45

	Иначе	говоря,	f (z) =	C−k		+... +	C−1		+Co +C1 (z − zo ) +C2 (z − zo )2 +...	В
				(z − zo )	k		(z − zo )	1
этом случае k – порядок полюса.
	Определение. zo		называют существенно особой точкой функции f(z)							,
если	lim f (z)	не существует.
	z → zo

Теорема. Для того , чтобы zo была существенно особой точкой для f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение имело в главной части бесконечное число слагаемых.

(все доказательства см. Чемоданов. Мат.основы теории авт.регулиров.

стр332-334)

Теорема. Если zo – полюс функции f(z) , то эта же точка будет полюсом

для ϕ(z) = f 1(z)

Теорема. Если zo – полюс порядка k функции f(z) , то эта же точка будет полюсом для ϕ(z) = f 1(z) с учетом порядка кратности.

Теорема . . Если zo – нуль порядка m функции f(z) и нуль порядка n для ф(z), то эта же точка будет:

-нулем порядка m+n для f(z)ф(z);

-нулем порядка k=min(m;n) для f(z)+ф(z);

-полюсом порядка n-m , если m<n , для f(z)/ф(z) и т.д.

Пример 14.10. Классифицировать нули и особые точки функции

z + 2

f (z) = (z −1)3 z(z +1) .

Решение. z1=-2 простой нуль; z2=1 – полюс кратности 3; z3=0 – простой полюс и z4=-1 – еще один простой полюс.

14.11.Вычеты и их применение.

Определение. Вычетом функции f(z) относительно особой точки zo (в особой точке) типа полюс или существенно особой называют коэффициент С-1 в разложении этой функции в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Обозначают вычет resf (z) .

		zo
	Т.к. известно, что Сn=			n!	∫		f (σ) n+1 dσ , то при n=-1 получаем формулу
				2πi
		1			L	(σ − zo )
	для вычета resf (z) =		∫ f (σ)dσ .				Предполагается, что внутри контура L
		2πi
	zo		L

только одна особая точка указанного в определении вычета типа.

Из определения вычета следует, что его можно найти по следующим схема.

1. Разложением функции в ряд Лорана в окрестности этой точки и выбором из него коэффициента С-1 .

45

46

−1

Пример 14.11. Найти вычет f(z)= e z . Решение. Z=0 – особая точка типа существенно особой. Разложим функцию в ряд Лорана, используя стандартное разложение для экспоненты ez=1+z+z2/2!+… Получаем

−1	1		1		-… Откуда видно, что res e−1/ z =−1
f(z)= e z =1-		+
	z		2!z	2
				0

2)Для особых точек типа полюс кратности k используют формулу С-1

=resf (z) = k1!

zo

С-1= resf (z) =

1

lim

d (k −1) (z − zo )k f (z)

.

dz

k −1

zo

(k −1)!

z→zo

3)

Если f(z)=

P(z)

,

P(z)

и Q(z)

аналитичны в окрестности простого

Q(z)

resf (z) =P(zo)/Q`( zo).

полюса zo, причем P(zo) ≠0

Q(zo)=0 и Q`( zo) ≠0, то

zo

Пример 14.12. Вычислить вычеты f(z)=

z +3

. Решение. Для особой

(z −1)(z +1)3

точки

z1=1

применяем

третий

подход.

Получаем

res

z+3

=

z +3

=

z +3

я=1 =0,5.

(z−1)(z+1)3

((z −1)(z +1)

3

)'

я=1

((z +1)

3

+ (z −1)3(z +1)

2

)'

1

Для особой точки z2=-1 применяем второй подход. Получаем при n+1=3

z+3

2!limz→−1

3

−1

(z−1)(z+1)3

(z −

1)(z +1)

res

=

1

(

(z +

1)

(z +

3)

)``. Сначала найдем вторую производную

3

от дроби	(	(z +1)3 (z +3)	)'`= (	z −1− (z +3)	)'=	(	− 4	)' =	8	1	. Теперь можно
		(z −1)(z +1)3		(z −1)2			(z −1)2			(z −1)3

вычислять res	z+3	=	1		8		=-0,5.
	(z−1)(z+1)3		2!limz→−1 (z −1)			3
−1
Основная теорема о вычетах. ∫ f (z)dz =								n
								2π i∑resf (z) по всем особым
					L			k =1	zk

точкам, которые содержит контур интегрирования L.

