ЦОС-2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ФИЛЬТРАМ

21

(0; - ) — в точку (-1; 0).

Билинейное преобразование (31) – однозначная функция. Это означает,

что каждой точке в z-плоскости соответствует только одна точка в s-плос-

кости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения. Мето-

дика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразо-

вания включает в себя нахождение подходящей передаточной функции Н(s)

аналогового фильтра и применение к ней билинейного преобразования (31)

для получения передаточной функции Н(z) требуемого цифрового фильтра.

При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристи-

ки, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает,

что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров идентич-

ны, одинакова только их “форма”. Например, если амплитудно-частотная ха-

рактеристика аналогового фильтра монотонно спадает для 0< < , то соот-

ветствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (31),

будет обладать монотонно спадающей амплитудно-частотной характеристи-

кой от 0 до . Однако соотношение между цифровой частотной переменной и аналоговой частотной переменной нелинейно:

tg . (32)

2

Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характери-

стик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности им-

пульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования являет-

ся то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой и аналого-

22

вой частотой приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.

3. Частотные преобразования.

В предыдущих подразделах были рассмотрены три метода расчета циф-

ровых фильтров. Во всех этих методах на первом этапе находится подходя-

щий аналоговый фильтр, который удовлетворяет исходным требованиям.

Расчет аналогового фильтра начинается с нахождения соответствующего аналогового фильтра-прототипа нижних частот. В дальнейшем используется подходящее частотное преобразование для перевода этого прототипа нижних частот в требуемый аналоговый фильтр. Наконец, на основе процедуры ото-

бражения этот аналоговый фильтр преобразуется в желаемый цифровой БИХ-фильтр, который удовлетворяет предъявленным требованиям. Проце-

дура перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики по существу не обеспечивают хороших методов расчета цифровых фильтров,

если полоса аналогового фильтра не ограничена низкими частотами. Метод билинейного преобразования (из-за нелинейного соотношения между цифро-

вой и аналоговой частотой) дает лучшие результаты только для тех частот-

ных характеристик аналогового фильтра, которые представляют собой сту-

пенчатообразную функцию. Это означает, что такая процедура расчета не обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних частот, заграж-

дающих и некоторых типов полосовых фильтров.

Для исключения этих недостатков используется другой подход к расчету цифровых БИХ-фильтров на основе методов расчета аналоговых фильтров. В

этом случае процедура перехода всегда имеет дело с нормированным прото-

типом нижних частот. Следовательно, рассмотренные в предыдущих подраз-

делах процедуры перехода смогут обеспечить хорошие результаты. В основ-

ном этот подход состоит в нахождении подходящего нормированного анало-

гового фильтра нижних частот. Аналоговый прототип отображается в цифро-

вой фильтр-прототип нижних частот. Наконец, используется цифровое час-

23

тотное преобразование для перехода от цифрового прототипа нижних частот к окончательному варианту, т. е. цифровому фильтру с подходящими харак-

теристиками в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетворяю-

щему предъявленным требованиям.

2.3.2. Расчет цифровых КИХ-фильтров.

Передаточная функция цифрового КИХ-фильтра представляется в виде

N 1
H(z) h(n)z n ,	(33)

n 0

где импульсная характеристика имеет длительность N. Если импульсная ха-

рактеристика цифрового КИХ-фильтра удовлетворяет следующему условию:

h(n)=h(N–l–n),

(34)

для n=0, 1, ..., (N/2)–1, когда N четное, и для n=0, 1,..., (N–1)/2, когда N нечетное,

то цифровой фильтр будет обладать линейной фазовой характеристикой.

В большинстве случаев именно потребность в линейной фазе или посто-

янном групповом времени вызывает необходимость применения цифровых КИХ-фильтров.

1. Метод частотной выборки.

Заданный уравнением (33) цифровой КИХ-фильтр имеет эквивалентное ДПФ-преобразование вида:

~	N 1
H(k)	h(n)exp ( j2 nk/N) ,	(35)

n 0

24

~

где H(k) – в действительности дискретизированная N-точечная частотная характеристика цифрового фильтра с равномерно расположенными отсчета-

ми. Вследствие этого импульсная характеристика h(n) и передаточная функ-

ция Н(z) цифрового КИХ-фильтра определяется через ДПФ (35) таким обра-

зом:

			1	N 1	~
h(n)				H(k)exp[j2 nk/N]				(36)
			N k 0
	1 N 1 ~					1 z N
и H(z)		k 0 H			(k)		.	(37)
	N					1 z 1 exp[j2 k / N]

Уравнение (37) является основным при расчете цифрового КИХ-

фильтра.

