Методичка. Неопределённый интеграл

Таким образом, подынтегральную функцию представим в виде

2x

5 6x3 1

1

1

2x

. Теперь, непосредственно

x4 3x2

3x2

3(x2

3)

интегрируя полученное разложение, находим

2x5 6x3 1

1 dx 1

dx

dx 3 xdx

x4 3x2

3

x2

3

x2 3

используем

1

1

x

2

табличные

x

arctg

C .

3x

3

3

3

интегралы 2,5,19

Вопросы для самопроверки.

1.Какую рациональную дробь называют правильной, неправильной?

2.Укажите какие из следующих рациональных дробей: x2 x 1 ,

x3 2

x2 1

,

x3

,

2x2 3x 1

являются правильными, а какие

x2 2

x2 x 2

1 2x 3x2

3.

– неправильными?

(2x 3)

Что соответствует

множителю

знаменателя дроби

x3 x2 x 1

в её разложении на простые дроби?

(2x 3)(x 4)2 (x2

x 2)

4.

Что соответствует

множителю

(x 4)2

знаменателя дроби

x3 x2 x 1

в её разложении на простые дроби?

(2x 3)(x 4)2 (x2

x 2)

5.

Что соответствует множителю

(x2 x 2)

знаменателя дроби

x3 x2 x 1

в её разложении на простые дроби?

(2x 3)(x 4)2 (x2

x 2)

Упражнения для самостоятельного решения.

Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:

51

2x 3

1 3x

x2 1

x2 5x 7

5.1 а)

б)

.

5.2 а)

б)

.

2x 1

x 3

x 1

x 3

x3 3x2 5x 7

x4 x3 x2 1

5.3 а)

б)

.

x2

2

x2

1

Записать разложение правильной дроби в виде суммы простых дробей с неопределёнными коэффициентами:

5.4 а)

1

x2 5x 4

5.5 а)

1

(x 1)(x2 5x 6)

x1

5.6а) (x2 1)(x2 9)

1

5.7 а) x3 2x2 x

5.8 а)

x

x3 1

x

б) x2 x 6 .

		15x2 4x 81
б)						.
	(x 3)(x2
			3x 4)
б)		x3			.
		(x2 1)(x2 2)
б)		x3 1		.
		x (x 2)	3

1

б) x5 x2 .

Найти интегралы от рациональных дробей:

5.9 а)

dx

б)

dx

.

(x 2)(x 1)

(x 5)(x 2)

5.10 а)

dx

б)

dx

.

(2x 3)(x 1)

(x 3)(x 4)

5.11 а)

xdx

. б)

xdx

.

(x 1)(2x 1)

(x 2)(x 3)

5.12 а)

dx

.

б)

(15x2 4x 81)dx

x (x 1)

2

(x 3)(x 1)(x 4)

5.13 а)

dx

.

б)

(x2

6x 18)dx

x

3

2x

2

(x 2)(x

2

2x 5)

x

52

5.14

xdx

Интеграл

равен

x2

2x 8

1

2

1

x 1

ln| x

2x 8|

arctg

C .

Тогда a ...?, b ...?

a

b

b

5.15

x2dx

Неопределённый

интеграл

равен

(x 1)(x 2)

a

b

x

ln| x 2|

ln | x

1|

C .

Тогда a ...?, b ...?

3

3

Ответы.

2

5.1

а) 1

2x 1

5.2

а) x 1

2

x 1

5.3

а) x 3

3x 1

x2 2

5.4

а)

A

B

x 4

x 1

5.5

а)

A

B

C

x 3

x 1

x 2

AB Cx D

5.6а) x 1 x 1 x2 9

5.7 а)	A		B		C
					(x 1)2
	x		x 1

ABx C

5.8а) x 1 x2 x 1

5.9а)1ln | x 2| 1ln | x 1|

33

5.10а)1ln | 2x 3| 1ln | x 5 5

б)

3

10

.

x 3

б) x 2

1

.

x 3

б) x2 x 2

x 3

1

A

B

x2

б)

x 3

x 2

б)

A

B

C

x 4

x 3

x 1

б)

Ax B

Cx D

x2 1

x2 2

б)

A

B

C

D

(x 2)2

(x 2)3

x x 2

б)

A

B

C

Dx E

x2 x 1

x x2

x 1

C б)1ln | x 5| 1ln | x 2| C 3 3

1| C

53

																	б)	1	ln | x 3|			1			ln | x 4| C
										1							7				7
5.11	а) ln | x 1|										ln | 2x 1| C
								2										2					3
																б)			ln | x 2|						ln | x 3| C
		1								x							5				5
5.12	а)				ln								C
									x 1
		x 1											б)3ln | x 3| 7ln | x 1| 5ln | x 4| C
				x					1				C
5.13	а) ln
			x 1						x 1
													3			2				1					x 1
			б) 2ln | x 2|												ln | x		2x 5|				arctg							C
																				2
													2												2
5.14	a 2, b 7. 5.15												a 4, b 1.

