Интервал

В обычном пространстве расстояние  между двумя точками с координатами x_i, у₁, z₁ и x₂, у₂, z₂. определяется выражением

,

где x = x₂ ‑ x₁ и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной системе изменяются, вообще говоря, величины x, y и z, однако эти изменения таковы, что расстояние  остается одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определяться аналогичным выражением

,

где t = t₂ ‑ t₁ и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение

,

которое называют интервалом между событиями. Величина s является аналогом расстояния  между точками в обычном пространстве.

Причина того, что интервал определяется не выражением

,

а выражением

………… ,

заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называют евклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением вида , называется псевдоевклидовым. Его можно написать в виде

,

где  — расстояние между точками обычного пространства, в которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение /t дает скорость частицы v. Поэтому, вынеся из-под корня ct, получим, что

.

Мы получили выражение . Оно равноτ — промежутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотношению

s = c·τ.

Поскольку c — константа, а τ—инвариант, интервал s также оказывается инвариантом.

Следствия из преобразований Лоренца

Из преобразований Лоренца можно получить следствия, казалось бы, противоречащие нашему повседневному опыту. Это противоречие обусловлено тем, что наш опыт относится к процессам, протекающим со скоростями, весьма малыми по сравнению со скоростью света, и поэтому явления, которые мы сейчас рассмотрим, нами не ощущаются. Однако они с несомненностью присущи миру элементарных частиц, в котором движение со скоростями, близкими к c, представляет собой заурядное явление.

Относительность понятия одновременности.

Рассмотрим инерциальные системы отсчета K_А и K_В.

а — Система K_В движется относительно системы K_А вправо; следовательно, K_А играет роль системы K, а K_В — роль системы K', б — Система Kв движется относительно системы K_А влево; это равнозначно тому, что K_А движется относительно K_В вправо; следовательно, K_А играет роль системы K', а K_В — роль системы K.

Предположим, что в системе K_А в точках с координатами x₁^А и x₂^А (x₂^А > x₁^А) происходят в момент времени t^A два одновременных события. Найдем разность моментов времени t₂^B и t₁^B, в которые будут зарегистрированы эти события в системе K_B.

Если система K_B движется относительно K_А вправо (рис.a), то, применяя преобразования Лоренца, K_A нужно считать системой K, а K_B—системой K' и пользоваться для вычисления моментов времени t₁^B и t₂^B формулами (1.21). В этом случае

,

Соответственно

.

Если же система K_B движется относительно К_A влево (рис.б), то K_А нужно считать системой K', а K_B—системой K и пользоваться другой формулой. В этом случае

; .

.

Таким образом, в любой системе, кроме K_A, события оказываются неодновременными, причем в одних системах второе событие будет происходить позже первого (t₂^B > t₁^B), а в других системах второе событие будет происходить раньше первого (t₂^B < t₁^B).

Нужно иметь в виду, что полученный нами результат относится лишь к событиям, причинно не связанным друг с другом (очевидно, что события, происходящие одновременно в разных точках пространства, не могут оказывать воздействия друг на друга). Иначе обстоит дело, если между событиями имеется причинная связь. В этом случае событие-причина во всех системах отсчета предшествует событию ‑ следствию. Рождение элементарной частицы во всех системах отсчета происходит раньше ее распада. Ни в одной из систем «сын не рождается раньше отца».