17) Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Система векторов a1,a2,...,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,...,λn такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и yбудет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты)   Линейной комбинацией векторов называют вектор

     

где - коэффициенты линейной комбинации. Есликомбинация называется тривиальной, если- нетривиальной.

18) Определение. Система векторов x₁, x₂, … , x_n  X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, … , α_n  R , не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂²+ … + α_n² ≠ 0 ), такие, что

α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x₁, x₂, … , x_n  X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией  ------------------------------------------------------------------------------------------------ Базисом системы векторов A₁ , A₂ ,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂ ,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_r является одним из векторов A₁ , A₂ ,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям: 1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов; 2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ ,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E₁ E₂ ,..., E_m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A₁ ,A₂ ,...,A_n необходимо:

• Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ

• Привести эту систему

-------------------------------------------------------------------------------------------- Ранг системы векторов - это количество линейно - независимых векторов в ней Как находить: Найдём : домножим сперва 1-ю строку на 20, 2-ю на 15, 3-ю на 12 : 60, 40, -80 60, 15, -30 60, 24, - 36 Вычитаем из 2-й и 3-й строки первую, получаем : 60, 40, -80 0, -25, 50 0, -16, -6 Сокращаем 1-ю строку на 20, 2-ю на 25, 3-ю на 2 3, 2, -4 0, -1, 2 0, -8, -3. Из 3-й строки вычитаем 8 вторых строк, получаем : 3, 2,-4 0,-1, 2 0, 0, -19. То есть, все строки в треугольной матрице - ненулевые, это означает, что вектора - линейно-независимые ( то есть ни один из векторов нельзя выразить как линейную комбинацию двух других ), а это означает, что ранг системы данных векторов равен 3.

19. Понятие векторного пространства ,евклидова пространства. Разложение вектора впо векторам его базиса. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

 n-мерным евклидовым векторным пространством называется векторное пространство в котором заданы операции сложения векторов, умножение вектора на число и скалярного умножения векторов, удовлетворяющие аксиомам групп I, II, III и группы IV.

 Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). 

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор. Так как оба вектораиколлинеарные одной и той жепрямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарностидвух векторов. Так как , то найдется (существует) такоечисло , чтои тем самым мы получили разложение векторапо базисувекторногопространства .

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базисувекторногопространства :

 и , где. Тогдаи используя закон дистрибутивности, получаем:

                      .

Так как , то из последнего равенства следует, что, ч.т.д.

20. Понятие ортогональной системы векторов, ортогонального базиса. Нахождение координат вектора в ортогональном базисе.

Базис евклидова пространства называетсяортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

 при 

Базис евклидова пространства называетсяортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице: Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

 Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором:(x,x) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e₁, e₂, ..., e_nпопарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированнойсистемой: (e_i, e_j) = 0, если i ≠ j ,(e_i, e_i) = 1.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированная система и x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этой системе, то x_i =(x, e_i).