Практическое занятие 6. Интегрирование тригонометрических выражений.

Литература: [1] –C.285-287; [2] –C.212-214; [3] –C.175-176.

Краткиe сведения из теории. Рекомендации к решению задач.

Интегралы вида R(sin x,cosx)dx, где R(sin x,cosx) - рацио-

нальная функция относительно аргументов sin x и cosx, приво-

дятся к интегралам вида R1(t)dt , где R1(t) - рациональная функ-

ция относительно нового аргумента t , с помощью универсальной

		x
	тригонометрической подстановки	tg			t . При этом формула
			2

замены переменной будет иметь вид

54

tg(x

2) t

2t

1 t2

R(sinx,cosx)dx

R1(t)dt

sinx

1 t

2

,

cosx

1 t

2

t tg

x

2dt

2

dx

1 t2

Применение универсальной подстановки может иногда приводит к громоздким вычислениям, поэтому в некоторых случаях используют частные тригонометрические подстановки.

Если R( sinx,cosx) R(sinx,cosx) - нечётная функция относи-

тельно аргумента sinx , то применяют подстановку cosx t, при

	cosx t
этом: R(sinx,cosx)dx sinx		1 t2			R1(t)dt		.
			dt				t cosx
dx
		1 t		2
Если R(sinx, cosx) R(sinx,cosx)					- нечётная функция относи-

тельно аргумента cosx, то применяют подстановку sinx t , при

	sinx t
этом: R(sinx,cosx)dx cosx			1 t2
			dt
dx
			1 t		2

Если R( sinx, cosx) R(sinx,cosx)

R1(t)dt		.
		t sinx

- чётная функция относи-

тельно одновременно двух аргументов sinx и cosx, то применяют подстановку tgx t, при этом:

55

tgx t

t

1

R(sinx,cosx)dx

R1(t)dt

sin x

,

cosx

.

2

2

1 t

1 t

t tgx

dx

dt

2

1 t

Эту же подстановку применяют, если R(sinx,cosx) R1(tgx).

Если R(sinx,cosx) R1(ctgx),

то применяют подстановку ctgx t,

учитывая при этом, что dx

dt

.

1 x2

Интегралы вида

sin2m( x)cos2n ( x)dx , где m,n - целые неот-

рицательные числа, находят, понижая чётную степень тригонометрических функций с помощью формул:

sin2 x 1(1 cos2 x), cos2 x 1(1 cos2 x)

2

2

Интегралы

вида

sin( x) cos( x)dx,

sin( x) sin( x)dx,

cos( x) cos( x)dx

находят, преобразуя подынтегральную функ-

цию по формулам:

sin(a b) sin(a b)

sina cosb

,

2

sina sinb

cos(a b) cos(a b)

,

2

cosa cosb

cos(a b) cos(a b)

.

2

Примеры решения задач.

Пример 6.1 Найти интегралы:

а)

dx

dx

в) cos

3

xdx

г)

sin3 x

б)

dx.

sinx cosx

sin2 x 4cos2 x

cos4 x

Решение:

56

а) Подынтегральная функция R(sinx,cosx)	1	является
	sin x cosx

функцией общего вида относительно аргументов sinx и cosx, поэтому применим универсальную тригонометрическую подстановку

	x
	tg			t .	Получим
		2

tg(x

2) t

2dt

dx

2t

1 t2

1 t2

sinx

cosx

,

1 t

2

2

2t

1 t

2

sinx cosx

1 t

2dt

1 t

2

1 t

2

dx

1 t2

dt

выделим

dt

делаемзамену

2

2

полный

t 1 z t z 1

t

2

2t 1

(t

1)