Предположим, что частотная характеристика Hd(ej ) задана для частот–

< < . Это означает, что она определена и для всех частот . Процедура рас-

~

чета должна давать значения H(k), т. е. дискретизированную N-точечную требуемую частотную характеристику с равномерным расположением отсче-

тов:

~	(e	j	), при =2 k/N,	(38)
H(k) Hd

где k=0, 1, 2, …, N–1. Используя непосредственно данные соотношения (38),

можно получить подходящую КИХ-передаточную функцию из уравнения

(37). Эта методика обеспечивает совпадение полученной и требуемой час-

тотных характеристик в точках дискретизации =2 k/N для k=0, 1, 2,..., N–l. 2. Метод взвешивания.

Поскольку частотная характеристика Н(еj ) любого цифрового фильтра представляет собой периодическую функцию частоты , она имеет разложе-

				25
ние в ряд Фурье:
		H(ej )		(39)
			h(n)e j n ,
			n
где h(n)	1	H(ej )ej n d .		(40)
	2

Очевидно, что коэффициенты ряда Фурье h(n) фактически представляют собой импульсную характеристику цифрового фильтра.

Одним из возможных способов получения цифровых КИХ-фильтров,

аппроксимирующих функцию Н(еj ), является усечение бесконечного ряда

(39) до конечного числа членов. Однако из хорошо известного явления Гиб-

бса следует, что усечение бесконечного ряда вызывает выбросы и колебания в требуемой частотной характеристике до и после любой точки разрыва.

Кроме того, величина этих выбросов и колебаний не уменьшается с увеличе-

нием длины последовательности при условии сохранения ее конечности. Это по существу означает, что прямое усечение уравнения (39) для получения аппроксимации цифрового КИХ-фильтра не обеспечивает хороших результа-

тов.

Метод взвешивания используется для получения конечных весовых по-

следовательностей w(n), называемых окнами, которые модифицируют коэф-

фициенты Фурье в уравнении (39) для получения требуемой импульсной ха-

рактеристики hd(n) конечной длительности, где:

hd(n)=h(n)w(n),

(41)

а w(n) – последовательность конечной длительности, т. е. w(n)=0 для n>N и n<0. Из соотношения (41) следует, что результирующая импульсная характе-

ристика hd(n) также имеет протяженность N отсчетов.

26

Поскольку умножение двух последовательностей во временной области эквивалентно свертке двух частотных характеристик в частотной области,

метод взвешивания обеспечивает сглаживание выбросов первоначальной частотной характеристики, т. е. подавление ее отклонений и пульсаций. Не-

достатком является расширение переходной полосы.

Для завершения этого подраздела приведем некоторые характерные функции окна:

а) прямоугольное окно:

1 для 0 n N 1; w(n) 0 для n 0,n N 1;

б) окно Бартлетта или треугольное окно:

	2n/ N 1	для	0 n N 1 /2;
			N 2 /2 n N 1;
w(n) 2 2 2n / N 1 для
	0	для	n 0,n N 1;

в) окно Ханна:
0,51 cos 2 n/ N 1		для	0 n N 1;
w(n)	0	для	n 0,n N 1.

Как и в случае аналоговых фильтров, цифровые БИХ-фильтры не могут обеспечить совершенные линейные фазовые характеристики. В противопо-

ложность им цифровые КИХ-фильтры могут быть рассчитаны для обеспече-

ния линейных фазовых характеристик. Кроме того, цифровые КИХ-фильтры всегда устойчивы. Это положительные качества цифровых КИХ-фильтров. К

отрицательным чертам относится то, что исполнение цифрового КИХ-

фильтра требует большего числа вычислений и большего числа цифровых

27

элементов. Однако во многих ситуациях требуются цифровые КИХ-фильтры для выполнения тех задач, которые невозможно решить на основе цифровых БИХ-фильтров, а именно: получение фильтров с линейной фазой и много-

скоростных фильтров, где входной и соответствующий выходной сигналы дискретизированы на разных скоростях.

2.3.3 Представление цифровых фильтров на z-плоскости.

Цифровой фильтр может быть синтезирован путем размещения полюсов и нулей передаточной функции на z-плоскости, основанном на следующих правилах:

1.Полюса и нули должны быть либо действительными, либо иметь комплексно-сопряженную пару.

2.Полюс в точке z=0 оказывает влияние на фазо-частотную характери-

стику фильтра и не изменяет амплитудно-частотную.

3. Полюс (или ноль) на единичной окружности означает, АЧХ на дан-

ной частоте бесконечно возрастает (или обращается в ноль).

4. Полюс вне единичной окружности означает, что фильтр нестабилен,

т.е. отклик фильтра на импульс не затухает, а возрастает.

Амплитудно-частотная характеристика и представление на z-плоскости цифрового полосовой фильтр 6-го порядка, где:

• – ноль, –полюс.

28

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ И ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Целью работы является генерация сигнала, состоящего из нескольких гармоник, в системе MATLAB 6.1 и исследование в приложении Signal Processing Tool (SPTool) действия фильтров нижних, верхних частот, полосо-

вых и режекторных фильтров на этот сигнал.

