Reshenie-zadach-po-TOGI_2013
.pdffотн .
X
Ее используют для характеристики точности измерений, где абсолютная ошибка пропорциональна измеренной величине. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным единице.
Например: fотн = 1/10 000.
В геодезии относительной ошибкой характеризуют точность линейных измерений и точность определения площадей и объемов фигур.
5. ОБРАБОТКА РЯДА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
На результаты измерений влияют следующие факторы:
1.Объект измерений (что измеряют).
2.Субъект измерений (кто измеряет).
3.Средство измерений (чем измеряют - прибор).
4.Метод измерений (как измеряют - способ, методика).
5.Условия измерений (где измеряют - внешняя среда). Измерения, при которых факторы 1-5 не изменяются, называют
равноточными измерениями.
Обработка равноточных измерений.
Дано: ℓ1, ℓ2, ... ℓn - ряд равноточных результатов измерений, n – число измерений.
Найти: а) наиболее надежный результат; б) ошибку любого из n измерений;
в) ошибку наиболее надежного результата. Решение:
1)Определяем среднее арифметическое (простую арифметическую середину) для ряда измерений
ср. n .
2)Вычисляем вероятнейшую ошибку vi = ℓi - ℓср.
КОНТРОЛЬ: [v] = 0 – находим сумму вероятнейших ошибок, используя свойство компенсации случайных ошибок.
3) По формуле Бесселя определяем СКО измеренной величины
11
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
v 2 |
. |
|||
|
n 1 |
|||||
|
|
|
|
|||
4) Вычисляем СКО арифметической середины ℓср |
||||||
М |
m |
. |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
Среднее арифметическое ℓср |
|
из результатов измерений и его |
СКО являются точечной оценкой измеренной величины. Однако эти числовые характеристики ни в коей мере не определяют точное значение измеренной величины L. Этот недостаток может восполнить предельная ошибка 0 простой арифметической середины ℓср, т.к. она позволяет установить такой интервал, внутрь которого попадает истинное значение L измеренной величины с заданной доверительной вероятностью р
(ℓср - |
0) ≤ L ≤ (ℓср + 0). |
Предельную ошибку 0 |
вычисляют по формуле |
|
0 = t M, |
где t – число, зависящее от принятой доверительной вероятности р и числа N избыточных (дополнительных) измерений, использованных для вычисления М. В случае определения значения одной величины
N= n–1.
Числа t, p и N связаны между собой математической зависимостью, которая носит название закона Стьюдента. В Приложении А приведены значения t, соответствующие используемым в геодезии доверительным вероятностям p и числам дополнительных измерений N.
Представление результатов измерений с указанием предельной погрешности называют оцениванием с помощью доверительных ин-
тервалов. В строительстве интервальная оценка непосредственно связана с установлением допусков на те или иные размеры.
6.ПОНЯТИЕ ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
12
Если в процессе измерений хотя бы один из 5 перечисленных выше факторов, влияющий на их результат, изменился, то такие результаты измерения будут неравноточными.
Степень доверия к результату измерения можно охарактеризовать его весом. Веса равноточных измерений одинаковы, а неравноточных – разные. Вес измерения р - это условное число, характеризующее надежность измерения, степень доверия к нему.
Вес измерения получают по формуле
р mс2 ,
где с = сonst - подбирая так, чтобы вес был удобным для расчетов числом.
Ошибку измерения, вес которого равен единице, называют СКО единицы веса μ
1 с2 ,
2 |
|
|
2 |
|
откуда с = . |
Следовательно |
р |
|
. |
|
||||
|
|
m |
Для того, чтобы установить веса измерений, необходимо либо определить - СКО единицы веса для данного вида измерений, либо знать m – СКО самих результатов измерений.
В практике геодезических работ в качестве весов принимают:
1)при обработке угловых измерений: р n1, где n - число приемов измерений (или величина им пропорциональная);
2)при обработке линейных измерений: р S1 , где S – длина из-
меренной линии; |
|
|
|
|
|
|
3) при определении превышений: р |
1 |
, |
p |
1 |
, где L - длина |
|
L |
n |
|||||
|
|
|
|
хода в км, n - число станций в ходе;
4) при выполнении тригонометрического нивелирования: р S12 ,
где S - расстояние между точками.
1 - символ, означающий пропорциональность величин.
13
Формула для вычисления общей арифметической середины (весового среднего) для ряда неравноточных измерений
X |
|
|
1 р1 2 р2 ... n рn |
|
р |
, |
||
0 |
|
|
||||||
|
|
р1 |
р2 |
... рn |
|
р |
||
|
|
|
|
где рi - веса i-го измерения (i = 1, 2 …, n). р - вес общей арифметической середины.
