ЦОС-2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ФИЛЬТРАМ

11

MSL=–20 log10 (A2). (16)

Ширина переходной области ТW, как и для других типов фильтров, со-

ставляет:

TW= 1– c. (17)

Для заданных значений РRW и МSL повышение порядка приводит к уве-

личению числа пульсаций в полосах пропускания и задерживания и умень-

шению TW. Следовательно, можно задать обозначенные на рис. 6 параметры

А1, A2 и c и, увеличивая порядок, достичь любого требуемого значения

1> c.

В виде произведения сомножителей передаточная функция эллиптиче-

ская фильтра нижних частот четного порядка n записывается следующим об-

разом:

n/2 A s2		a
H s	i	i		,	(18)
i 1 s2 b s c
	i		i

а нечетного порядка n

H s	A	n 1 /2	A s2	a
	0		i	i		,	(19)
	s c0
		i 1	s2 bis ci

где А0, с0, Аi, аi, bi, ci – заданные постоянные числа.

Постоянные параметры аi, bi и ci вычисляются крайне сложно. Этот про-

цесс требует знания эллиптических функций Якоби.

12

2.ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.1.Основы цифровой фильтрации

Цифровым фильтром называется цифровая система, используемая для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован или программ-

ным методом на ЭВМ, или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигна-

лов в реальном времени или для фильтрации предварительно записанных сигналов.

Аналоговый сигнал с ограниченным спектром можно преобразовать в дискретный посредством дискретизации. Полученный таким образом дис-

кретный сигнал можно на основании теоремы отсчетов снова превратить в исходный аналоговый сигнал посредством интерполяции. Поэтому для ре-

шения задач фильтрации в реальном времени можно использовать цифровые фильтры, которые в недавнем прошлом решались с помощью аналоговых фильтров.

Преимущества, получаемые при этом, связаны с традиционными пре-

имуществами цифровых систем вообще и заключаются в следующем:

1)некритичности к вариациям параметров компонентов;

2)нечувствительности к уходу параметров компонентов и внутренним помехам;

3)высокой точности;

4)малых физических размерах;

5)высокой надежности.

Очень важным дополнительным преимуществом цифровых фильтров является простота перестройки их параметров, что необходимо для измене-

ния характеристик фильтров. Это свойство позволяет разрабатывать программи-

руемые фильтры, решающие одновременно несколько задач фильтрации.

Цифровые сигналы вне зависимости от способа их получения представ-

ляются в виде последовательности чисел.

13

Во "временной" области цифровая система описывается набором разно-

стных уравнений. Это значит, что при заданной входной последовательности и начальных условиях системы разностные уравнения единственным образом определяют выходную последовательность.

Наиболее подходящим методом решения линейных разностных уравне-

ний является z-преобразование. Оно позволяет заменить решение этих урав-

нений решением алгебраических уравнений. Применение z-преобразования к разностным уравнениям аналогично применению преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям.

Основные проблемы цифровой фильтрации связаны с дискретизацией непрерывного сигнала, для получения его цифрового аналога. Эту теорему можно сформулировать следующим образом: непрерывную аналоговую функ-

цию x(t), имеющую ограниченный спектр (т. е. спектр X(j ) такой, что

X(j )=0 при > m), можно однозначно описать, зная ее значения в моменты времени, равномерно распределенные и отстоящие друг от друга на интервал

Т, где

Т=2 / s и s 2 m.

Важно отметить, что спектр дискретизированного сигнала получается путем периодического продолжения исходного ограниченного по частоте Зпектра с периодом, равным s. При несоблюдении условий теоремы Ко-

тельникова мы получим явление, называемое наложением или эффектом от-

ражения. В этом случае нельзя восстановить непрерывный исходный сигнал из соответствующей дискретизированной последовательности.

14

2.2. Реализация цифровых фильтров

2.2.1. Виды дискретных фильтров.

Линейный дискретный фильтр описывается линейным разностным уравнением:

M 1	N 1
y(n) am y(n m) bk x(n k),		(20)
m 1	k 0

Значения выходной последовательности y(n) в момент n определяются N

значениями входной последовательности и M–1 значениями самой выходной последовательности в “прошлые” моменты.

