24. Объемное напряженное состояние.

В любой точке нагружаемого тела существуют три главные площадки, в которых действуют главные (нормальные) напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние в точке называется объемным или трехмерным. При условии равенства нулю одного из главных напряжений напряженное состояние считается плоским или двумерным. При отличии от нуля только одного главного напряжения напряженное состояние будет линейным или одномерным.

Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях ₁, ₂, ₃:

;

,

где ₁, ₂, ₃ — углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение: .

Оно действует по площадке параллельной главному напряжению ₂ и наклоненной под углом 45^о к главным напряжениям ₁ и ₃.

25. Напряжения на произвольно наклоненных площадках.

26. Октаэдрические напряжения.

Площадка, равнонаклоненная к направлению трех главных напряжений, называется октаэдрической, а действующие на ней напряжения – октаэдрическими напряжениями.

Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

;

Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.

или , Октаэдрическое касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений. Интенсивность напряжений:

.

_x+_y+_z=₁+₂+₃ — сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная сумме главных напряжений (первый инвариант).

27. Деформированное состояние в точке.

Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через данную точку, называется деформированным состоянием.

28. Главные деформации. Удлинение в произвольном направлении. (Удлинение- см. вопрос 27).

Деформации в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, называются главными деформациями в точке.

В точках изотропного упругого тела направления главных деформаций и главных напряжений всегда совпадают.

29. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке. (начало- см. вопрос 30)

30. Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях.

Деформации , и в направлениях главных напряжений называются главными деформациями.

31. Изменение объема материала при деформации.

32. Потенциальная энергия при объемном напряженном состоянии.

Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема.

Внутреннюю энергию разбивают на 2 части, соответствующие двум напряженным состояниям:

33. Понятие о чистом сдвиге.

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: ₁= — ₃ = ; ₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб.  — абсолютный сдвиг,

  — относительный сдвиг или угол сдвига.

34. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге.

Угол наклона главных площадок:

Формула для определения главных напряжений:

35. Закон Гука при чистом сдвиге.

Закон Гука при сдвиге:  = /G или  = G .

ɣ- относительная угловая деформация или угол сдвига,

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости при растяжении, — коэффициент Пуассона, G- модуль сдвига).

36. Потенциальная энергия при чистом сдвиге.

Чистый сдвиг- напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения.

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=аF — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

37. Напряжения и деформации при кручении стержня с круглым поперечным сечением.

38. Потенциальная энергия при кручении круглого вала.

Кручение- такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникают только одни крутящие моменты.

При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания — закон плоских сечений. Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: =G, G — модуль сдвига, , — полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания , GJ_p — жесткость сечения при кручении. — относительный угол закручивания. Потенциальная энергия при кручении: . Условие прочности: , [] =, для пластичного материала за _пред принимается предел текучести при сдвиге _т, для хрупкого материала – _в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении: _max[] – допустимый угол закручивания.

39. Анализ напряженного состояния при кручении. Главные напряжения и главные площадки.

Напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

40. Кручение стержня с прямоугольным сечением.

41. Понятие о кручении круглого стержня за пределами упругости.

42. Чистый изгиб. Определение нормальных напряжений.

Чистый изгиб -вид деформации, когда в поперечном сечении стержня действует только изгибающий момент. Если кроме изгибающего момента действует и поперечная сила- поперечный изгиб.

При чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения.

43. Касательные напряжения при изгибе.

44. Анализ напряженного состояния при изгибе.

45. Проверка прочности балок при изгибе.

46. Потенциальная энергия при изгибе.

47. Расчет составных балок.

48. Изгиб балок с различными модулями упругости при растяжении и сжатии.

49. Определение разрушающих нагрузок при изгибе балок за пределом упругости.

50. Остаточные напряжения при изгибе.

51. Понятие об изгибе балок, материал которых не следует закону Гука.

52. Понятие о центре изгиба.

Центр изгиба- такая точка, относительно которой момент касательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю.

Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести.

Ось центров изгиба обладает тем свойством, что поперечная нагрузка, пересекающая эту ось, вызывает только изгиб стержня. В противном случае возникает дополнительная деформация кручения относительно этой оси.

Наряду с основной осью стержня, проходящей через центры тяжести сечений, стержень обладает еще осью центров изгиба, к точкам которой должны приводиться поперечные нагрузки при разделении деформаций изгиба и кручения. Иногда эта ось называется осью жесткости, а сама точка- центром жесткости (центром сдвига).

53. Косой изгиб.

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Элемент бруса, примыкающий к этому сечению, находится в условиях косого изгиба.

Случай косого изгиба, при котором в поперечном сечении бруса возникает лишь изгибающий момент, называется чистым косым изгибом. Если же в сечении действует, кроме того, поперечная сила, то имеется поперечный косой изгиб.

54. Одновременное действие изгиба и продольной силы.

55. Внецентренное действие продольной силы.

Если продольная сила действует внецентренно и параллельно продольной оси бруса, то брус испытывает внецентренное сжатие или растяжение.

Расстояние е от продольной силы до оси бруса называется эксцентриситетом.

56. Одновременное действие кручения с изгибом.

 Изгиб с кручением- вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действует крутящий и изгибающий моменты.

По третьей теории прочности (теория наибольших касательных напряжений) эквивалентное напряжение вычисляют по формуле:

                                          _экв =                                               

По пятой теории прочности (энергетическая теория) формула для эквивалентных напряжений имеет вид:

                                        _экв =                                                 

В этих формулах и нормальное и касательное напряжения в опасной точке поперечного сечения бруса.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам:

=,                 

 где полярный момент сопротивления W_, и осевой момент W_х связаны равенством:                           

W_p = 2W_х.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки поперечного сечения вала, наиболее удалённые от нейтральной оси.

Подставим значения напряжений в принятые уравнения теорий прочности, получим:  

_экв = ,   и       _экв  = .

Выражение, стоящее в числителе, назовём эквивалентным моментом.

Расчётная формула для круглых валов принимает вид:  _экв= .