3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и специальной правой частью

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

, (7)

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m. Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m, т.е.

.

Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является . Его характеристическое уравнение имеет корни и . Общее решение однородного уравнения имеет вид .

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :

или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

(8)

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k (k=1 или k=2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,

. Подставим в дифференциальное уравнение: + +, + , .

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:

Отсюда , . Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение

.

4. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных можно применять к любому неоднородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами независимо от вида правой части. Этот метод позволяет всегда найти общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть и являются линейно независимыми решениями уравнения (2). Тогда общим решением этого уравнения является , где и - произвольные постоянные. Суть метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (1) ищется в виде

, (9)

где и - новые неизвестные функции, которые необходимо найти. Так как неизвестных функций две, то для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Эти два уравнения составляют систему

которая является линейной алгебраической системой уравнений относительно и . Решая данную систему, найдём и . Интегрируя обе части полученных равенств, найдём

и .

Подставив эти выражения в (9), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (1).

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическим уравнением для однородного уравнения, соответствующего данному дифференциальному уравнению, является . Корни его комплексные , . Так как и , то , , а общее решение однородного уравнения имеет вид . Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде , где и - неизвестные функции.

Система уравнений для нахождения этих неизвестных функций имеет вид

Решив эту систему, найдём , . Тогда

, . Подставим полученные выражения в формулу общего решения:

. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения, полученное по методу Лагранжа.

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

2. Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а какое – неоднородным?

3. Какими свойствами обладает линейное однородное уравнение?

4. Какое уравнение называется характеристическим для линейного дифференциального уравнения и как оно получается?

5. В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае разных корней характеристического уравнения?

6. В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?

7. В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?

8. Как записывается общее решение линейного неоднородного уравнения?

9. В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если корни характеристического уравнения различны и не равны нулю, а правая часть уравнения есть многочлен степени m?

10. В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть один нуль, а правая часть уравнения есть многочлен степени m?

11. В чём суть метода Лагранжа?

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

13