- •1. Рабочая программа
- •1.1. Пояснительная записка
- •1.2. Тематический план
- •2. Конспект лекций
- •Раздел I. Случайные события и их вероятности
- •Тема 1. Вводные замечания
- •Тема 2. Испытания и события
- •Тема 3. Виды случайных событий
- •Тема 4. Понятие вероятности
- •Тема 5. Связь понятия вероятности с функциями
- •Тема 6. Элементы комбинаторики
- •Тема 7. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
- •Тема 8. Сумма и произведение событий
- •Тема 10. Теорема умножения вероятностей
- •Тема 12. Формула полной вероятности и формула Бейеса
- •Раздел III. Повторение испытаний
- •Тема 13. Схема Бернулли
- •Тема 14. Локальная теорема Лапласа
- •Тема 15. Интегральная теорема Лапласа
- •Раздел IV. Дискретные случайные величины
- •Тема 16. Понятие случайной величины
- •Тема 20. Биномиальное распределение
- •Тема 21. Предельные случаи биномиального распределения
- •Тема 22. Распределение Пуассона
- •Раздел V. Непрерывные случайные величины
- •Тема 25. Равномерное распределение
- •Тема 26. Нормальное распределение
- •Тема 27. Свойства нормального распределения
- •3. Контроль знаний
- •4. Глоссарий
- •5. Литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
4. ГЛОССАРИЙ
Биномиальное распределение – закон распределения числа успехов в схеме Бернулли.
Вероятность события – отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных событий к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий, образующих полную группу.
Дискретная случайная величина – случайная величина, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Дисперсия случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Достоверное событие – событие, обязательно происходящее в испытании.
Закон распределения случайной величины Х – соотношение, устанавли-
вающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Испытание – любой опыт, который можно выполнить над исследуемым объектом сколько угодно раз при одинаковых условиях.
Математическое ожидание дискретной случайной величины – сумма про-
изведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины – это сле-
дующий интеграл:
M ( X ) = +∫∞xf (x)dx ,
−∞
где f (x) – плотность распределения.
Многоугольник распределения – графическое изображение закона распределения дискретной случайной величины.
Невозможное событие – событие, которое никогда не может произойти в испытании.
Непрерывная случайная величина – случайная величина, множество возможных значений которой целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.
Несовместные события – события, которые не могут произойти одновременно.
Нормальное распределение – распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, которое описывается плотностью f (x) = σ 12π e−(x2−σa2)2 .
Перестановки – комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Полная группа – несколько событий, отвечающих условию, что в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.
86
Произведение событий – событие, которое состоит в совместном наступлении умножаемых событий.
Противоположные события – два единственно возможных события, образующих полную группу.
Равномерное распределение – распределение непрерывной случайной величины, плотность которой равна постоянному значению на интервале, включающем все возможные значения случайной величины.
Размещения – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Распределение Пуассона – закон распределения, согласно которому вероятность того, что она примет определенное значение m , выражается формулой:
P(k) = |
λk |
e |
−λ |
( k = 0,1,...), |
k! |
|
|||
|
|
|
|
где λ – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Ряд распределения – табличное представление закона распределения дискретной случайной величины.
Случайная величина – переменная величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
Событие – любой результат испытания.
Событие, независимое от события B – событие, вероятность которого не зависит от того, произошло событие B или нет.
Сочетания – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Стандартное нормальное распределение – нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным средним квадратическим отклонением.
Сумма событий – такое событие, которое означает наступление хотя бы одного из суммируемых событий.
Схема Бернулли – производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти либо не произойти. Рассматриваются вероятности того, что при n испытаниях событие A произойдет ровно k раз, не произойдет ровно n − k раз.
Условная вероятность PB ( A) – вероятность события A при условии, что произошло событие B .
Функция распределения случайной величины Х – функция F (x) , значе-
ния которой равны вероятности того, что значение случайной величины X удовлетворяет неравенству X < x .
Элементарное событие – событие, однозначно определяющее исход испытания.
87
5. ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2003. – 688 c.
Дополнительная:
1.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2001.
2.Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. – М: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. – 254с.
3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш.шк., 2004. – 479 с.
4.Палий И.А. Введение в теорию вероятностей. – М.: Высш. шк., 2005. – 176 с.