Обработка неравноточных измерений.
Дано: ℓ1, ℓ2, ... ℓn - ряд неравноточных результатов измерений, n – число измерений.
р1, р2, … , рn - веса измерений. Найти: а) весовое среднее;
б) СКО единицы веса; в) СКО весового среднего;
г) СКО любого из n измерений mi. Решение:
1) Определяем арифметическую середину (весовое среднее)
0 р .
р
2) Вычисляем вероятнейшую ошибку vi = ℓi - ℓ0.
КОНТРОЛЬ: [рv] = 0 – сумма произведений отклонений результатов измерений от весового среднего должно быть равно нулю.
3) Определяем СКО единицы веса
|
|
|
|
|
рv 2 |
|
|
|
. |
||
|
n 1 |
4) Вычисляем СКО весового среднего ℓ0
М |
|
|
|
. |
|
р |
5) Вычисляем СКО любого измерения
14
mi |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
pi |
|||
|
|
|
|
7.СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕНЫХ ВЕЛИЧИН. ПОНЯТИЕ О ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.
При обработке данных геодезических измерений часто бывает необходимо оценить точность не только самих измерений, но и вычисленных по их результатам величин.
Приведем формулу для вычисления СКО функции U нескольких независимых аргументов.
Дано: U = f(x, y … z),
где x, y … z – истинные значения аргументов (измеренные величины),
mx, my, … mz - СКО независимых аргументов функции. Найти: mU = f (mx, my, … mz) – СКО функции измеренных вели-
чин.
Решение:
mU2
|
U 2 |
2 |
|
U 2 |
2 |
... , |
(1) |
|
|
mx |
|
|
my |
||
|
x |
|
|
y |
|
|
|
где U , U ... U - частные производные функции U по аргументам x,
x y z y, … z.
Частные случаи формулы (1) для СКО некоторых функций:
1) U k x; |
k const; |
U k |
|
m |
m |
x |
k. |
(2) |
||||
|
|
|
x |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) U x y; |
1 |
|
mU |
|
mx2 m2y . |
(3) |
||||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U x1 x2 ... xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx1 mx 2 ... mxn mx |
|
mU |
mx n. |
|
|
|||||||
|
|
|
15
|
U |
|
U |
|
|
|
|
|
3) U x y; |
y; |
x |
|
mU |
y2 mx2 x2 m2y . (5) |
|||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
4) U k1x1 k2 x2 |
... kn xn ; k1 |
k2 |
... kn ; |
|
|
|
||||||
U ki ; mx1 mx 2 ... mxn |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
mU2 ki2mxi2 . |
||||||||||
xi |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) U a x b y |
m |
|
a2 m2 b2 |
m2 . |
||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
x |
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6) U x tgy |
m |
|
tg 2 y m2 |
|
x2 |
|
m2 . |
|||||
cos4 |
|
|||||||||||
|
U |
|
|
|
x |
|
y |
y |
(6)
(7)
(8)
Если функция имеет вид U = x · y · z, то для нее можно записать выражение для вычисления относительной ошибки функции в виде
m 2 |
m |
x |
2 |
my 2 |
m |
z |
|
2 |
||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U |
|
x |
|
|
|
|
z |
|
||||||
|
y |
|
В Приложении Б приведены значения производных, необходимых для решения задач.
При оценке точности способов геодезических измерений и исследовании геодезических приборов часто используют метод двойных измерений. Сущность метода заключается в том, что одна и та же величина измеряется дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для случайных ошибок.
Предварительно образуют разности двойных измерений
di = l’i - li,
где li, l’i - соответственно, первое и второе значение одной и той же измеренной величины, (i = 1,2,…,n); n - число измерений.
СКО разности двойных измерений выражается формулой
md dn2 .
16
Так как ml = ml’, то md m2. Окончательно получим выраже-
ние для СКО отдельного измерения из n двойных измерений при отсут-
ствии систематических ошибок
|
|
|
|
m |
d 2 |
|
|
2n |
. |
||
|
|
|
На наличие в разностях di постоянно действующей систематической ошибки укажет значительное отклонение от нуля величины среднего арифметического d0 из n разностей двойных измерений:
d 0 dn .
Обозначив случайную составляющую ошибок разностей двойных измерений через i = d0 – di; (i = 1,2,…,n), получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
md |
, |
или |
m |
m |
d |
|
2 |
. |
|||||
n 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2(n 1) |
Приняв коэффициент Стьюдента t = 2, что соответствует доверительной вероятности р = 0,95; при числе измерений n > 30 можно записать неравенство
|
d |
|
|
2,5 |
|
d |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
Если данное условие соблюдается, то в разностях двойных измерений di постоянная систематическая ошибка отсутствует.
