68

где k=R/NА — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа

Молекулярно-кинетическое толкование температуры - cредняя кинетическая энергия хаотического движения молекул, атомов, иных частиц. Энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна 1/2 * k * T, следовательно, общая энергия равна 3/2 * k * T, где k = постоянная Больцмана. То есть, проще говоря, 1 градус - это 2,07 * 10^-23 Дж (на одну частицу).

30. Вывод барометрической формулы. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Объединенный закон МаксвеллаБольцмана.

Барометрическая формула — определяет зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести Давайте теперь узнаем, откуда же получается барометрическая формула. Давление

газа на некой высоте, определяется как :

Теперь возьмем колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой dh. Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину dP :

Знак минус необходим для того, что с увеличением высоты давление уменьшается

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, можно воспользоваться уравнением Менделеева — Клаперона

Из этого уравнения выражаем давление

[продолжение 30]

А теперь можно и плотность газа

Подставляя найденную плотность газа в дифференциальное уравнение dP, мы получаем :

Сделав все преобразования. мы получаем зависимость давления P от высоты подъема h. Теперь необходимо проинтегрировать обе части нашего уравнения:

Проинтегрировав, у нас полечилась вот такое уравнение:

И теперь последний рывок, это взять логарифм. И у нас получится Барометрическое уравнение.

!Формула Больцмана и максвела:				2
		3/2		− +
				2
	= 0 2

n=n0exp(-ep/(kT)) Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциальных сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического движения. В соответствии с этим это распределение было названо законом Больцмана для распределения частиц идеального газа во внешнем потенциальном поле

36. Применение I начала термодинамики к адиабатному процессу идеального газа. Изменение внутренней энергии и его работа при адиабатном процессе. Теплоемкость при адиабатном процессе. Показатель адиабаты. Уравнение Пуассона; уравнение адиабаты в T-V координатах.

Изохорный процесс (V=const). При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

Из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) для изохорного процесса следует, что вся теплота, которая сообщается газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

Изобарный процесс (p=const). При изобарном процессе работа газа при увеличения объема от V1 до V2 равна

откуда

Изотермический процесс (T=const). Изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:

из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) следует, что для изотермического процесса

Так как внутренняя энергия идеального газа является функцией только температуры, то

где — число молей идеального газа.

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённого газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.

При адиабатическом процессе показатель адиабаты равен Уравнения Пуассона описывают квазистатические адиабатические процессы

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

37. Обратимые и необратимые процессы. Прямые и обратные циклы. II начало термодинамики; его формулировки. Тепловая машина; ее составные элементы; к.п.д. тепловой машины. Холодильная машина; холодильный коэффициент.

Обратимым термодинамическим процессом называется термодинамический процесс, допускающий возможность возвращения системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-либо изменения. Необходимым и достаточным условием обратимости термодинамического процесса является его равновесность.

2. Необратимым термодинамическим процессом называется термодинамический процесс, не допускающий возможности возвращения системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-либо изменения. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью. Они сопровождаются трением, диффузией и теплообменом при конечной разности между температурами системы и внешней среды. Следовательно, все они неравновесны и необратимы.

Второе начало термодинамики — физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов передачи тепла между телами.

Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая, что коэффициент полезного действия не может равняться единице, поскольку для кругового процесса температура холодильника не может равняться абсолютному нулю (невозможно построить замкнутый цикл, проходящий через точку с нулевой температурой).

Второе начало термодинамики является постулатом, не доказываемым в рамках термодинамики. Оно было создано на основе обобщения опытных фактов и получило многочисленные экспериментальные подтверждения.

Постулат Клаузиуса: «Невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более горяче-

му»[1] (такой процесс называется процессом Клаузиуса).

Постулат Томсона (Кельвина): «Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара» (такой процесс называется процессом Томсона).

38. Цикл Карно. Максимальный коэффициент полезного действия тепловой машины. Коэффициент полезного действия тепловой машины, действующей по циклу Карно (теорема Карно). Приведенная теплота. Цикл Карно в T-S координатах. Доказательство теоремы Карно

Цикл Карно́— идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадают соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно.

Состоит из 2 адиабатических и 2 изотермических процессов.

Одним из важных свойств цикла Карно является его обратимость: он может быть проведён как в прямом, так и в обратном направлении.

Обратимый цикл Карно.

Для обратимого цикла коэффициент полезного действия можно вычислить по любой из полученных ранее формул

Отсюда

или

Формулировка первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1.Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника :

2.Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников:

Проведем доказательство первой теоремы Карно

39. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Неравенство Клаузиуса. Термодинамическое тождество или второе начало термодинамики для равновесных процессов. Энтропия идеального газа. Вычисление изменения энтропии идеального газа при изохорном процессе, при изобарном и изотермическом процессах

Энтропия — функция состояния системы, равная в равновесном процессе кол-ву теплоты сообщенной системе или отведенной из системы.

энтальпия – это функция состояния термодинамической системы,определяющая тепловой эффект изобарического процесса.

Закон возрастания энтропии

Применим неравенство Клаузиуса для описания необратимого кругового термодинамического процесса, изображенного на рис 3.13.

