Высш.мат.ДУ.Метод.указ

31

19а) (1+ x2 )dy −2 (y +1)xdx = 0,

б) y′= (y −1)ctg x ,

в) xy′= y ln y x ,

г) y′= −1+2x y +1,

x2

	y′=	y		y		y (1)=	π
д)			+sin		,		2 .
		x		x

20а) xy (1+ x2 )y′=1+ y2 ,

б) 1xdx+ y +1ydy+ x = 0 ,

в) y′= xy (1+ln x −ln y),

г) y′− y 2xx−2 1 =1,

д)(y + x2 + y2 )dx − xdy = 0 , y (1)= 0 .

21а) (1+ y2 )dx = xdy ,

б) y′sin x = y ln y ,

в)

y′=

y

y

−tg

,

x

x

г)

y′+ y cos x =sin x cos x ,

д)

y′=

y2

−

y

,

y (−1)=1.

x2

x

22

а)

1− x

2

)

y

′

− xy = xy

2

,

(

б) x (1+ y′)2 =1,

в)

y′sin x − y =1−cos x ,

г) (x + y)ydx − x2dy = 0 ,

д) ey (y′+1)=1, y (0)= 0 .

23 а) y′tg x − y = a ,

б)

yy

′

=

1−2x

,

y

в)

( xy + x)dy + ydx = 0 ,

г) x (x −1)y′− y = (x −1)2 ,

д)

y′ctg x + y = 2 ,

y (0)= 2 .

24 а) (2x +2xy2 )dx + 2 − x2 dy = 0 ,

б) yy′	1− x2
		= −1,
	1− y2

y

в) xy′+ xe x − y = 0 , г) xy′+ y − x −1 = 0,

д) y′−

y

= −

12

,

y (1)= 4 .

x

x3

25 а) (e2 x +5)dy + ye2 xdx = 0 ,

б)

xdx

−

ydy

= 0 ,

1+ y

1+ x

y

′

−e

y

y

x

в)

= x ,

г)

y′cos x + y sin x =1,

д) y′−

y

= −ln x ,

y (1)=1.

x

x

26а) 2 ydx = dy ,

б) y′+ x2 y = x2 ,

в) x3 y′= y (x2 + y2 ), г) xy′+3y = x2 ,

д)	y′=	x	−	y	, y (−1)= 0 .
		y		x

27 а) dy +(xy − xy3 )dx = 0 ,

б) (y′)2 = x (y′)2 − y ,

в) 2xy′−6 y + x2 = 0 ,

г) xdy − ydx = x2 + y2 dx ,

д) y′−2 y = −x2 , y (0)=0,25 . 28 а) xy′+ y = y2 ,

б) y 1 − x2 dy + 1 − y2 dx = 0,

	y′=		3y
в)				+ x ,
			x
г)	(x +2 y)dx −(2x + y)dy = 0 ,
д) y′=		y +1			, y (1)= 0 .
			x

32

29 а)

y′−(2 y +1)ctg x = 0 ,

30 а) (1+ x2 )y′−2x = xy2 ,

б) 2x

2

ydy =

1+ x

2

dx ,

2

(

)

б) ydy −(x − xy

)dx = 0

,

в)

y′cos x − y sin x =sin 2x ,

в) xdy − ydx = ydy ,

г)

(x2 + y2 )y′= x x2 − y2 + xy + y2 ,

г) y′+ay = eln x ,

(

x

)

′

x

, y (0)=1.

д) (x2 −3y2 )dy + xydx = 0 ,

д)

1+e

yy

= e

y (0)=1.

Задание 2 Найти общие решения уравнений высших порядков и там, где указано, выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

1а) y′′′= 7cos5x +2x2 ,

б) 2xy′= (1+ x2 )y′′,

в) y′′+ y = tg2 x ,

г) y′′+6 y′+9 y =10sin x ,

д) y′′+6 y′+13y = xex ,

y (0)=1, y′(0)= 2 .

2а) y′′′=10e−2 x +3x , б) (x −3)y′′+ y′= 0 , в) y′′− y′= (1+ex )−1 ,

г) y′′−6 y′+9 y =8ex ,

д) y′′+ y =5sin 2x ,

y (0)= 2 , y′(0)= −1.

