Теория метода

Найдем распределение температур в веществе, находящемся между двумя большими плоскими параллельными пластинами, если последние поддерживают при температурах и , расстояние между ними равно и теплопроводность вещества . То есть, найдем зависимость температуры вещества (газа) между пластинами от расстояния от пластины с меньшей температурой.

Пусть – температура верхней пластины, – температура нижней пластины, - расстояние между ними (рис.4). Причем .

Рассмотрим в веществе, находящемся между пластинами, элементарный слой с некоторой температурой на расстоянии от пластины с температурой . Следовательно, расстояние от слоя до пластины с температурой будет равно .

Рис.4. К нахождению распределения температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами.

Считая, что температура зависит только от одной координаты из уравнения (13) получаем, что плотность теплового потока равна

. (23)

Как было показано ранее (формулы (16),(17)) или , где . Тогда в соответствии с формулой (23) можно записать:

. (24)

Проинтегрировав (24) по температуре от до и по от до , находим зависимость температуры от расстояния :

,

,

. (25)

Проинтегрировав (24) по температуре от до и по от до , выразим отношение :

,

. (26)

Подставляя выражение (26) в формулу (25), получим:

, (27)

где – температура верхней пластины,

–температура вещества между пластинами,

–температура нижней пластины,

–расстояние между пластинами,

–расстояние от пластины с температурой .

Теперь найдем коэффициент теплопроводности вещества, находящегося между двумя плоскими параллельными пластинами.

Плотность теплового потока от пластины с большей температурой к пластине с меньшей температурой выражается формулой (23). По определению, плотность теплового потока – это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади поверхности:

, (28)

где – количество тепла, испускаемое нагретой пластиной в направлении холодной;

–время прохождения тепла через вещество;

–площадь поверхности, через которую проходит теплота.

Поскольку расстояние между пластинами много меньше их линейных размеров, изменение температуры на единицу длины (в среде) в формуле (23) можно представить, как

, (29)

где – разность температур между пластинами,

–температура верхней пластины (нагретой),

–температура нижней пластины (холодной),

–расстояние между пластинами.

Тогда, подставляя (28) и (29) в (23), и, учитывая, что знак “–“ выражает направление переноса тепла от области с большей температурой к области с меньшей температурой, тогда как градиент направлен в сторону возрастания этой величины, получим, что коэффициент теплопроводности вещества равен:

. (30)

Общее количество тепла, испускаемое нагретой пластиной равно

, (31)

где – количество тепла, испускаемое нагретой пластиной в направлении холодной;

–количество тепла, теряемое нагретой пластиной за счет теплообмена с окружающей средой.

Из (31) следует что

, (32)

где – коэффициент, равный отношению количества тепла, испускаемого нагретой пластиной в направлении холодной, к общему количеству тепла, испускаемого нагретой пластиной.

По закону Джоуля – Ленца:

, (33)

где – сопротивление нагретой пластины;

–сила тока в цепи;

–время протекания тока через нагретую пластину.

Таким образом, из формул (33), (32) и (30), учитывая, что время прохождения тепла через вещество равно времени протекания тока через нагретую пластину, получаем, что коэффициент теплопроводности вещества, находящегося между двумя параллельными пластинами равен

, (34)

где – сопротивление нагретой пластины;

–сила тока в цепи;

–площадь поперечного сечения поверхности;

–коэффициент, равный отношению количества тепла, испускаемого нагретой пластиной в направлении холодной, к общему количеству тепла, испускаемого нагретой пластиной;

–расстояние между пластинами;

–температура верхней пластины (нагретой);

–температура нижней пластины (холодной).

Для установки, используемой в работе:

; ;;.