РЕШЕНИЕ Дифф,Ур. в частн. пр

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 21

Вариант №11

1

A11 0; A12 ; A22 0; A1 0; A2 2 x y; A0 2 x; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

2 x u x, y 2 x y u 0,1 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y ,

Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y , Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, 0, 2 x y, 2 x

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

2 u x 2 x y u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, , 2 x y , 2 x 2 x y

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w 2 x 2 x y wx wxy 2 x y wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

0, 2 x y

22 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Equ1 Equ . sol

2 w x wxy

Ответ: такие уравнения мы не умеем решать

Вариант №12

A11 x2; A12 x y; A22 3 y2; A1 2 x; A2 0; A0 0;

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

4 x2 y2

Решение в области, где уравнение параболического типа

Положим x=0

Уравнение имеет в этой области вид 3 y2 y,y U x, y 0

A11 0; A12 0; A22 3 y2; A1 A2 A0 0;

A122 A11 A22 Simplify

0

DSolve y,yu x, y 0, u, x, y

u Function x, y , C 1 x y C 2 x

Ответ:В области y=-x уравнение имеет решение u[x,y]=C[1][x]+yC[2][x]]

Решение в области, где уравнение гиперболического типа

В остальной области имеем уравнение гипербалического типа. Будем приводить к каноническому видуи решать сначала в области x+y>0

A11 x2; A12 x y; A22 3 y2; A1 2 x; A2 0; A0 0;

A122 A11 A22

4 x2 y2

Найдем первый интеграл

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 23

r FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants F

2 K$45 y F 1

x, y C 1 F 2 F 1 Log K$45 K$452 y2

2 x y

F 1 1 Log x Log y x2 y2

x_, y_ FullSimplify

r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b . C 1 s .

K$45 k

b s	2 a k y	Log k a	1	2 x y
	a			Log x a Log y
	k2 y2			x2 y2

Найдем второй интеграл

r FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants G

2 K$10960 y G 1

x, y C 1 G 2 G 1 Log K$10960 K$109602 y2

2 x y

G 1 1 Log x Log y x2 y2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h .

K$10960 p

d

h

c

2 c p y

1

2 x y

p2 y2

x2 y2

Log p

c

Log x

Log y

PDE

A11

x,xu x, y

2 A12 x,y u x, y

A0 u x, y

A22 y,y u x, y

A1 x u x, y

A2

y u x, y

2

0,2

1,0

y

1,1

2

2,0

3 y u

2 x u

x,

2 x y u

x u

x, y

x, y

x, y

Найдем условие

невырожденности

24 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

4 a c

0 x2 y2

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

x y	, 6 c	6 c x y
0, 16 a c, 0, 6 a 1		, 0
x2 y2		x2 y2

a c 1; b d h 0; k p 1;

находим обратную заменунезависимых переменных

6	6 x y		u
				6	6 x y		u 16 u				Simplify
Equ	Plus		res	u , u , u , u , u , u
	x2 y2		u		x2 y2
6	6 x y
				6	6 x y		u 16 u				Simplify
Equ	Plus		res	u , u , u , u , u , u
	x2 y2				x2 y2

Ответ:уравнение не решается

Вариант №13

1

A11 0; A12 ; A22 0; A1 x; A2 0; A0 1; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 25

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

u x, y x u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y , Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y ,

Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, x, 0, 1

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u x u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, x , , 1 x

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w 1 x x wx wxy wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

x, 0

Equ1 Equ . sol

w wxy

Ответ:такие уравнения мы еще не умеем решать

Вариант №14

A11 x2; A12 0; A22 y2; A1 0; A2 2 y; A0 0;

Определяем тип уравнения:

26 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

A122 A11 A22

x2 y2

Решение в области, где уравнение параболического типа

Решение в области, где уравнение гиперболического типа

Вариант №15

A11 1 x2; A12 0; A22 1 y2; A1 0; A2 y; A0 0;

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22 Simplify

1 x2 1 y2

Приведение к каноническомувидув области, где уравнение эллиптического типа

Найдем первый интеграл

i1 FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , GeneratedParameters F , x 0, y 0 Flatten

x, y C 1 ArcSinh x ArcSinh y F 1 F 2

x_, y_ FullSimplify

Im i1 1 2 . F 1 a . F 2 b . C 1 c , x 0, y 0

Im b c a ArcSinh x ArcSinh y

x_, y_ Im b c a ArcSinh x ArcSinh y

Im b c a ArcSinh x ArcSinh y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

y u 0,1 x, y 1 y2 u 0,2 x, y 1 x2 u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0 Simplify

a Im

1 x

1 y

0

b c a ArcSinh x

a ArcSinh y

Im

b c a ArcSinh x

a ArcSinh

y

2

2

Положим для простоты

b 0; c 0; h 0; t 0;