Доказательство. По следствию из интегральной теоремы Коши интеграл по контуру L можно заменить сумме интегралов по отдельным контурам, каждый из которых окружает только одну особую точку функции f(z). В свою очередь, каждый из таких интегралов представляет собой вычет, умноженный на 2π i.

Т.о. вычет – инструмент вычисления интегралов.

15. Операционное исчисление.

Литература.

46

f (t) e−st ≤ Me−(s−so )t

47

1.Колобов А.М. Избр.главы высшей математики.ч.1.Мн.:Высшая школа.1965

2.Матем.основы теории автоматического регулирования. Т.2.Ред.Чемоданов.

3.Мышкис А.Д. Математика.Спецкурсы. М: Наука.1971

4.Араманович, Лунц, Эльсгольц ФКП.Операц.исчисление.

5.Ершова, Пискунов и др

15.1. Оригинал и прямое преобразование Лапласа.

Ранее решали такую задачу – вводили понятие производной; по знаку ее определяли интервалы монотонности функции; по знаку второй производной определяли выпуклость-вогнутость графика. Т.е. по характеристикам побочных функций, построенных по определенным правилам, устанавливали характер поведения самой функции. Аналогичной работой предстоит заниматься и в данном разделе. Только на более высоком уровне и с более широкими возможностями приложений.

Определение[1]. Пусть задана функция f(t) действительного или комплексного переменного такая, что :

- она непрерывна со всеми своими производными достаточно высокого порядка для всех t ≥ 0 , за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода на каждом интервале конечной длины;

-f(t)=0 при t<0;

-f(t) возрастает не быстрее экспоненты (т.е. существует М>0 и so ≥0

такие, что f (t) < Mesot ).

Назовем такую функцию оригиналом, а so - показателем роста оригинала.

Определение. Функция F(p) комплексного		переменного p = s +iω ,
определяемая равенством F(p)= ∞∫e− pt f (t)dt ,		(15.1)
	0
называется изображением для f(t) по Лапласу.
В равенстве (15.1) предполагается, что :
-	∞∫e− pt f (t)dt - несобственный интеграл,	который предполагается
	0
	сходящимся;

-f(t) - оригинал (прообраз) – действительная или комплексная функция;

-p = s +iω - комплексная переменная; t – действительная переменная;

-	∞∫e− pt f (t)dt =	lim ∫b e− pt f (t)dt .
	0	b →∞,a →0 a

Формулу (15.1) называют еще прямым преобразованием Лапласа. Сокращенные обозначения для прямого преобразования F(p)=L(f(t)); f(t):]F( p) ; f(t) ←: F( p) ; f(t) :=F(p). Далее рассматриваются только оригиналы.

Переход от f(t) к F(p) называют переходом из пространства оригиналов в пространство изображений.

Теорема существования. Если f(t) оригинал, то интеграл Лапласа сходится в полуплоскости Rep>so , где so – показатель роста оригинала.

Доказательство[3]. Оценим сначала e− pt f (t) = e−st e−iωt f (t) =

47

48

∞

− pt

∞

e

−(s−so )t

M

и потому

∫e

f (t)dt

≤ ∫

e−(s−so )t

Mdt =-M

∞ =

, т.е сходится.

0

0

s − so

0

s − so

Следствие. lim F( p) =0. Смотри выше - знаменатель растет.

Re p→∞

Теорема. Изображение F(p) для оригинала f(t) в области Rep>so является аналитической функцией.

Доказательство основано на теореме Морера, равномерной сходимости интеграла Лапласа и перемены порядка интегрирования в двукратном

интеграле ∫F ( p)dp [2].

L

Рис. 15.1. Область аналитичности изображения

		t ≥ 0,
Пример 15.1. Функция (единичная) Хевисайда 1(t)=	1,		- оригинал, т.к.
	0,	t < 0.

