Reshenie-zadach-po-TOGI_2013

	H					1							1
		d
							2					cos			2	2			,
			cos						1
2	2				2			d 2 m 2								1
mH md (tg 1 tg 2 )
											2						4	1
													cos

	1
	cos	4	2	.

Подставляя в последнюю формулу значения tg 1 = -0,015709; tg 2 = 0,18534; cos 1 = 0,99988; cos 2 = 0,98326 и принимая

= 206265 , получим

2 9120,25 900 mH 0,0009 0,02877 (1,00048 1,06986)

20626520,00003 0,00040 0,00043;

mН 0,00043 0,021 м.

Задача 5. Площадь S треугольника определялась графически. Его высота h = 4,46 см и основание b = 5,24 см измерены с ошибкой mh=mb= 0,02 см. Найти ошибку mS вычисления площади треугольника.

Решение: Площадь треугольника S определяется по формуле

S bh2 .

Согласно формуле (1) имеем

2		S 2	2		S 2	2
mS			mb			mh .
		b			h

Найдем значения частных производных

	S		1	h и	S		1	b
	b		2		h		2

и подставим их в формулу

mS2 14 h 2 mb2 14 b 2 mh2 ,

21

m			4,462	0,022	5,242	0,022	0,07 см 2 .
	S
		4		4

Относительная ошибка площади треугольника равна

	mS		0,07 см 2			1			1	.
	S		11,7 см 2		167			170

Задача 6. Вычислить предельную ошибку определения превышения, полученную из результатов тригонометрического нивелирования по формуле h = 0,5D sin 2 ; если измерены угол наклона = 1 10 с ошибкой m = 30 и длина линии D = 200 м с ошибкой mD = 0,5 м.

Решение: Используем формулу (1) и получаем

			f			2	f				2
m					m				m
				D
	h					D

			0,5 D cos 2 2 m		2
		(0,5 sin 2 mD )2

			2	0,5 200 0,99917 2 30				2
	(0,5 0,04071 0,5)
						206265
		0,0001 0,0008				0,03 м.

Предельная ошибка 3mh = 0,09 м.

Задача 7. Каковы ошибки приращений координат X и Y, вычисляемых по формулам X = d cos r, Y = d sin r, если линия d = 300 м измерена с ошибкой md = 0,02 м, а r = 36 определен с ошибкой

mr= 1 .

Решение: По формуле (1) получаем

22

f

2

f

2

m

r

2

m

m

m

(cos r m

) 2

d

sin r

X

d

r

d

d

r

2

1

2

(0,80902 0,02)

300 0,58778

3438

0,000262 0,00263 0,05 м.

							m	r		2
m			(sin r m		) 2	d cos r
	Y			d

		2				1		2
	(0,58778 0,02)		300	0,80902				0,07 м.
						3438

Задача 8. В 9-угольнике углы измерены равноточно с m = 0,5 . Вычислить СКО суммы всех углов.

Решение: По формуле (4)

m m n 0,59 1,5 .

Задача 9. СКО измерения каждого из углов и равна m = 20 . Чему равна ошибка угла , вычисленного по формуле = + ?

Решение: По формуле (4)

m m2 m2 m2 28 .

Задача 10. Вычислить ошибку направления, если СКО центрирования 5 , отсчитывания 1 , визирования 3 .

Решение: По формуле (3)

m mЦ2 mО2 mВ2 25 1 9 6 .

Задача 11. При определении расстояний нитяным дальномером с коэффициентом К = 100 ошибка взятия отсчета по рейке mℓ = 5 мм. Найти СКО длины линии.

Решение: По формуле (2)

mD = K mℓ = 100 ( 5 мм) = 500 мм = 50 см.

23

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Назовите общие требования к вычислениям.

2.Назовите основные требования к ведению записей при геодезических измерениях и вычислениях.

3.Назовите правила округления чисел.

4.Какие факторы влияют на результаты измерений?

5.Назовите виды ошибок измерений по характеру действия.

6.Назовите виды ошибок по источнику происхождения.

7.Какие ошибки называются грубыми?

8.Какие ошибки называются систематическими?

9.Какие ошибки называются случайными?

10.Сформулировать свойство компенсированности случайных ошибок.

11.Сформулировать свойство пропорциональности случайных ошибок.

12.Как вычислить СКО по формуле Гаусса?

13.Когда оценка точности измерения считается надежной?

14.Какие величины вычисляют при обработке ряда равноточных измерений?

15.Как вычислить простую арифметическую середину?

16.Как вычислить СКО по формуле Бесселя для равноточных измерений?

17.Что такое вес измерения?