Вводим заменупеременных

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 27

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE,

Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v

x, y , x, y , Derivative 0, 2 v x, y , x, y ,

Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v

x, y , x, y , v x, y , x, y Simplify

0, 4 a2 Im a ArcSinh x ArcSinh y

Im a ArcSinh x ArcSinh y ,

a x Im a ArcSinh x ArcSinh y 0, ,

1 x2

a x Im

a

ArcSinh x

ArcSinh y

, 0

1 x2

x u

1 x2

a

Equ Plus

res

u , u , u , u , u , u

FullSimplify

1

Im

a

ArcSinh x

ArcSinh y

	1 x2
x u 4 a

		a ArcSinh x ArcSinh y
u Im

Im a ArcSinh x ArcSinh y

Пусть a=1,d=1

a 1; d 1;

Equ

1

ArcSinh x

ArcSinh y

1 x2

x u Im

2

ArcSinh y

x u 4

1

Im

x

u

ArcSinh x

Im

ArcSinh x

ArcSinh y

Находим левую часть преведенного к каноническомувидууравнения

Вариант №16

A11 1; A12 Sin x ; A22 Cos x 2; A1 0; A2 Cos x ; A0 0;

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22 Simplify

1

Решение для уравнения гиперболического типа

28 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Найдем первый интеграл

r FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants F

x, y F 1 x y Cos x F 2

x_, y_ FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b x y Cos x

Найдем второй интеграл

r FullSimplify

x, y , x, y ,

A12

0,

CompleteIntegral A11

D

x, y , x

D

x, y , y

IntegralConstants

G

x, y G 1 x y Cos x G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c d x y Cos x

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

Cos x u 0,1 x, y Cos x 2 u 0,2 x, y 2 Sin x u 1,1 x, y u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

2 b d 0

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

0, 4 b d, 0, 0, 0, 0

b d 1;

находим обратную заменунезависимых переменных

Equ Plus res u , u , u , u , u , u Simplify

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 29

4 b d u

DSolve , u , 0, u, , 1, 1, 2, 2 .

x, y , x, y . b 1, a 1, s 1

C 1 1 x y Cos x C 2 c x y Cos x

Ответ: u(x,y) =C[1][1-x+y-Cos[x]]+C[2][c+x+y-Cos[x]]

Вариант №17

A11 3; A12 5;

A22 3;

A1 1;

A2 1;

A0 1

;

16

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

16

Решение для уравнения гиперболического типа

Приводим к каноническомувиду

Найдем первый интеграл

r FullSimplify

A12

0,

x, y , x, y ,

CompleteIntegral A11

D x, y , x

D

x, y , y

IntegralConstants

F

x, y F 1 3 x y F 2

x_, y_ FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b 3 x y

Найдем второй интеграл

r FullSimplify

x, y , x, y ,

D

A12

0,

CompleteIntegral A11

x, y , x

D

x, y , y

IntegralConstants

G

x, y G 1 1 x G 2 y G 2

3

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c d x d y

3

30 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

1 u x, y u 0,1 x, y 3 u 0,2 x, y 16

u 1,0 x, y 10 u 1,1 x, y 3 u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

8 b d 0

3

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

0,	64 b d		2 d 1
	3	, 0, 2 b,	3 , 16

находим обратную заменунезависимых переменных

Sol FullSimplify Solve x, y , x, y , x, y

3

b

c

d

a

9 b c a d 9 b d

x

8 b d

, y

8 b d

u

2

32 b d u

d u

3 b u

, u , u , u

Simplify

Equ

Plus

res

u

, u , u

16

3

u 2 d u

2 b u 64 b d u

0,

Collect FullSimplify Equ

Sol 1 ,

0

, u

.

, u , u , u

16

3

3

A11 A22 0; A12

64

b; A1

10 b ; A2 2 d; A0 5

16;

3

1,1

PDE A11 x,xU x, y

3 2 A12 x,y U x, y

A22 y,y U x, y

A1 x U x, y

A2 y

U x, y

A0 U x, y

5

0,1

10

1,0

128

16 U x, y

2 d U

x, y

3 b U

x, y

3

b U

x, y