- •Рабочая программа
- •Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Литература
- •Конспект лекций
- •Понятие множества и операции над множествами
- •Числовые множества
- •Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •Функция одной независимой переменной
- •Основные элементарные функции. Сложная функция
- •Предел и непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной
- •Приложения производной
- •Правило Лопиталя
- •Исследование функций и построение графиков
- •Неопределенный интеграл
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Определенный интеграл и его приложения
- •Дифференциальные уравнения
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контроль знаний
- •Контрольная работа №1
- •Контрольная работа №2
- •Контрольные вопросы к зачету
- •Контрольные вопросы к экзамену
- •Глоссарий
Примеры для самостоятельного решения
Найти следующие пределы:
6.1. lim |
sin 7x |
4 |
x −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
6.6. lim |
|
|
||||
3x |
|
|
|||||||||
x→0 |
x→1 3 |
x −1 |
|||||||||
6.2. lim |
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6.7. lim ( |
x 2 + x +1 − x 2 − x ) |
||||||||
sin 8x |
|||||||||||
x→0 |
x→∞ |
|
|
||||||||
6.3. lim tgx |
6.8. lim(1 + 2x) x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
|
|
|||||
6.4. lim |
7x2 −16x −15 |
6.9. lim ( sin x)tgx |
|||||||||
|
|
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|||
2x2 5x −3 |
|
|
|||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|||||||||
6.5. lim |
x + 3 − 2 x +1 |
6.10. lim xsin x |
|||||||||
|
x2 − 9 |
x→0 |
|
|
|||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
2.7. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной
Понятие производной функции
Производной функцией f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при ∆x → 0 (если этот
предел существует). Символически это записывают так: |
′ |
∆ y |
или |
||||||||
|
|||||||||||
f (x0 ) = lim |
∆ x |
||||||||||
|
f(x0 + ∆ x) − f(x0 |
) |
|
|
|
|
|
|
∆ x→0 |
|
|
′ |
. |
Кроме этой записи производной существует еще |
|||||||||
f (x0 ) = lim |
|
|
|||||||||
∆ x |
|
||||||||||
∆ x→0 |
|
|
dy |
|
df(x) |
|
|
|
|
||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|||
несколько обозначений: |
|
y , |
|
, |
|
|
. Иногда в обозначении производной ис- |
||||
|
dx |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользуют индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например y′x (производная взята по переменной x). Нахождение производной
функции называется дифференцированием этой функции.
Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Имеется теорема, устанавливающая зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке: Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема неверна: функция может быть непрерывной в точке x0 и, тем не менее, в этой точке не иметь производной. Так, например, функция
y = |
|
x |
|
непрерывна в точке x=0, так как lim |
|
x |
|
= 0 , но y′ = lim |
∆ y |
= lim |
|
|
x + ∆ x |
|
− |
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∆ x |
|
|
∆ x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
∆ x→0 |
∆ x→0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
при x=0 не существует, так как отношение |
|
|
|
равно 1 при ∆ x > 0 |
|
|
и –1 при |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆x
∆ x < 0 , т.е. не имеет предела при ∆ x → 0 .
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется
дифференцируемой на этом промежутке.
32
Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в некоторой точке x0 , исходя из определения, необходимо:
1)значению аргумента x в точке x0 дать некоторое приращение ∆x и найти соответствующие приращение функции ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) ;
2)составить отношение приращения функции к приращению аргумента ∆∆yx ;
3)вычислить предел отношения при ∆x → 0 , если он существует.
