- •3. Різні форми запису системи лінійних рівнянь
- •4. Ранг матриці
- •5. Критерій сумісності та визначеності системи лінійних рівнянь
- •6. Фундаментальна система розв’язків лінійної однорідної системи рівнянь
- •7. Зв’язок між розв’язками неоднорідної й зведеної однорідної системи лінійних рівнянь
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •8. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом
- •§ 6. Визначники
- •Визначники другого і третього порядку. Правило Крамера
- •2. Перестановки, підстановки та інверсії
§ 6. Визначники
Визначники другого і третього порядку. Правило Крамера
Нехай дано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими
(1)
Нехай . Розв’яжемо систему (1) методом Гауса. Від другого рівняння системи (1) віднімемо перше її рівняння, помножене на . Дістанемо ступінчасту систему
(2)
еквівалентну системі (1). Якщо , а то друге рівняння системи (2) є рівняння вигляду , і отже, система (1) несумісна. Якщо і , то друге рівняння системи (2) є рівнянням вигляду і тому система (1) визначена. Якщо ж , то система (1) визначена. Тоді з другого рівняння системи (2) дістанемо
, (3)
а з першого – .
(3) – єдиний розв’язок системи (1).
Розглянемо матрицю системи (1)
. (4)
Вираз, що є знаменникам в формулах (3) утворюється з елементів матриці (4) за правилом: береться добуток елементів головної діагоналі і віднімається від нього добуток елементів другої діагоналі матриці.
Означення 1. Визначником матриці другого порядку називається число .
Визначник матриці (4) позначають
або (5)
Наприклад,
Треба відрізняти матрицю (4) від її визначника (5): матриця – це таблиця, а її визначник є число.
Зауважимо, що у формулах (3) чисельники також є визначниками другого порядку.
, .
Їх знаходимо з визначника (5) заміною відповідно першого і другого його стовпця вільних членів системи (1). Враховуючи це, формули (3) можна записати так:
, .
Отже, довели таку теорему.
Теорема 1. Якщо визначник матриці системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими відмінний від нуля, то система (1) має розв’язок і притому тільки один. Цей єдиний розв’язок задається формулами
, , (6)
де і є визначники, добуті з визначника заміною відповідно першого і другого його стовпців з вільних членів системи (1).
Теорему 1 називають правилом Крамера, а формули (6) – формулами Крамера.
Розглянемо систему лінійних рівнянь
(7)
Складемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих
. (8)
Якщо ми помножимо обидві частини першого із рівнянь системи (7) на число , обидві частини другого рівняння на , третього – на і потім складемо все три рівняння то, як легко перевірити, коефіцієнти при і будуть рівними нулю, тобто ці невідомі виключаються, і ми отримаємо рівність
(9)
Коефіцієнт при в цій рівності називається визначником або детермінантом матриці (8).
Означення 2. Визначником матриці третього порядку називається число
Вираз, визначника матриці третього порядку досить громіздкий. Правило складання його таке: Перший член визначника є добутком елементів головної діагоналі, два інші із знаком плюс – добутком елементів розміщених на паралелі до цієї діагоналі з приєднанням третього множника з протилежного кута матриці. Члени із знаком мінус утворюються аналогічно з елементів, розміщених на другій діагоналі і на паралелях до неї. Правило обчислення додатних і від’ємних членів визначника третього порядку можна подати схематично (рис 7).
Приклад.
(Рис. 7)
Права частина рівності (9) також є визначник третього порядку – визначник матриці, яку дістанемо з матриці (8) замінимо її першого стовпця стовпцем із вільних членів системи (7).
.
Аналогічно, помноживши (7) відповідно на числа , , , знайдемо .
Нарешті, помноживши (7) відповідно на , , дістанемо .
Теорема 2. (правило Крамера). Якщо визначник матриці системи (7) трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими відмінними від нуля, то система (7) має єдиний розв’язок. Цей розв’язок задається формулами
, , . (10)
де – визначник, яких дістанемо з визначника заміню його -го стовпця стовпцем з вільних членів системи (7).
Приклад. Розв’язати систему
Обчислюємо визначник з коефіцієнтів системи
Оскільки , то система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера (10).
Обчислюємо визначник :
Отже, ,