- •Дисциплина «Численные методы» Введение
- •Раздел I
- •3. Действия над приближенными числами.
- •§2. Погрешности вычислений.
- •Раздел II Численные методы
- •Глава I. Нелинейные уравнения. §1. Уравнения с одним неизвестным.
- •§ 2 Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).
- •§ 3. Метод хорд
- •§4. Метод Ньютона (метод касательных)
- •§5. Метод простой итерации.
§ 3. Метод хорд
Пусть отрезок , на которомменяет знак. Для определенности примем(рис).
A y
b
c0
c1
a c x
B
B1
В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимают значенияточек пересечения хорды с осью абсцисс.
Сначала находим уравнение хорд
Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение
Далее, сравнивая знаки и, следует, что корень находится в интервале, т.к.Отрезокотбрасываем.
Затем определяем новое приближение как точка пересечения хордыс осью абсцисс и т.д.
Для окончания итераций нужно использовать условие близости двух последовательных приближений или условие
Метод деления отрезка пополам и метод хорд похожи процедурой проверки знаков функции на концах отрезка. Метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса.
§4. Метод Ньютона (метод касательных)
Его отличие от метода хорд состоит в том, что на k-й итерации вместо хорд проводится касательная к кривой прии ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.
При этом не обязательно задавать , содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня(рис).
M0
c1
c0 x c
M2
M1
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точкеимеет вид. Следовательно, следующее приближение корня(абсцисса точки пересечения касательной с осью):
Формула для k-го приближения имеет вид: .
Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия или
Теорема. Достаточное условие сходимости метода Ньютона.
Пусть определена и дважды дифференцируема на, причем, аисохраняют знак на этом отрезке. Тогда исходя из начального приближенияи удовлетворяющему неравенствуможно построить последовательностьсходящуюся к единственному решениюс уравнения при.
§5. Метод простой итерации.
Исходное нелинейное уравнение записывается в виде:
. (1)
Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя в правую часть (1), получаем новое приближениеПоследовательность значенийИтерационный процесс прекращается, если выполнено неравенство. Достаточное условие сходимости метода простой итерации дается следующей теоремой.
Теорема.
Пусть - корень уравнения (1), т.е.. Пусть- определена и дифференцируема на, причем. Если выполняется условиена, то последовательностьсходится кс при .
Замечание
Чтобы привести любое уравнение к видудостаточно выполнить следующие преобразования:
.
Константа d выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса или. Это условие равносильнопри,
при
Итерации имеют геометрическую интерпретацию.
С0
С1
С2
С
С0
С1
С2
С
Решение с уравнения (1) является абсциссой точки пересечения прямой и кривой.
В (1) последовательность монотонно сходится кс, причем с той стороны, с которой расположено начальное приближение .
В (2) расположены поочередно с разных сторон от решения .