3а) yIV = cos3x +5x ,

б) (1+ x2 )y′′−2xy′= 0 ,

в) y′′+4 y′+4 y = e−2 x ln x ,

г)	y′′+ y =5sin x ,
д)	y′′−2 y′+4 y = (x +2)e3x ,
	y (0)= −1, y′(0)= 0 .

4а) y′′′= e−x +2x , б) 2 yy′′=1+(y′)2 ,

в) y′′+ y′= tg x ,

г)	y′′−2 y′+2 y = 6e2 x ,
д)	y′′+4 y =5sin 2x ,
	y (0)=1, y′(0)=1.

5а) yIV =10sin 2x − x ,

б) xy′′+2 y′= 0 ,

в) y′′−2 y = 2 (x2 −1)x3 ,

г) y′′−2 y′+2 y = ex sin x ,

д) y′′′−3y′′+3y′− y = (x −5)ex , y (0)= y′(0)= y′′(0)=1.

6а) y′′′= 3x2 −5x +1,

б) xy′′+ y′= x +1,

в) y′′+4 y = sin12x ,

г) yIV −81y = 2cos3x ,

д) y′′′−3y′′− y′+3y = (4 −8x)ex , y (0)= y′(0)= y′′(0)= 2 .

33

7а) yIV = 2sin 3x − x ,

б) x4 y′′+ x3 y′= 4 ,

	в)	y′′′+ y′′−6 y′= (20x +3)e2 x ,
			′′		′		ex
	г)	y		−2 y		+ y = x2		,

д) y′′−6 y′+9 y = 2x2 ,

y (0)=5, y′(0)= 0 .

8а) y′′′=5x2 −6x +2 , б) xy′′− y′= x2 ,

в) y′′+6 y′+13y = e−3x cos8x ,

			′′		′		e2 x
	г)	y		−4 y		+5y = cos x		,

д) y′′−2 y′+5y = xe2 x ,

y (0)= y′(0)=5.

9а) xy′′′= 2 ,

б) xy′′− y′= x2ex ,

в) y′′+ y = cos1 x , г) y′′−7 y′+12 y = x ,

д) y′′+9 y = 6e3x ,

y (0)= y′(0)=5.

10а) y′′′= e2 x −3x ,

б) (1− x2 )y′′− xy′= 2 ,

в) y′′+6 y′+5y = 25x2 −2 ,

г) y′′+ y = cos1 x ,

д) y′′+9 y =5sin 3x ,

y (0)= y′(0)= 4 .

11а) y′′= x sin x ,

б) (1+sin x)y′′′= y′′cos x ,

в) y′′+4 y = cos21 x ,

г) y′′′− y′′− y′+ y =5ex , д) y′′+6 y′+5y = 25x2 −2 , y (0)= y′(0)= 3.

12а) y′′= x cos x ,

б) y′′′tg5x =5y′′,

в) y′′′−4 y′′+3y′= −4xex ,

			′′		1
	г)	y		+ y = cos3 x ,
	д)	y′′+5y′+6 y =12cos2x ,
		y (0)= −1, y′(0)=10 .

13а) yIV = −2x +cos3x ,

б) yy′′+(y′)2 +1 = 0 ,

в) y′′−6 y′+9 y = (x −1)e3x ,

г) y′′+ y = sin1 x ,

д) y′′+4 y = 2cos2x ,

y (0)=1, y′(0)= −1.

14а) yIV = cos2x +sin x ,

б) (1+ x2 )y′′+2xy′= 0,

в) y′′+4 y = 4ctg 2x ,

г) y′′−2 y′+ y =16ex ,

д) y′′+9 y =15sin 2x , y (0)= y′(0)=1.

34

15а) y′′′= 6sin 6x ,

б) y′′sin x = (1+ y′)cos x ,

			′′		′			ex
	в)	y		−2 y		+ y = x ,
	г)	y′′′− y′′−4 y′+4 y = x2 +3 ,
	д)	y′′+ y = 2sin x ,
		y (0)= 0 ,					y′(0)= 2 .
16	а)	y′′′= (3 −2x)2 ,
	б) xy′′− y′= x2ex ,
	в) y′′−4 y′+13y = e2 x cos3x ,
	г)	y′′+ y = ctg x ,
	д)	y′′′− y′′− y′+ y =5ex ,
		y (0)= y′(0)= y′′(0)=1.
17	а)	y′′′= 3x2 −2x +1,
	б) 1+ x2 y′′−1 = 0 ,
			′′				1
	в)	y		+4 y = sin2 x ,
	г)	y′′′−3y′′+2 y′− y = (x +2)ex ,
	д)	y′′−12 y′+36 y =5sin x ,
		y (0)=1,					y′(0)=1.