Фильтры, описываемые уравнением (20) называются рекурсивными.

В частном случае, при am=0, m=1, 2, ..., из (31) получаем:

N 1
y(n) bk x(n k),	(21)
k 0

т. е. в этом случае значения выходной последовательности в любой момент определяется лишь значениями входной последовательности в этот же мо-

мент и N–1 “прошлыми” значениями входной последовательности. Фильтры,

описываемые уравнением (21), называются нерекурсивными.

Алгоритмы рекурсивных и нерекурсивных фильтров могут быть пред-

ставлены в виде структурных схем, в которых используются реализации трех операций – алгебраического сложения, умножения на константу и задержки на один интервал дискретизации.

15

Рис. 7. Структурная схема рекурсивного фильтра.

Рис. 8. Структурная схема нерекурсивного фильтра.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой – КИХ-фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал (N-точечный дискретный сигнал), т.е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n=0, 1, ..., N–1.

Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ-фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений n=0, 1, ...

Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-фильтром, в

то же время рекурсивный фильтр может быть как БИХ-фильтром, так и КИХ-

фильтром. Поскольку основные особенности проектирования и применения

16

фильтров связаны с видом импульсной характеристики (КИХ или БИХ), а не с наличием или отсутствием обратной связи, будем, как правило, использовать термины “КИХ-фильтр” и “БИХ-фильтр”, а не “нерекурсивный” и “рекур-

сивный” фильтры [12].

2.3. Расчет цифровых БИХ- и КИХ-фильтров Подобно аналоговым фильтрам расчет цифровых фильтров включает в

себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая долж-

ным образом удовлетворяет предъявленным требованиям. Характеристики цифровых фильтров часто задаются в частотной области. Частотная характе-

ристика Н(еj ) цифрового фильтра является непрерывной функцией перемен-

ной с периодом 2 :

Н(еj )=Н[еj( +m2 )],

(22)

где m – целое число. Период обычно выбирается в пределах от - до . Это означает, что если Н(еj ) определена для от - до , то она определена и для всех . Записывая Н(еj ) в экспоненциальной форме, получаем

Н(еj )= Н(еj ) e–j ( ),

(23)

где Н(еj ) называется амплитудно-частотной характеристикой, а ( ) –

фазовым углом (запаздывания) фильтра.

Поскольку амплитудно-частотные характеристики представляют собой четные функции, а фазовые – нечетные, то достаточно определить частотную характеристику Н(еj ) цифрового фильтра для в пределах от 0 до вдоль верхней половины единичной окружности в z-плоскости.

При расчете фильтров удобнее использовать квадрат амплитудной функции и групповое время, чем амплитудно-частотную и фазовую характе-

ристики. Квадрат амплитудной функции задается следующим соотношением:

	17
H(ej ) 2=H(z) H(z–1), при z=ej .	(24)

Групповое время ( ) характеризует задержку отклика фильтра и опре-

деляется следующим образом:

( )=d ( )/d . (25)

Наиболее желательная характеристика группового времени представляет собой приблизительно постоянную величину для частот в полосе пропуска-

ния фильтра.

В задачу проектирования фильтров входит нахождение частотной харак-

теристики или передаточной функции, параметры которых удовлетворяют предъявленным к фильтру техническим требованиям. Следовательно, в своей основе расчет фильтра представляет собой процесс нахождения математиче-

ской аппроксимации. Для математической аппроксимации используется на-

бор базовых функций, которые позволяют систематизировать методику расчета.

Решением задачи аппроксимации является одна или несколько функций, при-

надлежащих этому семейству базовых функций. Для цифровых фильтров реализуемые функции представляют собой и полиномы, и рациональные функции переменной z–1. Цифровой фильтр, который описывается переда-

точной функцией в виде полинома

Н(z)=a0+a1z-1+...+aMz–M, (26)

называется цифровым фильтром с конечной импульсной характеристикой

(КИХ-фильтр). С другой стороны, цифровой фильтр, который задается пере-

даточной функцией в виде рациональной функции

M	N
H(z) aiz i / bk z k ,			(27)
i 0	k	0

18

называется цифровым фильтром с бесконечной импульсной характеристикой

(БИХ-фильтр). Для КИХ-фильтров отсутствуют проблемы, связанные с их устойчивостью и физической реализуемостью, поскольку все КИХ-фильтры устойчивы и физически реализуемы. Цифровые БИХ-фильтры устойчивы,

если все полюсы функции Н(z), заданной выражением (27), расположены внутри единичного круга в z-плоскости и физически реализуемы, если bk –

первый ненулевой коэффициент знаменателя, а в числителе тогда коэффици-

енты равны a0=a1=...=ak-1=0. Вследствие того, что рассматриваются исключи-

тельно физически реализуемые фильтры, обычно полагают b0=1. Следовательно,

общая передаточная функция цифрового БИХ-фильтра задается в виде:

M		N		(28)
H(z) aiz i	/ 1 bkz k		.
i 0		k 1

2.3.1 Расчет цифровых БИХ-фильтров Для цифровых БИХ-фильтров передаточные функции задаются соотно-

шениями вида (29).

M		N		(29)
H(z) aiz i	/ 1 bkz k		.
i 0		k 1

Заметим, что при замене переменной z на s выражение (29) представляет собой передаточную функцию аналогового фильтра. Сходство передаточных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит к тому, что одним из наиболее целесообразных подходов к проектированию цифровых БИХ-

фильтров является нахождение в некотором смысле цифровых вариантов ме-

тодов расчета аналоговых фильтров. Реализация этого подхода требует раз-

работки простых алгоритмов, которые обеспечивают переход от расчета ана-

логовых фильтров к расчету цифровых. Это означает, что расчет цифровых БИХ-фильтров состоит из следующих двух этапов.

19

Этап 1. Получение подходящей передаточной функции H(s), которая удовлетворяет требованиям задачи обработки сигнала.

Этап 2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию

H(s) в соответствующую передаточную функцию H(z), для получения метода расчета цифрового БИХ-фильтра, удовлетворяющего заданным техническим требованиям.

Такая методика наиболее целесообразна при проектировании фильтров с типовыми характеристиками, таких, как фильтры нижних и верхних частот,

полосовые и заграждающие, для которых имеется хорошо разработанный ап-

парат аналоговой фильтрации.

1. Метод инвариантности импульсной характеристики.

Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам на-

зывается методом инвариантности импульсной характеристики. Эта проце-

дура устанавливает, что импульсная характеристика h(n) результирующего цифрового фильтра представляет собой выборки импульсной характеристики h(t).

Этап 1. Задано: набор технических характеристик фильтра.

Этап 2. Найти передаточную функцию H(s) аналогового фильтра, удов-

летворяющую заданным характеристикам.

Этап 3. Найти h(t) – импульсную характеристику аналогового фильтра,

полученного на этапе 2.

Этап 4. Определить импульсную характеристику h(n) цифрового фильт-

ра в виде h(n)=h(t) при t=n t.

Этап 5. Найти передаточную функцию H(z) цифрового фильтра с помощью z-преобразования импульсной характеристики, полученной на этапе 4, сле-

дующим образом:

	n .
H(z) h(n)z		(30)

n 0

20

Этап 6. Результат: цифровой фильтр, полученный на этапе 5, удовлетво-

ряющий требованиям этапа 1.

Однако метод инвариантности импульсной характеристики не является простым линейным отображением. Из-за эффекта наложения этот метод применим только для фильтров с существенно ограниченной аналоговой час-

тотной характеристикой, т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосо-

вых.

2. Метод билинейного преобразования.

Эффект наложения в методе инвариантности импульсной характеристи-

ки вызывается тем, что отсутствует однозначная функция перехода из s-

плоскости в z-плоскость. Для исключения этого нежелательного эффекта на-

ложения необходимо определить однозначное непрерывное отображение.

Одним из таких преобразований является билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:

1 z		1		(31)
s f (z)			.
		1
1 z

Графически билинейное преобразование выглядит так:

Данное преобразование отображает точку (0; 0) в точу (1; 0), а (0; ) и