2

2

квадрат

dt (z

1) dz dz

dz

dz

используем

z

2

1

2

2

табличный

2

ln

C

z

2

2

2

z

( 2)

z 2

2

2 2

интеграл

20

выполняем

1

t 1

2

1

tg(x 2) 1 2

обратные

ln

C

ln

C.

t 1

tg(x 2) 1

2

2

2

2

замены

б) Подынтегральная функция R(sinx,cosx)

1

явля-

sin2 x 4cos2 x

ется чётной функцией относительно одновременно двух аргументов sinx и cosx, поэтому применим частную тригонометрическую подстановку tgx t. Получим

57

tgx t

dt

dx

t2

1

2

2

1 t2

sin

x

,

cos

x

sin

2

x 4cos

2

1 t

2

2

t

2

4

x

1 t

dt

1 t

2

1 t

2

dx

1 t2

dt

dt

используем

1

t

табличный

arctg

C

t

2

t

2

2

2

2

2

4

интеграл19

выполняем

1

tgx

обратную

arctg

C .

2

2

замену

в) Подынтегральная функция R(sinx,cosx) cos3 x является нечётной функцией относительно аргумента cosx, поэтому применим частную тригонометрическую подстановку sinx t . Получим

sinx t

3

dt

2

cos3 xdx cosx

1 t2

1 t2

1 t2

dt

1 t

2

dt

dx

1 t

2

t3

выполняем

sin3 x

(1 t

2

)dt t

C

обратную

sinx

C .

3

3

замену

г) Подынтегральная функция R(sinx,cosx)

sin3

x

является не-

cos4

x

чётной функцией относительно аргумента sinx , поэтому применим частную тригонометрическую подстановку cosx t. Получим

58

cosx

t

sin3 x

(

1 t2 )3

dt

1 t2

2

dx sinx

1 t

dt

cos

4

x

t

4

1 t

2

t

4

dt

dx

1 t

2

1

1

2

4

t 1

t 3

1 1

dt

t

dt t

dt

C

C

2

t

4

1

( 3)

3t

3

t

t

выполняем

1

1

обратную

C.

3cos3

x

cosx

замену

Пример 6.2 Найти интегралы:

а)

4 x

б)

sin(2x) cos(3x)dx.

sin

dx

2

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулы понижения чётной степени. Получим

	4 x			1 cosx 2				1	(1 2cosx cos	2	x)
sin
		2			2			4

										1													1 cos2x						3						1					1
														1 2cosx																						cosx						cos2x.
																							2						8						2
										4																														8
					4 x										3		1						1						3						1
Тогда				sin			dx												cosx						cos2x	dx									dx					cosxdx
															8		2						8
						2																							8						2
	1	cos2xdx						3	x	1		sinx							1		1	sin(2x) C						3x						sinx					sin(2x)				C
8						8				2							8			2								8							2					16

.

б) Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу

sina cosb sin(a b) sin(a b) . 2

Получим

sin2x cos3x	sin(2x 3x) sin(2x 3x)		1	sinx	1	sin5x .
2		2		2

59

											1				1
Тогда				sin(2x) cos(3x)dx											sinx
											2				2
	1	sin5xdx			1	( cosx)		1				1		( cos5x)
2				2			2				5

Вопросы для самопроверки.

		1
	sin5x dx			sinxdx
		2

C cosx cos5x C . 2 10

1.Какую тригонометрическую подстановку называют универсальной? В каких случаях её применяют? Какие преобразования при этом выполняют?

2.В каких случаях целесообразно применять тригонометрическую подстановку sinx t ? Какие преобразования при этом выполняют?

3.В каких случаях целесообразно применять тригонометрическую подстановку cosx t? Какие преобразования при этом выполняют?

4.В каких случаях целесообразно применять тригонометрическую подстановку tgx t? Какие преобразования при этом выполняют?

5.В каких случаях целесообразно применять тригонометрическую подстановку ctgx t? Какие преобразования при этом выполняют?

Упражнения для самостоятельного решения.

Найти следующие интегралы от тригонометрических выражений:

	6.1	а)	cosx			dx
			1 cosx
	6.2	а) sin2			xcos3 xdx
	6.3	а)			cosxdx
			1 cosx sinx
	6.4	а)		dx
			sin	2			4	x
					xcos
	6.5	а) sin3			xdx

б) 3 5cosdx x б) 2 dxsin2 x

(1 sinx)dx б) cosx(1 cosx)

б) sin3 x dx cos7 x

б) sinxcos3 xdx

60