Vasilevsky_Kv_du_S_Chp_metodichka

ut t=0

ut

ut

ut

(n = 1).

ut t=0

ut t=0

ut t=0

	2)	1
		2 π

= x y

t

2 π

+

cos )√t2

− r2

=

Z Z (

r

x

φ (y + r sin φ) r dφ dr

0

0

t

t2

Z

√

r dr

=

x y

Z

√

1

ds = x y t.

2

t2 r2

t2

s

0

−

0

−

t

2 π

φ 2

1

∂

Z Z

(

x

+

r

cos

y

r

sin

φ

2

3)

√)

− (

+

)

r dφ dr =

2 π

∂t

t2 r2

0

0

−

= x2 − y2) ∂t

Z

t

r2 dr = x2

− y2.

√t2

∂

r

0

−

Таким образом, u(x, y, t) = x y t3 + x y t + x2 − y2.

Задание 1. Решить следующие задачи Коши

1. utt = uxx + 6,					u				= 2,
2. utt = 4 uxx + x t,					u t=0				= x2,
							t=0
3.	utt = uxx + sin x,				u				= sin x,
						t=0
4.	utt = uxx+ex,	u	t=0		=	sin x;				ut	t=0
5.	utt = 9 uxx + sin x,				u		t=0		= 1,
6.	utt = a2 uxx + sin b x,				u				= 0,
							t=0
7.	utt = a2 uxx + sin b t,				u				= 0,
						t=0
8. ut = uxx +t ex,					u			= x2,
						t=0
9.	ut = uxx + x et,		u		= sin x,
				t=0
10. ut = uxx + x t ex+t					u	t=0			= 1,

= 4 x

= x; = 0; = x+cos x;

ut t=0 = 1

t=0 = 0; t=0 = 0;

t=0 = x;

= cos x;

ut t=0 = 1.

Задание 2. Решить следующие задачи Коши (n = 2).

1. utt = u + 2,	u t=0 = x,	ut	t=0 = y;

31

3. utt = u + x3

3 x y2,

u

= x ey,

t ut

= y ex

;

2. utt = u + x2

+ y2

+ t2,

u

t=0

= x y,

ut

=0

= x + y;

−

t=0

u

t=0

4. utt = u + y t

= x2,

ut

t=0

= y2;

t=0

5. utt = 2 u,

u

t=0

=

2 x2

−

y2,

ut

t=0

=

2 x2 +y2;

6. utt = 3 u + x3 + y3

u

t=0

= x2,

ut

t=0

= y2;

7. utt = u + e3 x+4 y,

u

= e3 x+4 y,

ut

t=0

= e3 x+4 y;

t=0

8. utt = a2 u,

u

t=0

= sin x

ut

t=0

= sin y;

9. utt = a2 u,

u

t=0

= r4,

ut

t=0

= r4;

u

10. utt = u + r2 et

= 0,

ut

= 0.;

t=0

t=0

Задание 3. Решить следующие задачи Коши (n = 3).

2. utt = 8 u + x2 t2,

u

t=0 = y2,

ut t=0 = z2;

1. utt = u+(x+y) z

u

t=0

= x2 +y2,

ut

= z2

;

t=0

3. utt = 3 u + 6 r2,

u

= x2 y2 z2,

ut

= x y z;

4. utt = u+6 t e2 x

u t=0

= ex+y,

ut t=0

= ey+z;

t=0

t=0

5. utt = a2 u,

u

t=0

= r4,

ut

t=0

= r4;

6. utt = a2 u + r2 et

u

= 0,

ut

= 0;

t=0

t=0

7. utt = a2 u + y ez,

u

= x2 ey,

ut

= y2 ex;

t=0

t=0

8. utt = a2 u + x y et,

u

t=0

= x y,

ut

t=0

= y z;

u

9. utt = a2 u,

t=0

= er,

ut

t=0

= er;

10. utt = a2 u+(x

−

y) et

u

t=0

= x y z,

ut

t=0

= 1.

6.Метод разделения переменных для уравнения колебаний струны

6.1. Однородные уравнения.