18.Что такое СКО единицы веса?

19.Как установить веса при угловых измерениях?

20.Как установить веса при измерении длины линии?

21.Как установить веса при определении превышения?

22.Как вычислить общую арифметическую середину?

23.Какие величины вычисляют при обработке ряда неравноточных измерений?

24.Записать условие компенсированности случайной ошибки для неравноточных измерений.

25.Как вычислить СКО измерения, зная его вес и ошибку единицы веса?

26.Как вычислить СКО функции измеренных величин по СКО их аргументов?

24

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Исходные данные для решения задач определяются студентами по номеру варианта индивидуального задания, который указывает им преподаватель.

Пример: № варианта = 31.

Задача. По значению m = (0,№ + 5) определить значение n, если n = m + 5 .

Решение: m = (0,№ + 5) = (0,31 + 5) = 5,31 . n = m + 5 = 5,31 + 5 = 10,31 .

Задача 1. Линия измерена четыре раза равноточно: ℓ1; ℓ2; ℓ3; ℓ4 (см. данные в таблице 1). Определить вероятнейшее значение измерения и его ошибку.

Таблица 1 – Значения результатов измерений по вариантам заданий

	№	Результат измерения, м				№	Результат измерения, м
	вари-
						вари-
	ри-	ℓ1	ℓ2	ℓ3	ℓ4		ℓ1	ℓ2	ℓ3	ℓ4
						анта
	анта
	1	88,22	88,24	88,23	88,27	16	34,67	34,68	34,64	34,65
	2	72,32	72,35	72,32	72,33	17	95,06	95,04	95,04	95,10
	3	57,78	57,79	57,77	57,76	18	42,12	42,14	42,15	42,11
	4	88,11	88,13	88,13	88,15	19	82,43	82,46	82,42	82,45
	5	29,95	29,94	29,97	29,98	20	34,28	34,26	34,24	34,26
	6	45,45	45,48	45,49	45,46	21	73,65	73,67	73,68	73,64
	7	62,32	62,33	62,32	62,35	22	22,97	22,96	22,99	22,96
	8	92,27	92,23	92,26	92,24	23	59,30	59,28	59,26	59,28
	9	98,35	98,36	98,33	98,36	24	57,08	57,05	57,07	57,04
	10	78,12	78,16	78,15	78,13	25	44,68	44,65	44,64	44,67
	11	46,56	46,57	46,54	46,53	26	71,33	71,34	71,30	71,35
	12	97,12	97,15	97,15	97,14	27	37,81	37,82	37,85	37,84
	13	97,77	97,75	97,78	97,74	28	167,77	167,76	167,74	167,73
	14	49,24	49,25	49,23	49,20	29	59,03	59,00	59,02	59,03
	15	58,10	58,06	58,04	58,08	30	153,27	153,24	153,26	153,27

25

Задача 2. Вычислить вероятнейшее значение из трех неравноточных измерений одного угла и его ошибку, если: 1 - среднее из n1 приемов, 2 - среднее из n2 приемов, 3 - среднее из n3 приемов (см. данные в таблице 2).

Таблица 2 – Значения результатов измерений по вариантам заданий

	№	Результат измерения угла			Число приемов измерения
	вари-	1	2	3	n1	n2	n3
	анта
	1	53 14 31	53 14 33	53 14 32	2	3	4
	2	123 08 05	123 08 07	123 08 04	2	3	4
	3	235 45 34	235 45 33	235 45 35	2	3	4
	4	45 32 04	45 32 05	45 32 02	2	3	4
	5	97 24 41	97 24 40	97 24 42	2	3	4
	6	342 56 06	342 56 04	342 56 03	2	2	5
	7	88 56 57	88 56 59	88 56 56	2	2	5
	8	90 59 08	90 59 06	90 59 09	2	2	5
	9	12 50 19	12 51 00	12 50 17	2	2	5
	10	76 01 01	76 01 03	76 01 04	2	2	5
	11	38 26 16	38 26 13	38 26 17	1	5	3
	12	66 53 04	66 53 02	66 53 04	1	5	3
	13	81 11 36	81 11 34	81 11 37	1	5	3
	14	79 07 56	79 07 55	79 07 54	1	5	3
	15	71 33 33	71 33 34	71 33 32	1	5	3
	16	49 35 18	49 35 17	49 35 19	6	1	2
	17	257 43 07	257 43 06	257 43 05	6	1	2
	18	301 49 44	301 49 42	301 49 44	6	1	2
	19	321 41 15	321 41 17	321 41 16	6	1	2
	20	107 06 09	107 06 05	107 06 07	6	1	2
	21	65 40 39	65 40 37	65 40 35	1	4	4
	22	168 32 34	168 32 33	168 32 32	1	4	4
	23	28 58 19	28 59 01	28 59 12	1	4	4