В пособии [2] приведен более жесткий критерий
d 0,25 d ,
при соблюдении которого величина md CКО разности двойных измерений не будет искажена систематическими ошибками в пределах точности ее вычислений.
17
8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Задача 1. Горизонтальный угол измерен равноточно пять раз. Полученные результаты даны в таблице. Вычислить вероятнейшее значение угла и СКО отдельного измерения.
Решение:
№ угла |
Величина угла |
|
2 |
1 |
45 32 |
+0,8 |
0,64 |
2 |
45 31 |
-0,2 |
0,04 |
3 |
45 30 |
-1,2 |
1,44 |
4 |
45 32 |
+0,8 |
0,64 |
5 |
45 31 |
-0,2 |
0,04 |
|
0 = 45 31,2 |
= 0 |
2 = 2,8 |
Среднее арифметическое (вероятнейшее) значение определим как
|
|
|
[ ] |
|
45 30 |
2 1 0 2 1 |
45 31,2 . |
0 |
|
|
|||||
|
|
n |
5 |
|
|||
|
|
|
|
Вычислим в таблице построчно вероятнейшие ошибка i по формуле
i = ℓi - 0.
Контроль: [ ] = 0.2
СКО измеренного угла вычислим как
m |
|
|
|
[ 2 |
] |
|
|
2,8 |
|
0,8 . |
|
n 1 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
СКО вероятнейшего значения (окончательно результата) вычислим как
М m 0,8 0,4 . n 5
2 В некоторых случаях при контроле может наблюдаться небольшое расхождение, которое объясняется ошибками округления: например,
[ ] = 0,2 ≈ 0.
18
Следовательно, наиболее надежный результат 0 = 45 31,2 с ошибкой
0,4 .
Задача 2. В таблице приведены результаты определения отметки узловой точки 5 по каждому из 3-х нивелирных ходов (измерения неравноточные). Вычислить вероятнейшее значение угла и СКО отдельного измерения.
Решение:
№ |
Отметка |
Длина ниве- |
|
|
|
1 |
|
р |
c |
, |
, |
|
|
|
лирного хо- |
р |
|
L |
р |
2 |
2р |
||||||||
изм. |
точки, м |
L |
|
|
|
мм |
||||||||
да, км |
|
|
|
|
c 8 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
81,379 |
8 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
+6 |
+6 |
36 |
36 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
81,371 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
-2 |
-8 |
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
81,374 |
4 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
+1 |
+2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ℓ0 = 81,373 |
|
|
|
|
|
р = 7 |
|
р = 0 |
|
2р = 54 |
Вычислим в таблице построчно веса измерений Pi.
Среднее арифметическое (вероятнейшее) значение определим как
|
|
|
[ р ] |
|
81,370 |
0,009 1 0,001 4 0,004 2 |
81,373 м. |
0 |
|
|
|||||
|
|
[ р] |
7 |
|
|||
|
|
|
|
Вычислим в таблице построчно вероятнейшие ошибка i по формуле
|
|
|
|
i = ℓi - ℓ0. |
|
|||
|
|
|
Контроль: [ р] = 0.3 |
|||||
Получив 2р = 54, вычислим СКО единицы веса |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2 р] |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
54 |
5,2 мм. |
||
|
|
n 1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 В некоторых случаях при контроле может наблюдаться небольшое расхождение, которое объясняется ошибками округления: например,
[ р] = 0,3 ≈ 0.
19
СКО вероятнейшего значения (окончательно результата) вычислим как
М |
m |
|
5,2 |
2 мм. |
||
|
|
|
|
|||
|
[ р] |
7 |
||||
|
|
|
|
Следовательно, наиболее надежный результат ℓ0 = 81,373 м с ошибкой
0,002 м.
Задача 3. СКО трех неравноточных измерений углов одного треугольника равны 2 , 3 , 6 . Установить веса измерений.
Решение:
р |
1 |
р |
1 |
, |
р |
|
|
1 |
, |
р |
|
|
1 |
. |
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||
|
m2 |
1 |
4 |
|
|
9 |
|
|
36 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем постоянный коэффициент с = 36, тогда р1 = 9, р2 = 4, р3 = 1.
Задача 4. Для определения высоты сооружения Н измерено горизонтальное проложение d = 95,50 м и вертикальные углы 1 = -0 54 ,2= +10 30 (рисунок 1). Найти СКО mН вычисления высоты Н, если md= 0,03 м и m 1 = m 2 = 30 .
2
Н
1
d
Рисунок 1 - Расчет точности определения высоты сооружения
Решение: Из рисунка 1 имеем
H = d (tg 1 + tg 2).
Применяя к функции H формулу (1), получим
H (tg 1 tg 2 ),d
20