Gidravlika_i_ghidromiekhanizatsiia_s.kh_._protsiessov__Praktikum

	e =	Iс	,	(2.15)
		y S
		с

где Iс — осевой момент инерции рассматриваемой фигуры относительно горизонтальной оси, которая лежит в плоскости и проходит через ее центр тяжести;

ус — расстояние вдоль фигуры между горизонтальной плоскостью, проходящей через верхнюю точку фигуры и ее центром тяжести.

Графический метод

1. Для определения силы гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, графическим методом предварительно необходимо построить эпюру давления, действующего на рассматриваемую фигуру.

Так как давление с увеличением глубины растет по линейному закону, то для построения эпюры достаточно с помощью основного уравнения гидростатики определить давления в самой верхней и нижней точках данной фигуры (точки 1 и 2 на рисунке 2.4).

Основное уравнение гидростатики для определения давления в точке 1 примет вид (2.14), а для вычисления давления в точке 2:

p2 = pм + гh2 ,

(2.16)

где h2 — глубина погружения самой нижней точки фигуры от горизонтальной поверхности, на которой давление равно pм.

Ординаты давлений p1 и p2 в масштабе, выбранном по рекомендации ГОСТа, откладываются в соответствующих точках по нормали к поверхности со стороны нагрузки и соединяются прямой линией.

2. Сила гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, определяется как объем эпюры давления.

Точка приложения силы гидростатического давления находится на пересечении рассматриваемой фигуры с перпендикуляром, опущенным на нее из центра тяжести эпюры давления.

31

В случаях, когда эпюра гидростатического давления представляет собой сложную фигуру, то для удобства расчетов ее целесообразно разбить на ряд простых. При этом каждая простая фигура будет соответствовать одной из составляющих силы гидростатического давления.

Например, если считать, что показанная на рисунке 2.4 наклонная поверхность, на которую действует искомая сила, является прямоугольником, то эпюра давления будет представлять собой призму с трапецеидальными основаниями.

Поскольку центр тяжести трапеции находится более сложно, чем треугольника, то в данном случае при определении момента силы давления эпюру целесообразно разбить на параллелепипед, объем которого определяет силу Паскаля Fп с центром тяжести С1, и треугольную призму, объем которой соответствует силе весового давления слоя жидкости Fж с центром тяжести С2.

Пример вычисления силы гидростатического давления, действующего на плоские фигуры.

1. Требуется определить момент, создаваемый силой гидростатического давления, действующего на наклонную прямоугольную крышку, относительно оси, проходящей по ее нижнему основанию (рисунок 2.5).

Дано: ширина крышки (в направлении, перпендикулярном чертежу) А = 0,6 м; высота крышки (расстояние 1–2) В = 1,2 м; площадь крышки S = 0,72м2; hс = 0,52 м; h2 = 1,04 м; жидкость — вода (удельный вес 9810 Н/м3).

Порядок расчета: намечается способ решения, выписываются основные формулы и поясняются обозначения, на расчетной схеме указываются все величины, используемые при расчете.

32

Рисунок 2.4 — Расчетная схема для определения силы гидростатического давления

Рисунок 2.5 — К расчету силы давления на плоскую поверхность

Аналитический метод

1. В данном примере внешнее давление, действующее через жидкость на крышку, является атмосферным. С противоположной стороны на крышку действует также атмосферное давление. Поэтому для расчетов удобно число-

33

вые величины, характеризующие давление, принимать по шкале избыточного давления, т. е. pатм(изб) = 0.

Таким образом, в данном случае из сил, действующих на крышку, будет не скомпенсирована только сила весового давления жидкости, которая находится по формуле (2.13):

Fж = гhc S = 9,81×0,52 ×0,72 = 3,67кН

2. Для определения момента силы находится тючка ее приложения «Д», для чего вычисляется по формуле (2.15) эксцентриситет:

Ic

A

B3

B

1,2

e =

=

12

=

=

= 0,2м.

yc S

B

6

6

2

S

3. Соответственно плечо силы давления

r= B2 −e = 12,2 −0,2 = 0,4м.

4.Момент силы давления определяется по формуле

M = Fжr = 3,67 ×0,4 =1,47кН м.

Графический метод

1. Вычисляются с помощью основного уравнения гидростатики давления в самой верхней и нижней точках крышки (в данном примере точки 1 и 2).

Как указывалось выше, p1 = 0. Давление в точке 2:

p2 = p1 + гh2 = 0 + 9,81×1,04 =10,2кПа.