26

Продолжение Таблицы 2

	№	Результат измерения угла			Число приемов измерения
	вари-
		1	2	3	n1	n2	n3
	анта
	24	248 47 25	248 47 24	248 47 23	1	4	4
	25	310 10 06	310 10 04	310 10 03	1	4	4
	26	19 27 18	19 27 17	19 27 15	3	3	3
	27	148 55 21	148 55 24	148 55 23	3	3	3
	28	69 29 02	69 29 04	69 29 05	3	3	3
	29	346 16 17	346 16 15	346 16 18	3	3	3
	30	93 37 17	93 37 19	93 37 16	3	3	3

Задача 3. СКО трех неравноточных измерений углов одного треугольника равны m1, m2, m3 (см. данные в таблице 3). Найти веса измерений.

Таблица 3 – Значения результатов измерений по вариантам заданий

№ вари-	Значения СКО, секунд				№ вари-		Значения СКО, секунд
анта		m1	m2	m3	анта		m1	m2	m3
1		1	2	4	16		4	12	3
2		1	3	9	17		3	3	9
3		4	4	8	18		4	16	1
4		2	4	8	19		2	16	4
5		3	1	9	20		15	3	5
6		2	8	2	21		3	6	3
7		3	6	1	22		3	2	1
8		7	4	28	23		7	14	2
9		5	2	10	24		6	1	5
10		5	10	1	25		5	10	5
11		3	27	9	26		4	16	4
12		4	8	1	27		3	4	1
13		6	1	2	28		16	2	2
14		9	18	2	29		8	1	4
15		21	3	7	30		9	3	9
Задача		4. В 9-угольнике			углы измерены			равноточно с
m = (0,№) . Вычислить СКО суммы всех углов.

27

Задача 5. СКО измерения каждого из углов и равна

m= (№+3) . Чему равна ошибка угла , вычисленного по формуле

= + ?

Задача 6. Вычислить ошибку направления, если СКО центрирования (№ + 1) , отсчитывания (№ + 3) , визирования (№ + 5) .

ЛИТЕРАТУРА:

1. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений. - М.: Недра,

1983.

2.Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений: Учебное пособие для вузов. - М.: Недра, 1984.

3.Драйв Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1983.

4.Инженерная геодезия. Учебник для вузов / Клюшин Е.Б., Киселев М.И., Михелев Д.Ш., Фельдман В.Д.; под ред. Михелева Д.Ш. – М.: Высш. шк., 3-е издание, исправл. и дополн, 2002.

5.Инженерная геодезия: Учебник для вузов / Багратуни Г.В., Ганьшин В.Н., Данилевич Б.Б. и др. - 3-е изд. перераб. и доп.- М., Недра, 1984.

6.Кулешов Д.А., Стрельников Г.Е. Инженерная геодезия для строителей: Учебник для вузов - М.: Недра, 1990.

7.Курс инженерной геодезии / Под ред. В.Е. Новака - М., Недра,

1989.

8.Лабораторный практикум по инженерной геодезии: Учебное пособие для вузов / В.Ф. Лукьянов, В.Е. Новак, Н.Н. Борисов и др. - М.: Недра, 1990.

9.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. – М.: Недра, 1971.

28

Приложение А

КОЭФФИЦИЕНТЫ СТЬЮДЕНТА t ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ОДНОЙ ИЗМЕРЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

	p	0,950	0,990	0,997
N
2		4,3	9,9	18,5
3		3,2	5,8	9,2
4		2,8	4,6	6,6
5		2,6	4,0	5,5
6		2,4	3,7	4,9
8		2,3	3,4	4,3
10		2,2	3,2	4,0
20		2,1	2,8	3,4

Приложение Б ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция

Производная

Функция

Производная

c = const

0

cos x

-sin x

cx

c

tg x

1

cos2 x

1

x n

nxn 1

ctg x

sin2 x

1

1

1

x

1

n x

ln x

n

x

n

sin x

cos x

lg x

1

x lg e

29

Азаров Борис Федотович, Карелина Ирина Владимировна

Решение задач по теории ошибок геодезических измерений

Методические указания для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлениям 270800 «Строительство» и 270100 «Архитектура»

Подписано в печать 16.02.13. Формат 60*84 1/16. Печать - цифровая. Усл. печ. л. 1,86.

Тираж 150 экз. Заказ 2013 - 78

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: [phone]

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28–35 от 15.07.97 г.