаний

.	,
		x = −Aω2 cos(ω t +α) ,
.
x=− Аω0 sin(ω0t +α)		0	0

и подставим функцию x(t)и ее вторую производную в

− Аω02 cos(ω0t+α)+ Аω02 cos(ω0t+α)≡0.

Полученное тождество доказывает то, что функция x = Acos(ω0t+α)

действительно является решением уравнения период колебаний пружинного маятника

T =	2π	= 2π	m	.
	ω		k
	0

.

υ= x = −Аω0 sin(ω0t+α).

Максимальное значение скорости υmax = Aω0 . Ускорение материальной точки при

гармонических колебаниях: a = x = −Aω02 cos(ω0t +α).

Его максимальное значение amax = Aω02.

Постоянные величины A и α, как было отмечено, зависят от начальных условий: от координаты x = x0 и скорости υ=υ0 в начальный момент времени t =0. Система

уравнений, из которых находятся значения A и α при заданных начальных условиях,

представляет собой уравнения (4.1) и (4.16) при условии t =0:

x0 = Acosα

υ0 = −Aω0 sinα.

Решение системы уравнений имеет следующий вид:

			2					υ	0
A = x2		+	υ0	,		α = arctg	−			.
0			ω02					x0ω0

18 Математический и физические маятники. Вывод формулы для расчета периода

колебания физического маятника. Приведенная длина физического маятника; центр качения физического маятника. Математический маятник − частный случай физического маятника. Период колебания математического маятника.

Физический маятник — это абсолютно твердое тело произвольной формы, которое подвешено на горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости.

Период колебания физического маятника

T = 2πmgLI .

I инерция относительно точки подвеса., m масса маятника, L расстояния от оси подвеса до центра масс маятника. g - ускорение свободного падения

Период колебания математического маятника

T = 2π gl −формула Гюйгенса.

l — длина нити, g - ускорение свободного падения.

Приведенная длина физического маятника - длина такого математического маятника,

период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

19 Энергия гармонических колебаний. Потенциальная, кинетическая и полная энергия механических колебаний; их связь с амплитудой колебаний, с собственной частотой колеблющейся системы.

Энергия гармонических колебаний					a)		П = mgl
В процессе колебаний происходит превращение
кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно					t = 0		К = 0			(рис.
5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения
равновесия полная энергия состоит только из								h
потенциальной энергии, которая достигает своего
наибольшего значения. Далее при движении к
положению	равновесия		потенциальная	энергия	б)		П = 0
уменьшается, при этом кинетическая энергия
								mυ2
возрастает. При		прохождении через положение			t = T/4		К =
равновесия полная энергия состоит лишь из									2
кинетической энергии, которая в этот момент достигает
своего наибольшего значения. Далее при движении к					υ
точке наибольшего отклонения происходит уменьшение
кинетической и увеличение потенциальной энергии. И										при
наибольшем	отклонении		потенциальная	опять	в)
максимальная,	а	кинетическая энергия рана		нулю. И			П = mgl			т. д.
					t = T/2
Потенциальная энергия тела, совершающего
							К = 0
гармонические		колебания		равна.	h
					Рис. 5.4.1

П = kx22 = 12 mω2x2 = 12 kA2 cos2 (ωt +ϕ0 )= 12 mω2 A2 cos2 (ωt +ϕ0 ). (5.4.1)

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

K =	mυ2	=	1	2	2	sin	2	(ωt +ϕ0 )=	1	2	sin	2	(ωt +ϕ0 ). (5.4.2)
	2		2	mω	A				2	kA

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

	E = K +	П =	1 kA2 sin2 (ωt +ϕ0 )+
			2			.	(5.4.3)
+	1 kA2 cos2	(ωt +ϕ0 )=		1 kA2	=	1 mω2 A2
	2			2		2

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

	kx2	mυ2		1 2		2
E =	2 +	2	=	2 mω	A		= const .	(5.4.4)

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

		1		2				2			1		2		1	2π			2
П	=	2	kA			cos			ϕ	=	2	kA				∫ cos				ϕdϕ		=
															2π 0							.	(5.4.5)
		1				1		2π		1+cos2ϕ								1
				2																	2
	=		kA					∫							dϕ		=			kA
		2				2π					2							4
								0

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

K =	1 kA2	sin2 ϕ =	1 kA2 .	(5.4.6)
	2		4

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и

амплитудой 14 kA2 .

20Метод векторных диаграмм (метод вращающего вектора амплитуды). Применив метод векторных диаграмм, сложить два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления и получить выражения для амплитуды и фазы результирующего колебания. Биения.

Биения. Пусть частоты двух скалярных колебаний не равны друг другу и w1 > w2. Сначала рассмотрим случай, когда разность частот складываемых колебаний мала,

т.е. w1 - w2 = W << w1, w2.

x1 = A1·cos (w1·t + f1);

x2 = A2·cos (w2·t + f2).

Найдем результирующее колебание x = x1 + x2. Заменив величину w1 на w2 + W, запишем уравнение 1-го колебания в виде:

x1 = A1·cos (w2·t + (W·t+ f1)) = = A1·cos (w2·t + y(t)).

Величину y(t) будем рассматривать как медленно изменяющуюся во времени фазу y(t) = W·t+ f1. Таким образом, вектор r1 участвует в двух вращениях с частотами w2 и W. Изобразим r1 и r2 на векторной диаграмме, исходящими из одной точки O. Не будем рассматривать их синхронного вращения с частотой w2, т.к. оно не изменяет со временем их взаимного расположения этих векторов (см. рис. 9.7). Поэтому вектор r2 будем считать неподвижным, а r1 - вращающимся со скоростью W относительно точки O. При вращении r2 вектор r1 составляет с ним некоторый угол, изменяющийся со временем. В результате сложения r1 и r2 получим вектор, длина которого периодически меняется со временем от значения, равного сумме A1 + A2, до значения, равного разности A1 - A2. Действительно, из (9.4) следует, что:

A2 = A12 + A22 + 2A1·A2·cos(W·t + Df), (9.6)

где Dj = f1 - f2.

Из (9.6) видно, что амплитуда результирующего колебания А изменяется по гармоническому закону с частотой W. Период изменения амплитуды равен Тб =

2p/W.

Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x .

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый α .

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω 0 , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со

временем по закону Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной

диаграммой .

Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного

направления и одинаковой частоты: ,

Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2 . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2 .

Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых

векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью ω 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (ω 0 , амплитудой A и начальной фазой α . Используя теорему косинусов получаем, что

и

Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.

21. Затухающие колебания. Условие существования затухающих колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Характеристики затухающих колебаний. Частота затухающих колебаний. Связь логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания. Физический смысл коэффициента затухания. Добротность колебательной системы и ее связь с логарифмическим декрементом затухания при слабом затухании.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением
х̈+ 2Вх̇+ 0		х = 0
времени.	2		- д.у. затухающих колебаний
Характеристики затухающих колебаний:
- время релаксации t = 1/b
- логарифмический декремент затухания
- добротность колебательной системы
Частота затухающих колебаний				2		амплитуда А уменьшается в e
			течение которого2
Время релаксации τ – время, в = 0					−

раз.

Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания.