§33. Определение действительной величины плоской фигуры и части поверхности

Отметим два вида геометрических задач на определение части поверхности:

- определение действительной величины и формы плоского элемента поверхности (грани, сечения поверхности плоскостью и т.д.). Решение этой задачи сводится к применению четвертой задачи преобразования чертежа. Пример решения задачи дан на рис.1.232;

Рис.1.232

- определение действительной величины и формы части поверхности или полной поверхности путем совмещения всех точек ее с плоскостью, т.е. путем построения развертки поверхности.

При рассмотрении поверхностей указывалось, что некоторые из них могут быть совмещены с плоскостью без образования разрывов и складок, а некоторые (неразвертываемые) не могут быть совмещены с плоскостью указанным образом. В этих случаях возможно построение лишь приближенной развертки.

Рассмотрим примеры развертывания некоторых видов поверхностей.

1. Развертывание пирамидальных и конических поверхностей.

Боковая поверхность пирамиды представляет собой ряд треугольных граней. Если будут известны размеры всех сторон этих треугольников, то совокупность их, построенная в определенной последовательности на плоскости, будет представлять развертку боковой поверхности пирамиды. На рис.1.233 показано построение развертки пирамиды.

Рис.1.233

Действительные длины ребер в данном случав определены способом прямоугольного треугольника. Развертка построена с использованием циркуля.

Поверхность прямого кругового конуса можно построить известным из курса средней школы графоаналитическим способом. Для построения развертки наклонного конуса в него вписывают пирамиду. В результате этого развертка конической поверхности заменяется описанной выше разверткой пирамидальной поверхности. При этом чем больше граней будет содержать вписанная пирамида, тем ее развертка будет ближе к действительной развертке заданной конической поверхности.

2. Развертывание призматических и цилиндрических поверхностей.

Боковые грани призмы можно, проведя диагонали, разделить на треугольники, и, таким образом, построение, развертки привести к рассмотренному выше на примере пирамиды способу. Построение развертки мало отличается от ранее распространенного, поэтому не приводится.

Рассмотрим второй способ построения развертки призм - способ нормального сечения.

Боковую поверхность призмы (рис.1.234) рассекают плоскостью, перпендикулярной к ее ребрам.

Рис.1.234

Определяют действительную величину каждой стороны полученного нормального сечения. Строят развертку нормального сечения и из точек развертки 1₀, 2₀, 3₀, 4₀, соответствующих вершинам нормального сечения, проводят перпендикуляры к линии развертки сечения. В обе стороны от линии развертки на перпендикулярах откладывают отрезки ребер призмы. Как видно из рассмотренного примера, применение этого способа удобно при положении призмы, параллельном плоскости проекций. В случае общего положения призмы относительно плоскостей проекций ее следует известным способом привести к рассмотренному удобному положению.

Для построения развертки наклонного цилиндра его поверхность заменяется вписанной призматической поверхностью.

3. Приближенное развертывание сферической поверхности.

Сфера относится к неразвертываемым поверхностям. В связи с этим может быть получена лишь приближенная ее развертка. Рассмотрим один из способов приближенной развертки сферы.

Разобьём сферу горизонтально-проецирующими плоскостями α₁, α₂, ..., проходящими через ее центр, на ряд одинаковых сферических элементов (6 частей) (рис.1.235).

Рис.1.235

Выделим и рассмотрим один такой элемент (рис.1.236).

Рис.1.236

Заменим его сферическую поверхность на цилиндрическую, касательную к сферической (фронтальные проекция цилиндрических образующих - l₁", l₂", l₃" и т.д., горизонтальные проекции - l₁', l₂', l₃' и т.д.). На свободном поле чертежа проведем вертикальную прямую m, на которой отложим длину дуги πR, где R - радиус сферы. Разобьем этот отрезок на 8 равных частей, соответствующих делению окружности. Отложим натуральную величину соответствующих образующих l₁=l₁', l₂=l₂' и т.д. получим точки, которые следует соединить плавной кривой. Таким образом, получим приближенную развертку сферического элемента.

Для построения полной развертки сферы необходимо вычертить развертки элементов в количестве, равном числу элементов, на которые разделена сфера.

Построение разверток различных поверхностей широко применяется в инженерной практике, например, при изготовлении деталей из тонколистового материала.

На рис.1.237 показан ряд деталей, для изготовления которых необходимо построение чертежа разверток.

Рис.1.237