Первой задачей является генерация сигнала. Для этого запустите MATLAB 6.1. В начале создания некоторого сигнала зададим вектор-столбец вре-

мени t. Для этого в окне Command Window наберите строку: >> t=(0:.01:2)’;

Эта команда задает изменение t от 0 до 2 с шагом 0,01 и обеспечивает дис-

кретизацию сигнала по времени.

Теперь зададим вектор некоторой функции y(t), которая представляет собой сумму синусоиды с амплитудой 1 и частотой 1 Гц с синусоидой,

имеющей амплитуду 0.25 и частоту 3 Гц: >> y=sin(2*pi*1*t)+0.25*sin(2*pi*3*t);

Обратите внимание на то, что в этом выражении t – вектор, а потому и y

тоже будет вектором. Частота f=1 Гц в первой компоненте сигнала указана в явном виде (как 1) только ради наглядности. Полезно учесть, что в большин-

стве расчетов MATLAB не использует размерные величины, поэтому лучше сразу привыкнуть к безразмерным величинам.

Теперь можно задать построение графика y(t): >> plot(t,y);

Обрабатывать сигналы удобно используя приложение Signal Processing Tool (SPTool), которое вызывается следующей командой:

>> sptool

Чтобы импортировать сохраненный нами сигнал в это приложение вы-

берите в меню File пункт Import… В раскрывшимся окне поставьте переклю-

чатель Source в положение From Workspace. В поле Workspace Contents выбе-

29

рите строку, в которой записано имя функции описывающей сигнал (в дан-

ном примере это y), и нажмите на верхнюю кнопку со стрелкой. В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации. Эта величина обратна шагу изменения времени t, заданному при формировании сигнала (в данном при-

мере шаг изменения t равен 0,01, а частота дискретизации, следовательно,

равна 100).

	Fдискр		1	(42)
			t

Вполе Name записано имя, под которым будет значиться данный сигнал

вприложении SPTool. На данной стадии это имя можно изменить по собст-

венному усмотрению. Нажмите кнопку Ok.

Теперь в списке Signals наряду с именами встроенных сигналов появи-

лось имя импортированного сигнала. Нажав кнопку View под списком

Signals, можно посмотреть график выделенного сигнала.

В данном приложении можно проектировать и использовать цифровые фильтры для обработки сигналов. В списке Filters записаны имена трех встроенных фильтров. При нажатии кнопки View под списком Filters, поя-

вится окно Filter Viever. В нем можно посмотреть:

-АЧХ-фильтра (амплитуду можно задать либо в линейном, либо в ло-

гарифмическом масштабе либо в децибелах; частоту – либо в линей-

ном, либо в логарифмическом масштабе);

-ФЧХ-фильтра (угол можно задать либо в радианах, либо в градусах;

частоту – либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе);

-групповое время задержки фильтра;

-нули и полюса фильтра;

-отклик на единичный импульс.

Нажав на кнопку New, получаем возможность проектирования фильтров.

Кнопка Edit дает возможность редактировать ранее созданные фильтры. В

30

раскрывшемся окне Filter Designer задаются параметры фильтра, произво-

дится расчет порядка фильтра и вывод АЧХ.

В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации обрабатывае-

мого сигнала. В поле Algorithm можно выбрать один из следующих видов цифровых фильтров:

-КИХ-фильтр Ремеза;

-КИХ-фильтр с минимальным среднеквадратическим отклонением;

-КИХ-фильтр с окном Кайзера;

-БИХ-фильтр с аппроксимацией Баттерворта;

-БИХ-фильтр с аппроксимацией Чебышева;

-БИХ-фильтр с аппроксимацией инверсной Чебышева;

-БИХ-фильтр с эллиптической аппроксимацией.

Выбрав пункт Pole/Zero Editor можно задать с помощью мыши или вво-

дя координаты на Z-плоскости полюса и нули передаточной функции.

Порядок фильтра либо рассчитывается (если стоит птичка в поле Minimum Order), если вводится в поле Order (если птичка снята). В данной работе порядок фильтров будет рассчитываться.

В поле Type задается тип фильтра: ФНЧ, ФВЧ, полосовой или режектор-

ный фильтр.

Ниже вводятся граничные частоты и затухания полос пропускания и за-

держивания.

Все вносимые изменения будут тут же отображаться на графике, если поставить птичку в поле Auto Design.

Чтобы отфильтровать сигнал, выберите его в списке Signals, затем в спи-

ске Filters выберите фильтр и нажмите на кнопку Apply. В раскрывшимся ок-

не введите (или оставьте введенное по умолчанию) имя отфильтрованного сигнала. Нажмите Ok. Теперь это имя добавилось в списке Signals. Посмот-

реть график отфильтрованного сигнала можно описанным выше способом.