5.Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики. – М.:
Высш. шк., 2006. – 368 с.
88
ПРИЛОЖЕНИЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. 24; |
2. Да; |
3. а) ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ; б) ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Да; |
|
5. а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да; |
|
|
|
6. а) общем случае нет; б) нет; в) да; г) да; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; 9. |
|
|
|
|
|
|
|
– монеты упали разными сторонами; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
– выпадение хотя бы одной цифры; |
|
|
|
|
|
– выпадает больше 2 очков; |
|
|
|
– появ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
C |
D |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ление черного или красного шара; |
|
|
|
|
– хотя бы один промах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– все пять про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
F |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
махов; |
|
– меньше трех попаданий; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G |
|
H |
– выигрыш второго или ничья; I |
|
– от- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каз хотя бы одного элемента; |
|
|
|
|
|
|
– обнаружение не более одного бракованного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изделия; 10. |
P = 3 / 7 ; 11. |
|
P =1/18 ; |
12. |
|
|
Р =1/10 ; 13. |
|
|
Р =1/ 90 ; 14. |
P = 3 / 4 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
Р = 5 / 36 ; |
16. P =1/ 81; |
|
|
17. P =1/ 3; |
|
18. P =1/ 5!, |
P =1/ 65 ; |
|
|
|
19. P =1/ 6 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
N =120 ; |
2. |
|
|
|
N = 6 ; |
3. |
|
|
N = 6 ; |
4. |
|
|
|
|
|
N = 20 ; |
5. |
|
P5 =120 ; |
6. |
|
|
P7 = 7!= 5040; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
a) |
|
N = 6!= 720 , |
б) |
N = |
|
5! |
|
= 60 , в) |
|
|
|
|
N = |
8! |
= 6720 |
, |
|
|
|
г) N = |
|
10! |
|
|
|
=151200; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! 2! 3! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) С2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
C 2 |
|
|
= 300 ; |
|
9. |
|
|
|
а) |
= 56 ; |
|
|
б) |
|
= 336 ; |
|
|
10. а) |
С |
|
= 376992 , |
|
|
|
= 6 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
в) |
С43 С42 = 24; |
|
11. |
P =1/ 2 ; |
12. а) |
P =1/143 , |
б) |
|
P = 56 /143 ; 13. а) |
|
P =1/ 7 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) P = 4 / 7 , |
б) P = 2 / 7 ; |
14. |
|
|
|
|
а) |
|
P = 3 / 7 , |
|
|
|
б) |
|
P =10 / 21, |
|
|
|
|
|
в) |
|
|
P =10 / 21; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
P = С3 |
/ С3 |
|
= 24 / 91; |
16. |
|
|
а) P = 33 /182 , |
|
|
б) |
P =11 /182 ; |
18. |
|
а) A+B = A; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) AB = B ; |
19. |
|
A = A1 A2 A3 , |
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A1 A2 A3 , C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D = |
|
A A + A |
|
|
A + A A |
|
|
|
, F =D, G = C , |
H = A + A + A или H = A1 A2 A3 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ A1 A2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ A1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 , |
|
|
K = |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 A2 A3 + A1 A2 A3 |
A |
A1 A2 A3 + A1 A2 A3 |
|
A |
A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
A |
A |
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. P =0.85; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
а) P = 0.002 , |
|
|
|
б) |
P = 0.0522 ; 22. |
|
|
P = 5 / 8 ; |
23. P = 27 /105 ; |
24. |
|
|
P = 8 /13 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
P =19 / 26; |
26. P = 0.68 ; |
27. а) |
P =1/13, б) |
|
P =11/13; |
28. P =1/ 6 , P =16 / 81; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
P = 2 /15 , |
P =1/ 30 ; |
30. P = 5 /12 , |
|
|
P = 5 / 21; |
31. P = 57 /115 ; |
32. P =15 / 28 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33. |
P =5 / 8; |
34. а) P =0.315, б) |
|
P = 0.015; |
|
35. a) P = |
1 |
|
, б) |
P = |
|
1 |
; |
|
36. а) P = 0.03, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
P = 0.29 , в) P = 0.68 ; |
37. P ≈ 0.478 ; |
|
|
|
38. P = 0.7 , P =0.19, |
P = 0.11; |
39. n > 4 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
40. |
n > 5; |
41. n >10; |
42. а) |
P =0.88464, б) |
|
P = 0.00452; |
|
43. P ≈0.37; |
44. P ≈ 0.77 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P = 0.998; |
45. а) |
|
P =0.002, б) P =0.0648, в) P =0.044; |
46. P =0.975; |
47. P =0.86; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
48. |
P = 0.55; |
49. P =0.097; |
50. P =0.976; 51. P =0.72; |
52. P =0.96; |
53. P = 23/ 36; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
54. |
|
P( A) = 0.458 ; |
55. а) |
P =1/ 3 |
|
|
б) |
|
|
|
P ≈ 0.35 ; 56. |
|
P = 0.635 ; |
57. |
|
|
P = 3 / 7 ; |
58. а) P = 0.58 , б) P = 0.002 .
