3x − y	= 5,
1.3.9.		= −1,
	x + y
	x + y + z = 0.

	x + y + z = 0,
1.3.10.			= 5,
	2x − y
		6x − y	=11.

Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

x − 2 y − z =1,

1.3.11. x + 3y + z = 2,

x − 4 y − 2z = −1.

x − 2 y − z =1,

1.3.14. 2x + y + 2z = 5,

x − 7 y − 5z = −2.

x + 3y − 2z =8,

1.3.12.4x + 5y − z =11,2x − y + 5z = −7.

3x − y − z =1,x + 2 y + z = 2,

3x −8y − 5z = 3.1.3.15.

2x − y − z = 4,

1.3.13.3x + 4 y − 2z =11,

3x − 2 y + z =8.

x − 2 y + 3z = 6,

2x − 3y + z = −1,

1.3.16.

3x + y − 2z = −1,4x + 2 y − 3z = −1.

Тема 2. Векторная алгебра

2.1.Векторы. Линейные операции над векторами.

2.1.1.Типовые примеры

Пример 2.1.1. Для заданных векторов a,b	(РИС.		b
2.1.1)построить векторы 2a + b, a − 1 b .
2
Решение. Используя определения линейных пре-			а
образований над векторами, получим (рис. 2.1.2)			рис. 2.1.1
2а+b	1 b	а−	1
b			2b
	2
2а	а
РИС. 2.1.2

Пример 2.1.2. Даны точки А(1,1,1), B(2,−1,1), C(−2,0,−1) . Найти вектор

2 АB − 3 АC и его модуль.

15

Решение.
AB = (1,−2,0) 2AB = (2,−4,0)
AC = (−3,−1,−2) 3AC = (−9,−3,−6)

2AB − 3AC = (2 + 9, − 4 + 3, 0 + 6) = (11,−1,6) ,

2AB − 3AC

=

112 + (−1)2 + 62 = 158 .

Пример 2.1.3. Дан вектор

a = 3i − 4 j − k . Найти:

1)

модуль вектора; 2)

направляющие косинусы вектора; 3)орт вектора.

Решение. Запишем вектор a в координатах a = (3,−4,−1).

1) Найдем модуль вектора

a

=

9 +16 +1 =

26 ;

2) найдем направляющие косинусы вектора

cosα =

3

,

cosβ = −

4

, cos γ = −

1

;

26

26

26

3) запишем орт вектора, координатами которого являются направляющие

косинусы

a

0

3

;

−4

;

−1

=

.

26

26

26

Пример 2.1.4. Найти координаты точки М , делящей отрезок АB в отно-

шении 2:3, где А(4,−3,0), B(9,8,5) .
Решение. Так как							АM		= 2	= λ, то получим
							MB
									3
4		+	2		9							−3 +	2			8				0		+	2		5
													3										3
x =		3						=	6, y	M	=						=1,	z	M	=							= 2.
M		1 +		2							1 +			2								1 +		2
													3
		3																					3

Итак, М(6,1,2) .

2.1.2.Контрольные вопросы

1)Как найти сумму векторов по правилу треугольника, параллелограмма?

2)Как построить произведение вектора на число?

3)Как построить разность двух векторов?

16

4)Что называется проекцией вектора на ось?

5)Что составляет базис в декартовой прямоугольной системе координат?

6)Как записать разложение вектора по базису?

7)Что называется координатами вектора?

8)Как записать линейные операции над векторами в координатах?

9)Как найти модуль, направляющие косинусы, орт вектора, заданного в координатах?

10)Запишите координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

2.1.3.Практические задания

2.1.1.В треугольнике АВС даны стороны AB = a, BC = b, CA = c. Выразить че-

рез a, b, c медианы треугольника.

2.1.2. Даны векторы a = (−2,1,−1), b = (0,3,−4).

Найти: 1) a + b , a − b, 2a;

2)2a − 3b;

3)a , направляющие косинусы вектора a, орт a0.

2.1.3.Даны точки A(1,0,−2), B(0,−1,3), C(−2,−1,1) .

Найти: 1) AB, AC, 2 AB − 4 AC;

2)AB , AC ;

3)направляющие косинусы вектора AB .

2.1.4.Доказать, что точки A(1,0,−2), B(0,−1,3), C(−2,−1,1) , D(−1,0,−4) являются

вершинами параллелограмма. Найти длины сторон и диагоналей этого параллелограмма.

2.1.5. Дан треугольник с вершинами A(−2,0,2), B(4,−2,3), C(0,2,3) .

Найти: 1) длины сторон треугольника;

2)координаты точки М - середины стороны ВС;

3)вектор AM и длину медианы АМ.

2.1.6.Найти координаты точек M, N, делящих отрезок АВ с концами

A(−1,0,4), B(5,12,−2) на три равные части.

17