Примеры
|
1. Исходя из определения производной, найти производную y = |
x . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∆ Находим |
приращение |
|
|
|
функции: |
|
∆y = |
x + ∆x − |
x . |
|
|
|
Отсюда |
|||||||||||||||||
∆y |
= x + ∆x − x |
и lim |
∆y |
= lim |
x + ∆x − |
x . Вычисляя предел, имеем |
|
|
|||||||||||||||||||||||
∆x |
|
∆x |
|
∆x→0 |
∆x |
|
|
∆x→0 |
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′ = lim |
( x + ∆x − x )( |
x + ∆x + |
|
x ) = lim |
x + ∆x − x |
= lim |
x |
1 |
|
|
|
|
= |
1 |
|||||||||||||||||
|
∆x→0 |
|
∆x( x + ∆x + x ) |
|
|
|
∆x→0 |
∆x( x + ∆x + x ) |
|
∆x→0 |
+ ∆x + |
x |
2 x |
||||||||||||||||||
|
2. Исходя из определения производной, найти производную y = |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
∆ Находим приращение функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆y = |
|
1 |
|
− |
1 |
= |
x − x − ∆x |
|
= − |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x + ∆x |
x |
x(x + ∆x) |
x(x + ∆x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y ′ = |
lim |
∆y = |
|
lim (− |
|
|
|
∆x |
|
) |
|
= − lim |
|
1 |
|
|
= − |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
Отсюда |
|
|
∆x( x + ∆x) x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∆x →0 |
∆x |
∆x →0 |
|
|
|
|
∆x →0 ( x + ∆x) x |
|
|
|
|
Геометрически производная функции f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке М(x0;f(x0)).
у
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x0 ) = tgϕ |
|
|
|
|
|
M |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y=f(x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ϕ0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
х |
|
Физический смысл производной
Пусть функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой, т. е. y = f (x) – путь, пройденный точкой от начала движения за время t. За промежуток времени ∆t = t −t0 точка М пройдет отрезок пути ∆y = f (t0 +∆t) − f (t0 ) .
Отношение ∆∆yt называется средней скоростью движения (Vcр.) за время ∆t ,
предел отношения ∆∆yt при ∆t → 0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени t0 (Vмгн.).
33
Правила дифференцирования
1)Производная постоянной равна нулю, т.е. c′ = 0 .
Вдальнейшем будем полагать, что u(x) = u , v = v(x) – функции, имеющие
производные. Тогда справедливы следующие формулы:
2)(u ± v)′ = u′± v′;
3)(u ×v)′ = u′v − v′u ;
4)(cu)′ = cu′;
5)u = u′v −2 uv′ ;v v
6) |
Если y = f (u) , u = u(x) , т.е. y = f (u(x)) , где функции f (u) и u(x) |
имеют про- |
|
изводные, то y′x = y′u ×u′x (правило дифференцирования сложной функции). |
|||
7) |
Если x =ϕ( y) является обратной к функции y = f (x) , то x′y = |
1 |
(правило |
yx/
дифференцирования обратной функции).
Производные основных элементарных функций
1. |
(xa )′ = axa−1 (a – любое число), в частности |
|
||||||||||||||||||
|
1 ′ |
−1 |
|
|
−2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
; ( x)′ = (x 2 )′ = |
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
= (x |
|
|
) = −x |
|
= − |
|
|
2 |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(loga x)′ = |
1 |
loga |
e = |
1 |
|
|
|
(ln x)′ |
= |
||||||||||
2. |
|
x ln a , в частности |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.(a x )′ = a x ln a , в частности (e x )′ = e x
4.(sin x)′ = cos x
5.(cos x)′ = −sin x
1
cos2 x
7.(ctgx)′ = − sin12 x
8. |
(arcsin x)′ = |
1 |
|
1 − x2 |
|
9. |
(arccos x)′ = − |
1 |
1 − x2
10.(arctgx)′ = 1 +1x2
11.(arcctgx)′ = −1 +1x2
1
2 x
1 x .