удовлетворяет всем требованиям определения. Показатель роста so = 0 .

					t ≥ 0,
Функция f(t)=1(t)Asint=			AS int,			- оригинал, т.к. удовлетворяет всем
			0,	t	< 0.
требованиям определения. Показатель роста so = 0 .
n			tn ,	t ≥ 0,
	=			t < 0. -		оригинал, т.к. удовлетворяет всем
Функция f(t)=1(t)t			0,
требованиям определения. Показатель роста so = 0 .
Функция f(t)= et 2	-	не будет оригиналом, т.к. не удовлетворяет всем

требованиям определения(растет быстрее экспоненты).

Функция f(t)=1/t - не будет оригиналом, т.к. не удовлетворяет всем требованиям определения (имеет разрыв 2-го рода).

В дальнейшем множитель в виде функции Хевисайда писать не будем, если в том не будет настоятельной необходимости. Предполагается, что все

функции отличны от нуля для t>0.

Пример 15.2. Изображения простых функций.

L(1(t))= ∞∫e− pt1dt =

lim ∫b e− pt dt =

lim −

1

e−pt

ba

= lim

(-

1

e− pb +

1

e− pa )=1/p.

0

a →0,b →∞ a

a →0,b →∞

p

a →0,b →∞

p

p

Верно для Rep>0.

L(emt )= ∞∫e− ptemt dt = lim ∫b e−pt emt dt = lim

−

1

e−( p−m)t

ba =

p − m

0

a→0,b→∞ a

a →0,b →∞

48

					49
	lim (-	1	e−( p−m)b +	1	e−( p−m)a )=1/(p-m). Верно для Rep>Rem. И как
		p − m		p − m
	a →0,b →∞

следствие, которое будет подтверждено позже : умножение оригинала на экспоненту приводит к сдвигу в изображении.

L(t)= ∞∫e−pt tdt = lim

∫b e−pt tdt = lim

(t

e− pt

ba +

1

∫b e−pt dt) =

p

0

a→0,b→∞ a

a →0,b →∞

p a

lim

(b

e

− pb

+

ae

− pa

−

e

− pt

ba ) =

1

. Верно при Rep>1. Далее по индукции L(tn)=

p

p

2

2

a →0,b →∞

p

p

n!

при тех же условиях.

В результате мы получили начальную таблицу

n+1

p

соответствия оригинал изображение по Лапласу.

15.2. Основные свойства преобразования Лапласа.

Теорема однородности. Если f(t) имеет изображением F(p), то af(t) имеет изображением aF(p). Доказательство следует из свойства интеграла.

Теорема аддитивности. Если f(t) имеет изображением F(p), а ф(t) имеет изображение Ф(p), то f(t) ± ф(t) имеет изображением F(p) ± Ф(p). Доказательство следует из свойства интеграла.

Теорема. Линейность. Если f(t) имеет изображением F(p), а ф(t) имеет изображение Ф(p) и С1, С2 - константы, то С1f(t) ± С2ф(t) имеет изображением С1F(p) ± С2Ф(p). Доказательство следует из вышезаписанных свойств.

Руководствуясь этой теоремой, получаем

L(Sint)=

eit − e−it

1

1

1

1

p

=

(

−

) =

. Аналогично для L(Cost)=

.

2i

2i

p −i

p +i

p2 +1

p2 +1

Отметим, что четность функций при преобразовании меняется. И еще две формулы соответствия в таблицу.

Теорема подобия. Если f(t) имеет изображением F(p), то f(аt) имеет изображением 1а F ( ap ) .

Доказательство. L(f(at))= ∞∫e−pt f (at)dt =

0

при замене at = u имеем t = u / a

du

dt = a при тех же пределах

	=	1	∞∫e−	p	u f (u)du =
				a
		а 0

=

1

F(

p

) . Что и требовалось доказать.

а

a

1

1

m

Руководствуясь этой теоремой, получаем L(Sinmt)=

=

.

m

p

2

p2

+ m2

(

)

+1

p

m

Аналогично для L(Cosmt)=

. И еще две формулы вземен старых в

p2 + m2

таблицу соответствия.

49