89
Раздел III
1. P7 (4) = 0.273; 2. а) P6 (4) =0.246 , |
P6 (6) = 0.262 ; 3. P17 (16) + P17 (17) = 0.482 ; |
|||||
4. |
P10 (8) + P10 (9) + P10 (10) =0.383; 5. |
P =1 −[P8 (0) + P8 (1)] =0.187; |
6. а) |
P =0.893, |
||
б) |
P10 (1) =0.268, в) P10 (2) = 0.302 , |
г) 1 − P10 (0) − P10 (1) = 0.624 ; |
7. а) х = 0.36, |
|||
ϕ(0.36) = 0.3739, P10 (8) = 0.273; б) P (8) =0.282; |
8. х=0, ϕ(0) =0.3989, P |
(80) =0.05; |
||||
|
10 |
|
|
|
400 |
|
9. |
х=−0.98, ϕ(0.98) =0.2468, P (595) =0.014; 10. а) |
P (75,90) =Φ(2.5) −Φ(−1.25) =0.8882; |
||||
б) |
1200 |
|
|
100 |
|
|
P100 (75,100) = Φ(5) − Φ(−1.25) = 0.8944 ; |
в) |
P100 (0,74) =1 − P100 (75,100) = 0.1056 ; |
||||
11. а) P200(175,190) =Φ(2.36) −Φ(−1.18) =0.872; |
б) P200(175,200) =Φ(4.71) −Φ(−1.18) =0.881; |
|||||
12. а) P100 (70,80) = 2Φ(1.15) = 0.7498 ; |
б) |
P100 (0;70) = −Φ(1.15) + 0.5 = 0.1251; |
||||
13. а) P2100(1470,1500) =Φ(1.43) −Φ(0) =0.424; б) |
P2100(1470,2100) =Φ(30) −Φ(0) =0.5; |
|||||
в) |
P2100 (0,1469) =1 − P2100 (1470,2100) = 0.5 ; |
14. P = 0.91; 15. а) P = 0.04; б) P = 0.34; |
||||
в) P = 0.835 ; 16. а) 0.089; б) 0.486; в) 0.849; г) 0.014; 17. а) 0.052; б) 0.806; в) 0.849; |
г) 0.0001; 18. а) 0.2; б) 0.84; в) 0.5; 19. а) 0.189; б) 0.482; в) 0.6; 20. 1) 0.518; 2) 0.002; 3) 0.002.
Раздел IV
1. а) непрерывная; б) дискретная; в) дискретная; г) непрерывная; д) дискретная; е) дискретная; ж) непрерывная.