Выбираются масштабы для давления и геометрический (рисунок 2.5). Соответственно строится эпюра давления. Она в данном примере представляет собой треугольную призму (на рисунке 2.5 видно только одно основание призмы), т. е. достаточно простую фигуру, не требующую дополнительных преобразований.

34

2. Определяется сила давления, как объем эпюры, в данном случав треугольной призмы:

Fж =Vэ = Sэ A = 12 p2 BA = 1210,2 ×1,2 ×0,6 =3,67кН.

где Sэ — площадь треугольного основания призмы.

3. Находится точка приложения силы давления «Д», для чего через центр тяжести эпюры Сэ проводится перпендикуляр до пересечения с крышкой. Поскольку в данном примере среднее сечение призмы, параллельное основанию, представляет собой треугольник, то расстояние от точки 2 до «Д», будет равно В/3, т. е. треть плеча силы давления:

r = 13 B =13,2 = 0,4м.

Этот же результат может быть получен путем непосредственного измерения указанной величины на чертеже.

4. Определяется момент силы давления:

M = Fжr = 3,67 ×0,4 =1,47кН м.

Как и следовало ожидать, результат расчета получается таким же, как при использовании аналитического метода.

2.4 Практическое занятие «Сила давления на криволинейную поверхность»

Основные сведения

Равнодействующая сила давления на криволинейную поверхность в общем случае определяется по формуле:

F =	F 2	+ F 2	+ F 2	,	(2.17)
кр	x	y	z

где Fх и Fу — горизонтальные составляющие, действующие по направлению осей Х и У;

35

Fz — вертикальная составляющая по направлению оси Z (рисунок 2.6). В практике в основном рассматриваются случаи, когда криволинейная

поверхность симметрична оси У, тогда составляющая Fу = 0 и выражение (2.17) для цилиндрической симметричной поверхности примет вид

F		=	F 2	+ F 2 .	(2.18)
кр			x	z
Горизонтальная составляющая на криволинейную поверхность опреде-
ляется по формуле:
Fг	= Fх = pсS ,				(2.19)

где pс — давление в центре тяжести плоской поверхности (точка С), являющейся проекцией криволинейной поверхности на вертикальную плоскость ZOY и определяется по формуле (2.11);

S— площадь плоской поверхности, являющейся проекцией криволинейной поверхности на вертикальную плоскость ZOY.

Вертикальная составляющая определяется по формуле

Fв = Fz = гW ,

(2.20)

где γ — удельный вес жидкости (приложение 1);

W— объем тела давления, заключенный между криволинейной поверхностью вертикальными плоскостями, проходящими через начало и окончание криволинейной поверхности и горизонтальной плоскостью, где избыточное давление равно 0 (нулю). В нашем случае се-

чение объема тела давления заштриховано (рисунок 2.6).

Для определения точки приложения силы Fкр, действующей на криволинейную поверхность, рассмотрим предварительно направление сил Fг и Fв. Горизонтальная составляющая Fг всегда направлена со стороны действия жидкости через центр тяжести объема тела давления. Вертикальная составляющая Fв проходит через центр тяжести тела давления. Ее направление (вверх или вниз) определяется взаиморасположением жидкости и криволинейной поверхности. Если жидкость ограничивается поверхностью снизу, то и направлена вниз, а если сверху — вверх или, если объем тела давления за-

36

полнен жидкостью, сила Fв направлена вниз, а, если не заполнен жидкостью, то Fв направлена вверх.

Точка приложения Fкр (точка Д) определяется геометрическим построением сил Fг и Fв в масштабе, и сила Fкр проходит через центр симметрии криволинейной поверхности (точка О).

Пример расчета

Определить силу, действующую на криволинейную поверхность MN, представляющую собой четвертую часть цилиндра радиусом R = 0,5 м. Сосуд заполнен водой на высоту h = 50 см при длине цилиндра l = 3 м.

Порядок расчета.

1.В нашем случае криволинейная поверхность симметрична оси Y, тогда сила Fу = 0 и на криволинейную поверхность MN будут действовать две силы: Fг — горизонтальная составляющая, и Fв — вертикальная составляющая.

2.По формуле (2.19) определяем горизонтальную составляющую, предва-

рительно определивпоприложению1 удельныйвесводыγв= 9810 Н/м3.

