стремится к π. По мере уменьшения величины β Ωрез→ω0 , Арез увеличивает-

ся, ϕðåç → π2 . В предельном случае β = 0 резонансная частота совпадает с

собственной частотой колебаний ω0 , резонансная амплитуда в этом случае увеличивается неограниченно, колебания отстают от вынуждающей силы

примерно на π2 .

Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания β называются резонансными кривыми. На рис. 4.11, а изображены несколько резонансных кривых, на которых видны закономерности зависимостей А(Ω) и А(β): с ростом β (β2 > β1) максимум функции А(Ω) сдвигается влево, а его высота уменьшается. При β = 0 Ωрез = ω0 и функция А(Ω) в этом случае

стремится к бесконечности и т.д. Зависимость — ϕ(Ω), определенная формулой (4.84), имеет на графике вид, изображенный на рис. 4.11, б.

а)

б)

Рис. 4.11

3.3ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ

3.3.1Физический и математический маятники

Физический маятник — это абсолютно твердое тело произвольной формы, которое подвешено на горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

На рис. 4.12 изображен физический маятник, ось подвеса которого ОZ проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. На маятник действуют две силы, приложенные в центре масс: сила тяжести mgr и сила

реакции подвеса Nr . В положении равновесия эти силы уравновешивают друг

236

друга. Если отклонить маятник от положения равновесия на некоторый угол, а затем дать возможность маятнику свободно двигаться, тог он начнет совершать колебания около положения равновесия. При этом каждая точка маятника будет двигаться по дуге окружности с центром на оси подвеса.

Колебательное движение маятника будет одновременно являться вращательным движением вокруг неподвижной оси подвеса. Отклонение от положения равновесия будем характеризовать с помощью угла отклонения ϕ, который отсчитывается от вертикали. Причем при отклонении в правую сторону (против часовой стрелки)

считаем угол положительным, а в левую сторону — отрицательным.

В произвольномrположении, которое показано на рис. 4.12, силы mg и N не уравновешивают друг друга и

создают	результирующий момент сил M относительно
оси подвеса. Этот момент сил, сообщающий маятнику
угловое ускорение, есть векторная сумма моментов сил		Рис 4.12
mg и Nr	относительно оси подвеса:
	M = M mg + M N .	(4.91)

В данном случае моменты сил относительно оси подвеса совпадают с моментами этих сил относительно точки О, т.к. ось перпендикулярна плоскости. В которой действуют силы.

Момент силы реакции подвеса N относительно точки О равен нулю, так как линия действия силы проходит через точку О. Момент силы тяжести относительно точки О:

M = M mg = L ×mgr ,

(4.92)

где Lr — радиус-вектор, проведенный из точки о в центр масс маятника. Величина этого вектора равна расстоянию между точкой О (осью подвеса) и центром масс маятника (точкой С). Модуль момента силы тяжести

Mmg = Lmg sin ϕ.

(4.93)

Направление вектора M mg как векторного произведения находится по правилу (правого) буравчика: этот вектор направлен как поступательное движение буравчика, если его вращать от вектора L к вектору mgr по минимальному углу между ними. Используя это правило, находим, что M mg в по-

ложении маятника, изображенном на рис. 4.12, направлен перпендикулярно рисунку «от нас». Согласно с выбором положительных значений угла отклонения ϕ (вправо от вертикали) положительное направление оси OZ (совпа-

237

r

дающей с осью подвеса) выбирается «к нам». Тогда проекция вектора M mg , а вместе с ним и вектора результирующего момента сил M на ось OZ

r
(M )OZ = (M mg )OZ	= −mgLsinϕ.	(4.93)

r

Когда маятник находится слева от положения равновесия, вектор M mg будет направлен «к нам», т.е. по оси OZ. Но в этот момент времени угол ϕ

отрицателен и выражение (4.93) остается справедливым. Знак «−» показывает, что результирующий момент сил стремиться вернуть маятник в положение равновесия.

Запишем основной закон динамики вращательного движения:

	M = Iβ,	(4.94)
где I	— момент инерции маятника относительно оси подвеса,
β = •ϕ•	— угловое ускорение маятника.
	Проекция равенства (4.94) на ось OZ дает:
	••	(4.95)
	I ϕ = −mgLsinϕ.
	Разделим обе части уравнения (4.95) на I и запишем в виде:
	••
	ϕ+ mgL sin ϕ = 0 .	(4.96)
	I

Будем рассматривать только малые колебания физического маятника, т. е. такие колебания, когда значения угла отклонения ϕ , выраженного в ра-

дианах, много меньше 1 (ϕ <<1) . В этом случае sin ϕ ≈ ϕ, и уравнение (4.96) можно записать в следующем виде:

••
ϕ+ mgL	ϕ = 0 .	(4.97)
I

Полученное уравнение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Введем обозначение:

mgL = ω2 .		(4.98)
I	0

238

Выражение (4.97) с учетом введенного обозначения (4.98) примет вид известного дифференциального уравнения гармонических колебаний:

••
ϕ+ ω2ϕ = 0 .	(4.99)
0

Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4.99) является функция

ϕ(t) = ϕmax cos(ω0t + α) ,

(4.100)

где ϕmax — амплитуда колебаний, ω0 — циклическая частота, α — началь-

ная фаза колебаний.

Таким образом, физический маятник при малых отклонения от положения равновесия совершает гармонические колебания. Исходя из формулы, связывающей период колебаний и циклическую частоту и с учетом выражения (4.98) имеем:

T = 2π mgLI .

Следовательно, период колебаний физического маятника зависит от момента инерции относительно оси подвеса, от массы маятника, ускорения свободного падения и расстояния от оси подвеса до центра масс маятника.

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости (рис. 4.13). Момент инерции математического маятника относительно оси подвеса равен:

I = ml2 ,

(4.101)

Рис 4.13

(4.102)

где m — масса материальной точки, l — длина нити. Расстояние от оси до центра масс также равно l . С учетом этого из формулы (4.101) получаем формулу для периода колебаний математического маятника:

	T = 2π	l	−формула Гюйгенса.	(4.103)
		g

Введем понятие приведенной длины физического маятника. Приве-

денной длиной физического маятника называется длина такого математи-

239

ческого маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника:

		Tô		=Tì ,
	2π	I		= 2π			Lïð	,
		mgL					g
	откуда получаем:				I
		L		=		.		(4.104)
		ïð			mL

Сравним величины Lïð и L . Для этого выразим момент инерции физи-

ческого маятника относительно оси колебаний в соответствии с теоремой Штейнера:

I = IC +mL2 .

(4.105)

Подставим (4.105) в (4.104) и получим:

Lïð = L + mLLC > L .

Точка O′, находящаяся на прямой ОС на расстоянии приведенной длины физического маятника от точки О, называется центром качаний. Можно показать, что если ось подвеса перенести в центр качаний маятника, то период колебаний физического маятника не изменится.

4 МАТЕРИАЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

4.1 МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ

Лекция 1 «Колебательное движение. Гармонические колебания»

План лекции

1.Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный маятник. (Дать основные определения. На примере пружинного маятни-

ка получить дифференциальное уравнение, проверить правильность решения, построить графики x(t),υ(t),a(t) .)

2.Энергия гармонических колебаний. (Найти выражение полной механической энергии гармонического колебания, построить график зависимости

Wï (x) ).

240