Змістовий модуль 3: оцінювання параметрів економетричних моделей

3.1. Оцінювання параметрів рівнянь регресії

3.1.1. Мета і вимоги до оцінювання параметрів

У попередніх розділах, розглядаючи наскрізний приклад, ми зробили припущення про лінійну залежність рентабельності витрат (Р) від енергоозброєності праці (Е) і коефіцієнта постійності складу промислово – виробничного персоналу (К):

Р = _о +₁Е + ₂К + ε,

де _о, ₁, ₂ – невідомі параметри рівняння регресії, що оцінюються, ε – випадкова величина, яка характеризує вплив на рентабельність усіх інших неврахованих факторів.

Оцінювання, тобто визначення кількісних значень цих параметрів рівняння регресії і випадкової складової _о, ₁, ₂ і ε, повинно забезпечити отримання незміщених, обґрунтованих і ефективних оцінок.

Оцінка параметра , тобтоназиваєтьсянезміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює значенню параметра, який оцінюється, тобто Е = _.

Оцінка параметра називаєтьсяобгрунтованою, якщо при збільшенні кількості спостережень (об’єму вибірки) її значення наближається до параметра, що оцінюється, тобто (при n → N) → ._.

Оцінки параметрів називаютьсяефективними, якщо дисперсія D_e має найменше значення (зауважимо, що е_j = y_j - ŷ_j ). Ця вимога означає, що відхилення точок поля (простору) кореляції від лінії (поверхні) регресії повинні бути найменшими, тобто ∑ е_j² → min.

Перелічені вимоги до оцінювання параметрів рівнянь регресії (у нашому прикладі це оцінки _о, ₁, ₂ і е), мають дуже важливе значення в економетричному моделюванні. Тільки при виконанні вказаних вимог можна побудувати якісну економетричну модель.

3.1.2. Основні припущення щодо оцінювання параметрів

Економетричне моделювання методами класичного кореляційно – регресійного аналізу засноване на ряді наведених нижче припущень. Вони стосуються майже всіх етапів моделювання, а саме: ідентифікації змінних; формування матриці вихідних даних про змінні; специфікації форми рівнянь регресії; вибору методу оцінювання параметрів. Розглянемо ці припущення.

1. Зв’язок між змінними y і x_i описується залежністю лінійної форми

y = _о + ₁ x₁ + ₂ x₂ + … + _m x_m + ε.

Якщо за економичною теорією лінійна форма неприйнятна, обгрунтовують вибір адекватної квазілінійної або суттєво нелінійної форми зв’язку, але такої, яка шляхом перетворення приводиться до лінійної (див. підрозділ 2.2.4).

2. Для будь – яких значень x_i математичне сподівання випадкової величини ε дорівнюе нулю, тобто Е(ε)= 0. Це припущення стверджуе, що вплив усіх факторів, які не враховані в моделі і тому іх віднесено до ε, має випадковий, а не системний характер на математичне сподівання y, тобто додатні значення ε компенсують від’ємні ε і тому їхній усереднений чи очікуваний вплив на y дорівнює нулю. З цього випливає, що математичне сподівання y дорівнює ŷ = _о + ₁ x₁ + ₂ x₂ + … + _m x_m.

3. Дисперсія випадкової величини є постійною для всіх значень x_i, тобто D_ε= const. Це припущення означає незалежність дисперсії D_ε від значень x_i, яка називається гомоскедастичністю. Випадок, коли умова гомоскедастичності не виконується, називається гетероскедастичністю.

4. Значення випадкової величини ε є незалежними, не корелюють між собою, тобто r_εiεj = 0 (i ≠ j). Це припущення вказує на некорельованість залишків ε_j для різних спостережень. Воно часто порушується у випадках, коли дані спостережень є часовими рядами і тоді . Це явище називаєтьсяавтокореляцією залишків, у простих випадках автокореляції першого порядку її наявність підтверджується тим, що r_εjεj-1 ≠ 0.

5. Випадкова величина ε разноділена за нормальним законом з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, тобто Е(ε)= 0, і дисперсією D_ε або σ_ε².

Це припущення вимагає, щоб залишки були разподілені за нормальним законом. Воно є необхідним в подальшому для побудови інтервалів довіри для параметрів лінійної регресійної моделі.

6. Випадкова величина ε і змінні x_i не корелюють між собою, тобто r_εхi=0. Це припущення виконується автоматично, коли змінні x_i є детермінованими величинами, що ми і будемо припускати далі.

7. Незалежні зміні не корелюють між собою, тобто = 0 (i ≠ j), принаймні сила їх попарних зв’язків невисока порівняно з . Це припущення вимагає, щоби вплив кожного окремогоx_i на y був достатьо автономним, незалежним. Порушення цієї вимоги породжує проблему мультиколінеарності факторів, яку ми уже розглядали в розділі 2.1.5.

Відомо, що коли наведені припущення виконуються, то оцінки _о,, ₁,…, _m параметрів _о,, ₁,…, _m можна отримати класичним методом найменших квадратів і вони будуть незміщеними, обгрунтованими і ефективними, тобто найкращими BLUE – оцінками.