Примеры применения формул и правил дифференцирования для нахождения производных различных функций
1. Найти производную функции.
f (x) = x3 + 7x + sin x −tgx + log3 x −3ln x + arctgx
34
∆ Заданная функция есть алгебраическая сумма нескольких функций. Применим правило (2) и формулы производных элементарных функций, тогда получим:
f ′(x) = (x3 )′ + (7x)′ + (sin x)′ − (tgx)′ + (log3 x)′ − (3ln x)′ + (arctgx)′ =
=3x2 +7 +cos x − cos12 x + ln 31×x − x3 +1+1x2
2.Найти производную функции f (x) = x x (3ln x − 2)
∆ Перепишем заданную функцию в виде f (x) = x 32 (3ln x − 2) . Применяя правило (3), будем иметь:
f '(x) =(x 32 )'(3ln x −2) +x |
32 (3ln x −2)'= |
3 |
x 12 |
(3ln x −2) +x 32 |
× |
3 |
= |
||||||
2 |
x |
||||||||||||
=3x 12 + |
9 |
x 12 |
ln x −3x 12 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|||
= |
x ln x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную функции f (x) = x2 −1 .
x2 +1
∆ Для вычисления производной заданной функции используем правило (5), тогда:
|
f '( x) = |
( x2 |
−1)'( x2 +1) −( x2 −1)( x2 +1)' |
= |
2x( x2 +1) − |
( x2 − |
1)2x |
|
= |
|
|
|
|
4x |
|
||||||||||
|
|
|
|
( x2 +1)2 |
|
|
( x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
( x +1)2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
4. Вычислить производные сложных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y = earctgx |
|
|
|
|
|
|
|
д) |
y = arcsin |
|
2x2 |
|
, где |
|
|
x |
|
<1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) y = tg 2 ( x2 +1) |
|
|
|
|
|
1 + x4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
y = (2x2 |
+5)4 |
|
|
|
|
|
|
е) |
y = |
sin x |
|
+ ln |
1+cos x |
|
|
|
|
|||||||
г) |
y = ln(x + x2 |
|
+1) |
|
|
|
cos2 x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∆ а) Данную функцию представим в виде eu , где u = arctgx . Тогда по пра- |
||||||||||||||||||||||||
вилу (6): |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
= e |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y (x) = y |
(u)u |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Заменив u на arctgx , окончательно получим y′(x) = earctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 + x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Данную функцию представим в виде y = u 2 , где u = tgv , a v = x2 . По правилу 6) имеем:
′ |
′ |
′ |
′ |
|
2 |
′ |
′ |
2 |
|
′ |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
+1) |
= 2u × cos2 |
v ×2x = 2tg(x |
|
+1) cos(x 2 +1) |
× 2x |
= |
||||||||||
y (x) = y (u)u (v)v (x) = (u |
|
) (tgv) (x |
|
|
|||||||||||||||
= 4xtg(x |
2 |
+1) × |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 (x 2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разумеется, нет необходимости в таких подробных записях. Обычно результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.
в) y' = 4(2x3 |
+ 5)3 × 6x 2 = 24x 2 (2x3 + 5)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) y' = |
1 |
(x + x2 +1)' = |
1 |
(1+ 2x |
) = = |
+ |
1 |
2 + |
× x2 +1+x |
= 1 |
+ |
|||
|
x + x2 +1 |
x + x2 +1 |
2 x2 +1 |
x |
x |
x |
2 |
+ |
x |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
35
|
|
д) y′ = |
|
|
1 |
|
|
× |
|
2x |
2 |
′ |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
× |
(1 + x 4 )4x − |
2x 2 × 4x |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
2x 2 |
|
2 |
|
1 + x 4 |
|
|
|
|
1 − |
2x 2 |
|
|
|
|
(1 + x |
4 ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
× 4x(1−x4 ) |
= |
|
4x(1−x4 ) |
|
= |
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−2x4 +x8 |
1+x4 |
|
|
(1 |
−x4 )(1+ x4 ) |
|
1 |
+x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
е) |
Преобразуем данную функцию |
y = |
|
sin x |
|
+ ln(1 +sin x) −ln cos x , используя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
свойство логарифма, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
′ |
= |
|
cos2 x ×cos x |
−sin x ×2cos(−sin x) |
+ |
|
|
1 |
|
|
cos x − |
|
1 |
|
(−sin x) = |
|
cos2 x + 2sin 2 x |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
1+sin x |
cos x |
|
|
|
cos3 x |
|
||||||||||||||||||||||||||
+ |
cos x(1 −sin x) |
+ |
sin x |
= |
cos2 |
x + 2sin |
2 x |
+ |
1−sin x |
+ |
sin x |
= |
cos2 |
x + 2sin 2 |
|
x |
+ |
1 |
|
= |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
−sin 2 x |
cos x |
|
|
cos3 |
x |
|
|
|
cos x |
|
cos x |
|
|
|
cos3 x |
|
|
cos x |
cos3 x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
5. Найти производную степенно-показательной функции y = f (x)ϕ( x) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∆ Найдем ln y =ϕ(x) ln f (x) . По правилу дифференцирования сложной функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ϕ(x) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
=ϕ (x) ln f (x) +ϕ(x)[ln f (x)] =ϕ |
(x) ln f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что y = f (x)ϕ( x) , получаем следующую формулу для производной показательно-степенной функции:
y |
′ |
= |
f (x) |
ϕ( x) |
′ |
f (x) |
|
ϕ |
(x) ln |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим по этой в) y = (cos x)sin x .