Пусть процесс будет необратимым, а процесс - обратимым. Тогда неравенство Клаузиуса для этого случая примет вид

Так как процесс является обратимым, для него можно воспользоваться соотношением

в котором знак равенства имеет место в случае, если процесс является обратимым, а знак больше, если процесс - необратимый.

Неравенство может быть также записано и в дифференциальной форме

Если рассмотреть адиабатически изолированную термодинамическую систему, для которой , то выражение примет вид

Полученные неравенства выражают собой закон возрастания энтропии, который можно сформулировать следующим образом:

В адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы один необратимый процесс.

Неравенство Клаудиоса

Энтропия при изохорном процессе

Поскольку в системе при изохорном процессе происходит теплообмен с внешней средой, то происходит изменение энтропии. Из определения энтропии следует:

Выше была выведена формула для определения количества теплоты. Перепишем ее в дифференциальном виде:

Изменение энтропии при изобарном процессе равно

.

40. Термодинамическая вероятность состояния системы и ее связь с энтропией. Необратимые процессы. Статистический смысл II начала термодинамики; формула Больцмана. III начало термодинамики (теорема Нернста) и его следствия.

Термодинамическая вероятность W состояния системы — это число способов, с помощью которых может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, которые осуществляют данное макросостояние

Cогласно Больцману, энтропия cиcтемы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

Система, состоящая из большого числа частиц, характеризуется макроскопическими параметрами. Микроскопические параметры определяют движение отдельных молекул, входящих в систему.

Основная идея статистической физики в определения координат и импульсов каждой частицы в зависимости от времени, найти вероятность того, что система находится в определенном микроскопическом состоянии, то есть имеет определенные координаты и импульсы всех молекул.

Под математической	вероятностью	понимается предел отношения чис-
ла n появлений ожидаемого события к		числу опытов N при неограниченном
возрастании этого числа.

Необратимым термодинамическим процессом называется термодинамический процесс, не допускающий возможности возвращения системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-либо изменения. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью. Они сопровождаются трением, диффузией и теплообменом при конечной разности между температурами системы и внешней среды. Следовательно, все они неравновесны и необратимы.

3-е начало термодинамики При стремлении температуры любой равновесной термодинамической системы к абсолютному нулю ее энтропия стремится к некоторой универсальной постоянной величине, значение которой не зависит от каких-либо термодинамических параметров системы и может быть принято равной нулю:

41. Реальные газы. Межмолекулярные силы взаимодействия; их природа и зависимость от межмолекулярного расстояния. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Поправки Ван-дер-Ваальса и силы межмолекулярного взаимодействия.

Реальный газ - это газ, между молекулами которого действуют силы межмолекулярного взаимодействия. Опыт показал, что законы идеальных газов справедливы для реальных газов лишь в условиях, близких к нормальным. При повышении давления и понижение температуры обнаруживаются значительные отклонения в поведении всех реальных газов. Реальный газ имеет сжимаемость от внешних сил значительно меньшую, чем идеальный. Реальные газы конденсируются, а уравнение состояния идеального газа не может объяснить переход вещества из газообразного состояния в жидкое. Силы межмолекулярного взаимодействия - короткодействующие, т.е. проявляются на расстояниях R ≤ 10-9 м и быстро уменьшаются с увеличением расстояния. Силы межмолекулярного взаимодействия в зависимости от расстояния между молекулами могут быть силами притяжения или силами отталкивания. Молекулярные силы притяжения называют силами Ван-дер-Ваальса. Из рисунка видно, что для больших расстояний между молекулами, когда плотность газа мала, силы Ван-дер-Ваальса правильно передают характер взаимодействия между молекулами. Части кривой, соответствующей межмолекулярному отталкиванию, в модели Ван-дер-Ваальса соответствует положительная часть кривой. На этом участке U (r) → ∞ при r ≤ d, то есть центры молекул не могут приблизиться на расстояние r < d (d - диаметр молекулы). В общем, изображена пунктиром кривая представляет потенциальную энергию парного взаимодействия молекул, между которыми действуют силы притяжения, а силы отталкивания проявляются лишь в случае столкновения согласно модели твердых шариков.

В 1873 году Ван-дер-Ваальс, проанализировав причины отклонения свойств реальных газов от закона Бойля-Мариотта, вывел уравнение состояния реального газа, в котором были учтены собственный объем молекул и силы взаимодействия между ними. Аналитическое выражение уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа имеет вид:

,

где коэффициенты а и b называют постоянными Ван дер Ваальса, которые зависят от химической природы вещества, температуры и давления. Уравнение Ван дер Ваальса для произвольного количества газа массой m имеет вид:

Уравнение Ван дер Ваальса является приближенным уравнением состояния реального газа, причем степень его приближения различна для разных газов. Записано большое количество эмпирических и полуэмпирических уравнений состояния реальных газов (уравнение: Бертло , Клаузиуса - Клапейрона, Дитеричи, Редлиха - Квонг, КамерлингОннес т.п.). За счет увеличения числа констант в этих уравнениях можно достичь лучшего согласования с практикой, по сравнению с уравнением Ван дер Ваальса. Однако уравнение Ван дер Ваальса благодаря своей простоте и физической содержания постоянных a и b, входящих в него, является самым распространенным для анализа качественной поведения реальных газов.