Fг = pc S = гhc Rl = 0,75 ×9810 ×0,5 ×3 =11036Н,

где hс — глубина погружения центра тяжести (точка С) проекции криволинейной поверхности MN на вертикальную плоскость ZOY:

hc = h + R2 = 0,5 + 02,5 = 0,75м.

S — площадь проекции MN на вертикальную плоскость ZOY:

S= Rl = 0,5 ×3 =1,5м.

3.По формуле (2.20) определяем вертикальную составляющую:

F = гW =9810 ×0,91 =8927Н,

где W — объем тела давления (сечение NMKA):

	W = (h + R)lR −	рR	l = (0,5 + 0,5) ×3×0,5 −	3,14 ×0,52	×3 = 0,91м3.
		4		4

37

4. Сила давления на криволинейную поверхность определим по форму-

ле (2.18):

Fкр = 89272 +110362 =14166 =14,2кН.

Рисунок 2.6 — Сила давления на криволинейную поверхность

2.5 Практическое занятие «Расчет устройств, основанных на законах гидростатики»

Основные сведения

С помощью законов гидростатики рассчитываются, например, гидропрессы и гидромультипликаторы в случаях, когда их рабочие органы находятся в состоянии предельного равновесия.

Гидропресс (рисунок 2.7) предназначен для увеличения сил, действующих на обрабатываемый объект. Гидропресс состоит из двух сообщающихся цилиндров, поршни которых имеют разную площадь.

При воздействии силы F1 на поршень узкого цилиндра, имеющего площадь S1, под поршнем создается давление p = F1/S1. Это давление по закону Паскаля передается жидкостью во все точки одинаково. Следовательно, будет также действовать и на поршень широкого цилиндра, создавая рабочее усилие, F2 = pS2. Таким образом, рабочее усилие, создаваемое гидропрессом, определяется формулой:

38

F =	S2	F .	(2.21)
2	S1	1

Отсюда следует, что усилие с помощью гидропресса увеличивается во столько раз, во сколько площадь поршня широкого цилиндра превышает площадь узкого.

Гидромультипликатор (рисунок 2.8) предназначен для увеличения давления. Он состоит из двух цилиндров разного размера, поршни которых, имеющие площадь S1 и S2 соединены друг с другом штоком.

В состоянии предельного равновесия поршни неподвижны, поэтому силы, создаваемые давлениями в обоих цилиндрах, будут равны, т. е. F1 = F2 или p1S1 = p2S2, откуда

p	=	S2	p .	(2.22)
2		S1	1

Таким образом, мультипликатор увеличивают давление в столько раз, во сколько площадь большего поршня превышает площадь малого.

При выводе соотношений (2.21) и (2.22) не учитывались силы трения. В случае необходимости оценки их влияния на условия равновесия следует иметь

ввиду, что силы трения уменьшают усилие рассматриваемых устройств.

Вгидропрессах и гидромультипликаторах, кроме поршней, широко применяются плунжеры. В таких случаях в формулы (2.21) и (2.22) подставляются вместо площадей поршней соответствующие площади плунжеров.

Рисунок 2.7 — Принципиальная схема гидравлического пресса:

F1 — сила, с которой оказывается воздействие на поршень малого цилиндра; F2 — сила, с которой поршень большого цилиндра оказывается воздействие на обрабатываемый предмет (рабочее усилие)

39

Рисунок 2.8 — Принципиальная схема гидромультипликатора:

а) — поршневого типа; б) — плунжерного типа; p1 — давление, создаваемое, например, насосом; p2 — рабочее давление, создаваемое мультипликатором

Примеры расчетов

а) Поршеньдиаметром D = 400 ммидругойпоршеньдиаметромd = 100 мм (рисунок2.8, а) связанымеждусобойштоком.

Определить давление p2, если перед поршнем большего диаметра поддерживается давление p1 = 10 кПа, при этом сила на преодоление трения в поршнях Fтр = 200 Н.

Порядок расчета.

1. Определяем силу, действующую на поршень диаметром D:

F2 = p1S2 =10000 ×0,1256 =1256 Н,

где S1 — площадь поршня диаметром D:

S =	рD2	= 3,14 ×0,42	= 0,1256м2.
1	4	4

2. Находим силу, действующую на жидкость под малым поршнем:

F2 = F1 − Fтр =1256 −200 =1056 Н.

3. Величина давления под малым поршнем согласно формуле (2.21):

p = F2		=	1056	=134522=135кПа,
2	S2		0,00785

40