РЕШЕНИЕ Дифф,Ур. в частн. пр

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 31

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 U x, y ,

Derivative 1, 1 U x, y , Derivative 0, 2 U x, y ,

Derivative 1, 0 U x, y , Derivative 0, 1 U x, y , U x, y

128 b

10 b

5

0, , 0, , 2 d, 3 3 16

Equ Plus res U , U , U , U , U , U

5 U	10 b U	128 b U
2 d U	3
16		3

Попробуем избавиться от 1 перед u

U x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x, y , Derivative 0, 2 w x, y , x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

	128 b						10 b		128 b				128 b			5	10 b					128 b
0,		3	, 0,				3			3	, 2 d			3	, 16			3	2 d			3
Equ Plus							res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w
w	16			3		2 d				3
	5	10 b								128 b
	10 b		128 b					wx		128 b wxy		2 d			128 b		wy
	3				3					3					3
		64, 64 b												0, Equ
sol Flatten Solve										Equ	2	1				4		1		0 ,		,
		5					3 d
Equ1 Equ					. sol
	5	5 d		w			128 b wxy
	16	32						3

sol1 Flatten Solve Equ1 1 1 0 , d

d 2

32 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

b 1; d 2; a c 1;

Equ1 . sol1

128 wxy

3

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

w x_, y_ f x g y

f x

g

y

r U x, y

. sol

. sol1

3x

5y

f x

g y

32

64

u _, _ U ,

f

g

u x_, y_

u x, y , x, y

1

3

1 3 x y

2x 2 y

2 x

3

f 1

3 x y

g 1

2 y

u x, y

. sol

f 1 3 x y g 1 23x 2 y

64 1 3 2 y 32 1 3 x y

5

2x

3

5

1

2x

2 y

3

1

y f 1

2 y

Ответ: u(x,y) =

64

3

32

3 x

3 x y g 1 23x

Вариант №18

A11 0; A12 1 ; A22 0; A1 y; A2 x; A0 x y; 2

Определяем тип уравнения:

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 33

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

x y u x, y x u 0,1 x, y y u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y ,

Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y , Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, y, x, x y

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u x y x u y u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, y , x , x y y x

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w x y y x y wx wxy x wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

y, x

Equ1 Equ . sol

wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

34 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

u x, y . w x, y s 1 1 2 2 . sol

x2 y2 C 1 x C 2 y

Ответ: u(x,y) = x2 y2 C 1 x C 2 y

Вариант №19

Определяем тип:

A11 1; A12 3; A22 8; A1 1; A2 2; A0 0;

A122 A11 A22

1

Решение для уравнения гиперболического типа

Приводим к каноническому виду

Найдем первый интеграл

r FullSimplify

D

A12

0,

x, y , x, y ,

CompleteIntegral A11

x, y , x

D

x, y , y

IntegralConstants

F

x, y F 1 2 x y F 2

x_, y_ FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b 2 x y

Найдем второй интеграл

r FullSimplify

x, y , x, y ,

A12

0,

CompleteIntegral A11 D

x, y , x

D

x, y , y

x

x, y

G 1

4 x y G 2

1

.

c

.

d

.

_, y_

r

1

2

G 1

G 2

C 1

h

c

d

4 x

y

PDE

A11

x,xu x, y

2 A12 x,y u x, y

6 u

A1 x

A22 y,y u

x, y

u x, y

A2 y u x, y

A0 u x, y

x, y

2 u

0,1

x, y

8 u

0,2

x, y

u

1,0

x,

y

1,1

x, y

u 2,0

Найдем условие

невырожденности

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 35

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

2 b d 0

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

0, 4 b d, 0, 0, 2 d, 0

находим обратную заменунезависимых переменных

Sol FullSimplify Solve x, y , x, y , x, y

x

b c d a

b c 2 a d b 2 d

2 b d

, y

b d

2 d u

2 b u

Equ

Simplify

Plus

res

u

, u , u

, u , u , u

d

b

1

2;

u

u

u , u , u , u

Collect

FullSimplify Equ

. Sol 1 ,

0, 0 ,

Обозначим u =y. Получим уравнение

DSolve y y 0, y,

y Function , C 1

Т.е u= F

s DSolve u F 0, u,

		Function , C 1				F K$359 K$359
			1
	u

Значит, функцию можно записать в виде

		F
u _, _ C 1

C 1 F

36 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Возвращаемся к переменным x,y
	,	.			x, y			.		x, y
u
C 1 c 2				4 x y F a 1				2 x y
		1
						2

1

Ответ: u(x,y) = C 1 c 2 4 x y F a 1 2 x y

2

Вариант №20

A11 0; A12	1	A1 2 x2 y;	A2 1;	A0 2 x2 y;
	; A22 0;
	2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

2 x2 y u x, y u 0,1 x, y 2 x2 y u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y ,

Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y ,

Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, 2x2 y, 1, 2 x2 y

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

2 u x2 y u 2 x2 y u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, 2x2 y , 1 , 2 x2 y 2 x2 y

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 37

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y wx wxy 1 wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

2 x2 y, 1

Equ1 Equ . sol

wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

u x, y . w x, y s 1 1 2 2 . sol

x 2 x2 y2 C 1 x C 2 y

Ответ: u(x,y) = x 2 x2 y2 C 1 x C 2 y