2. Векторы. Основные понятия

Величина, которая характеризуется только своим численным значением, называется скалярной. Примерами скалярных величин являются вес, температура, площадь, длина. Величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и направлением, называется векторной. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила.

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец. Если начало вектора в точке А, а конец вектора в точке В, то вектор обозначается или просто . Длина вектора равна длине отрезка, соединяющего точки А и В. Если точки А и В совпадают, то длина вектора равна нулю и вектор называется нулевым. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаково направлены. Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Следовательно, если некоторую точку в пространстве взять за общее начало, то к этой точке можно привести все рассматриваемые векторы. Таким образом, все векторы можно рассматривать как свободные.

Если два вектора имеют одинаковые длины, коллинеарны и противоположно направлены, то они называются противоположными. Если дан вектор , то ему противоположный обозначается -.

Векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными. Если компланарные векторы привести к одному началу, то они будут лежать в одной плоскости.

Пусть дана ось l и вектор . Пусть начало А вектора проектируется в точку на оси l, а конец В вектора – в точку .

Рассмотрим вектор . Проекцией вектора на ось l называется число , если направление вектора совпадает с направлением оси l, и число , если вектор и ось l имеют противоположные направления. Проекция вектора на ось l обозначается . Обозначим угол между вектором и осью l. Тогда .

В качестве оси l может быть любой вектор. Тогда можно говорить о проекции одного вектора на другой. Например, проекция вектора на вектор равна , где угол между векторами и . Иногда вместо выражения «проекция вектора на вектор » используют выражение «проекция вектора на направление вектора ».

Рассмотрим вектор в прямоугольной системе координат. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси. Запись означает, что вектор в пространстве имеет координаты .

Два вектора и будут равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты, т.е.

Пусть начало вектора задано точкой , а конец вектора – точкой . Тогда для определения координат вектора от координат конца вектора вычитаются координаты его начала, т.е. .

В прямоугольной системе координат в пространстве единичные векторы осей Ox, Oy и Oz обозначим через . Эти единичные векторы называются ортами. Любой вектор в прямоугольной системе координат в пространстве может быть разложен по векторам , т.е. справедливо равенство .

Пример 4. Даны точки и . Найти координаты вектора и записать разложение этого вектора по ортам.

Решение. Если заданы координаты начала и конца вектора, то для определения координат вектора из координат его конца вычитаются координаты начала: .

Разложение вектора по ортам имеет вид: .