18а) y′′= arcsin x ,

б) xy′′− y′− x sin xy = 0 ,

в) 2 y′′+5y′=5x2 −2x +1,

г)	y′′+4 y′=	1	,
		sin2 x
д)	y′′−3y′+2 y = 2sin x ,
	y (0)= 3,	y′(0)= 4 .

19а) yIV = x2 −2x +5,

б) (x −3)y′′+ y′= 0 ,

			′′		′		e−x
	в) y			+2 y		+ y = x			,
	г)	y′′−2 y′+ y = xex ,
	д)	y′′+9 y =5cos3x ,

y (0)= 0 , y′(0)= −1.

20а) yIV = e3x − x ,

б) (1+ x2 )y′′+2xy′= x3 , в) y′′−5y′+6 y = e2 x ,

x2

г)	y′′−5y′+6 y = 3e2 x ,
д)	y′′+ y =10sin x ,
	y (0)= 0 , y′(0)= 7 .

21а) y′′= sin12 x ,

б) x3 y′′+ x2 y′−1 = 0 ,

			′′		′		ex
	в)	y		−2 y		+ y = x2 +1			,
	г)	y′′−7 y′+6 y =sin x ,

д) y′′−6 y′+9 y = 2x2 +3, y (0)= 0 , y′(0)= −2 .

22а) y′′= x x−1 ,

б) y′′+2x (y′)2 = 0,

в) y′′−3y′+2 y = 2ex cos 2x ,

	1
г)	y′′+ y′=		,
		1+ex
д)	y′′−2 y′+2 y = 2x ,
	y (0)= −3, y′(0)= −1.

23а) y′′′= exx ,

б) xy′′− y′= x2e3x ,

в) y′′+4 y′+4 y = lne2 xx , г) y′′+4 y′−5y =1,

д) y′′−3y′+2 y = 3e2 x , y (0)= 0 , y′(0)=11.

24а) y′′= x ln x ,

б) x2 y′′= (y′)2 ,

′′

′

1

в)

y

+3y

+2 y = ex +1 ,

г) 2 y′′+5y′= ex ,

17

′′

′

д) y

+2 y

+5y = −

2 cos2x ,

y (0)=1, y′(0)

= 0 .

25а) y′′′=5x +e−2 x , б) 1+(y′)2 = 2 yy′′,

в) y′′−4 y′+4 y = 2sin 2x ,

	г)	y	′′	−2 y	′	+ y =	ex	,
							4 − x2
	д)	y′′−2 y′+10 y = x2 + x −1,
		y (0)= 2 , y′(0)= 0 .

26а) y′′′=sin 2x , б) y′′= yx′ + x ,

			′′		1
	в)	y		+ y = cos3 x		,
	г) 4 y′′− y = x3 +1,
	д) 4 y′′+16 y′+15y =						4	,
							e3x
		y (0)= 0 , y′(				0)=5,5.

35

27а) y′′= x cos2x ,

б) y′′−2 yy′= 0 ,

	в)	y	′′	−2 y	′	+ y =	ex	,
							4 − x2
	г)	2 y′′+5y′= 29cos x ,

д) y′′−3y′+2 y = 2x2 +1, y (0)=5, y′(0)= 0 .

28а) y′′= x cos x ,

б) yy′′= (y′)2 ,

в) y′′−3y′+2 y = ex (3 −4x),

			′′		′		ex
	г)	y		−4 y		+5y = cos x		,
	д)	2 y′′+5y′= cos2 x ,
		y (0)=1, y′(0)= 0 .

29а) y′′= ln x ,

б) y′′tg x = y′+1,

			′′		′		e3x
	в)	y		−6 y		+9 y = x x		,
	г) y′′+ y′−2 y = 6x2 ,
	д)	y′′−5y′+6 y =13sin 3x ,
		y (0)=1, y′(0)=1.

30а) y′′=sin2 x ,

б) (1+ x2 )y′′+(y′)2 +1 = 0 ,

	y′′− y′=					2ex
в)							,
					ex −1
		′′		1
г)	y		− y = e			,

д) y′′−2 y′+10 y =10x2 +18x +6 , y (0)=1, y′(0)= 3,2 .