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
p(x) |
0.855 |
0.14 |
0.005 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
p(x) |
1 5 |
1 5 |
1 5 |
1 5 |
1 5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
p(x) |
0.6 |
0.24 |
0.096 |
0.064 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0 |
10000 |
20000 |
30000 |
40000 |
|
|
|
|
|
p(x) |
0.09 |
0.12 |
0.34 |
0.2 |
0.25 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
p(x) |
0.1 |
0.09 |
0.81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
p(x) |
0.6 |
0.2 |
0.08 |
0.12 |
|
|
|
|
|
|
90
8. P(X < 3)= 0.3; |
P(0 < X < 5)= 0.1; P(X > 0)= 0.8; P(X < 5)= 0.3. |
||
|
0 |
при |
x ≤ −1 |
|
|
при |
−1 < x ≤ 0 |
|
0.1 |
||
F(x)= 0.2 |
при |
0 < x ≤1 |
|
|
0.3 |
при |
1 < x ≤ 6 |
|
|
|
|
|
|
при |
x > 6 |
|
1 |
||
|
0 |
при |
x ≤ 2 |
9. |
|||
|
0.1 |
при |
2 < x ≤ 4 |
|
|||
|
|
при |
4 < x ≤ 6 |
F(x)= 0.3 |
|||
|
0.6 |
при |
6 < x ≤ 8 |
|
0.8 |
при |
8 < x ≤12 |
|
|
при |
x >12 |
|
1 |
10. |
|
M (X )= 2.1, |
D(X ) |
= 5.49 , |
|
σ(X )= 2.34 ; 11. |
|
M (X )=1.9 , |
D(X )=1.29 ; |
|||||||||||||||||||||||||
12. |
M (X )= 0.15 , |
D(X ) |
= 0.1375 ; |
13. |
M (X )= 3 ; |
D(X )= 2 ; |
14. |
M (X )=1.624, |
||||||||||||||||||||||||||
D(X )= 0.810624 ; |
15. |
|
M (X )= 24000 , |
D(X )=152000000 ; |
16. |
M (X )= 2.71, |
||||||||||||||||||||||||||||
D(X )= 0.4059 ; 17. M (X )=1.72 , |
D(X )=1.0816 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
p(x) |
|
|
0.0016 |
|
|
0.0256 |
|
|
0.1536 |
|
0.4096 |
|
|
|
0.4096 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
M (X )= 3.2 , D(X )= 0.64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
p(x) |
|
|
0.00001 |
|
|
0.00045 |
|
|
0.0081 |
|
0.0729 |
|
0.32805 |
|
0.59049 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
M (X )=1.5476 , D(X )= 9.1669 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1680 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p(x) |
|
0.0498 |
0.1494 |
0.2240 |
0.2240 |
|
|
0.1008 |
|
0.0504 |
0.0216 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
21. |
|
а) P = 0.270671 , б) |
P = 0.864665 . За неделю теряется в среднем 2 карточки. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
p(x) |
|
0.135335 |
|
0.270671 |
|
|
0.270671 |
|
0.180447 |
|
0.090224 |
0.036089 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
Раздел V
1. Может; 2. A = 0.5, B = −0.5 , а) 0; б) 1; в) 1; г) 0; д) 0.5; е) 0; 3. A = 0.25 ,
f (x) = 0.5x, если 0 < x ≤ 2 и 0 в остальных случаях; 4. A =1, |
p = 0.5; |
5. |
A = 0.25 ; |
|
6. f (x) = 0.5(x + 2) , если 0 < x ≤ 2 и 0 в остальных случаях; |
p = 0.5; |
7. |
A =1/15 , |
|
B = −1/15 ; а) p = 0 ; б) p =1; в) |
p = 0.45 ; f (x) = 2 /15x , если 1 < x ≤ 4 и 0 в ос- |
|||
тальных случаях; 8. а) a = 0.5, б) |
P = 0.25 , в) F (x) = 0.5(x +1) , если −1 < x ≤1, |
F(x) = 0 , если x ≤ −1 иF(x) =1, если x >1; 9. M(x) = 0, D(x) =1/ 3, σ = 0.58;
10. M(x) =1, D(x) = 0.2, σ = 0.45; 11. M(x) = 0, D(x) = 0.2, σ = 0.45; 12. M(x) = 0, D(x) = 2.4, σ =1.18; 13. M(x) =3, D(x) = 0.8, σ = 0.894; 14. M(x) =−3, D(x) = 0.8 , σ = 0.894; 15. M (x) = 2, D(x) = 3.35, σ =1.83; 16. M(x) =2.5, D(x) =0.45, σ =0.67;
17. а) P = 0.2 , б) P = 0.6 , в) P =0.4; 18. а) P =0.5, б) P = 0.7 , в) P =1; 20. a =1 ,
σ =5 ; 21. P = 0.1359 ; 22. P = 0.8664 ; 23. P = 0.383 ; 24. 95; 25. 95%;
26. − 5 < X < 25 ; 27. 9.97 < X <10.03 .
92