|
′ |
|
|
+ϕ(x) |
f (x) |
|
|
f (x) |
|||
|
|
||
формуле |
производные: а) y = x x ; б) y = xsin x ; |
а) Здесь f (x) = x и ϕ(x) = x , поэтому y′ = x x 1×ln x + x × |
1 |
= x x (ln x +1) ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
б) |
f (x) = x , ϕ(x) = sin x , y′ = x |
cos x ln x +sin x × |
|
; |
|
|
||
|
|
sin x |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
sin x |
|
|
(−sin x) |
||
в) |
f (x) = cos x , ϕ(x) = sin x , y′ |
= (cos x) |
cos x ln cos x + sin× |
|
. |
|||
cos x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения
Найти производные следующих функций:
7.1.y = 4 x3 + x52 −sin x + 2
7.2.y = 410x − 5 6x
7.3.y = 2x −sin 2x
7.4.y = 5 x arctg x
7.5.y = 21 tg 2 x + ln cos x
7.6. y = arccos 9 − x2 9 + x2
7.7.y = tg2x + 23 tg 3 2x + 15 tg 5 2x
7.8.y = xln x
7.9.y = x 1x
7.10.y = x2 x x2 ln x
36
Понятие дифференциала функции
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной и обозначается
dy=f΄(x)∆x
Если у = х, то по этой формуле dy=dx=x´∆x=∆x
Поэтому дифференциал функции можно записать в виде dy=f΄(x)dx
Свойства дифференциала
Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной.
1.dc = 0
2.d(cu) = cdu
3.d(u ± v) = du ± dv
4.d (uv)= udv + vdu
5.d(u/v) = vdu −udv
v2
Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим функцию y = f(u), где аргумент u = φ(x) сам является функцией от х, то есть рассмотрим сложную функцию y = f(φ(x)). Если функции y = f(u) и u = φ(x) дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна y' = f 'u(u)u'x. Тогда дифференциал функции
dy = f '(x)dx = f 'u(u)u'xdx = f '(u)du , так как u'xdx = du. Итак dy = f 'udu.
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от независимой переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (то есть неизменности формы дифференциала).
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Если приращение ∆x аргумента мало по абсолютной величине, то ∆y≈dy и f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x.
Это приближенное равенство позволяет вычислить функцию в точке х+∆x по известным ее значению и значению ее производной в точке х.
Абсолютная погрешность приближенного значения:
∆=|fтабл – fприбл|,
а относительная погрешность вычисляется по формуле:
δ = |
f табл − f прибл 100 0 0 , где fтабл – табличное значение функции. |
|
f прибл |
Примеры
1. Вычислить приближенно значение функции sin32°.
∆ Здесь f(x) = sin x , f '(x) = cos x , x=π/6, ∆x=π/90.
|
π |
+ |
π |
≈ sin |
π |
+ cos |
π |
× |
π |
= 0,5 |
+ |
3 |
× 0,0349 |
= 0,5302 . |
Тогда sin |
6 |
|
6 |
6 |
90 |
2 |
||||||||
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
37