Пример 1. Рассмотрим граничную задачу:

utt − a2 uxx = 0, 0 < x < l, t > 0,

32

ux − h u x=0 = 0,					ux + h u x=l = 0, t > 0,
u t=0 = ϕ(x), ut t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l.
Решение данной	задачи будем						искать в виде u(x, t) = X(x) T (t).
Подставляем в уравнение и получаем, что
			T 00(t)					X00(x)
							=			.
			a2 T (t)					X(x)
Следовательно,		T 00(t)					X00(x)
					=				= −λ,
		a2 T (t)					X(x)

где λ постоянная. Из последнего уравнения для переменной x с учётом граничных условий, получаем задачу Штурма-Лиувилля

X00 + λ X = 0,

X0(0) − h X(0) = 0, X0(l) + h X(l) = 0.

Рассмотрим возможные случаи:

I. При

λ <

0 общее

решение

последней

задачи имеет вид

√

√

X(x) = C1 e −λ x + C2 e− −λ x. Подставляем в граничные условия:

√

√

√ λ l

−λ − h C1 − √−λλl + h C2 = 0,

√

√

e −

−λ + h C1 − e− −

−λ − h C2 = 0.

Из первого

уравнения выражаем C

, подставляем во второе и получа-

2

ем, что

2

√

√

√−λ + h

e

−λ l − λ + h e− −λ l

√

λ +

C1 = 0,

−

h

из которого получается, что

C1 = 0. А в таком случае, изи первого

уравнения получаем, что C2 = 0, и, таким образом, не существует не тривиальных решений.

II. При λ = 0 уравнение примет вид X00 = 0, а общее решение задачи, следовательно, X(x) = C1 x + C2. Подставляя граничные условия, получаем, что

C1 − h C2 = 0,

33

	1 − h l C1 − h C2 = 0.				= 0, и, следовательно,
находим, что C			= C
Решая данную систему,		1		2

не существует нетривиальных решений.

III. При λ > 0, общее решение имеет вид:

√√

X(x) = C1 cos

λ x + C2 sin

λ x.

Подставляем граничные условия и получаем систему:

h C1 −

√

λ C2 = 0,

Из

√

√

2

√

√

1

h C1 +

λ C2 cos λ l +

−

λ C1

+ h C2 sin λ l = 0.

√

первого уравнения выражаем C = h C / λ и подставляем во вто-

рое уравнение. В результате, c учётом того, что C1 6= 0, получаем:

√ h2 − λ √

2 h cos λ l + √ sin λ l = 0.

λ

√

Разделив на sin λ l, приходим к тому, что

ctg √λ l = λ −√h2 . 2 h λ

Данное трансцендентное уравнение имеет бесконечную после-

довательность

положительных

корней

λ1, λ2, ..., λn, ...,

т. е.

√

= λn, n

= 1, 2, ... Положим C1 = λn. Тогда C2 = h. Под-

λ

ставляем и получаем, что

Xn(x) = λn cos λn x + h sin λn x.

А тогда

l

Xn(x)

λn cos λn x + h sin λn x

2dx =

2

= Z

0

1

1

2 λn h cos 2 λn l

sin 2 λn l =

=

h + h2 l + λn2 l −

− λn2 − h2

2

4 λn

1

h

2

2

=

h + h2 l + λ2

l

cos 2 λ

l

λn − h

sin 2 λ

l

=

2 λn

−

2 λn l

2

n

−

n

n

34

=

1

h + h2 l + λn2 l

−

h

cos 2 λn l − ctg λn l sin 2 λn l =

2

2 λn

2

h

2

3

1

2

λn h + λn h l + λn l + h

=

h + h l + λn l +

=

,

2 λn

2 λn

2

и,

соответственно,

1

2 λn

=

.

Xn(x) 2

λn h + λn h2 l + λn3 l + h

В этом случае

уравнение для T (t)

будет иметь вид

T 00 + λ2n a2 T = 0,

и, следовательно, Tn(t) = An cos a λn t + Bn sin a λn t. И, таким образом,

		∞
		X
u(x, t) =		An cos a λn t + Bn sin a λn t λn cos λn x + h sin λn x .
		n=1
Подставляем начальные условия и получаем, что
		∞
		X
		An	λn cos λn x + h sin λn x = ϕ(x),
		n=1
		∞
		X
		a λn Bn λn cos λn x + h sin λn x = ψ(x),
		n=1
откуда получаем, что
An = λn h + λn h2 l + λn3 l + h Z						l	λn cos λn s + h sin λn s	ds,
						ϕ(s)
		2 λn
			0
Bn = λn h + λn h2 l + λn3 l + h Z						l	λn cos λn s + h sin λn s ds.
						ψ(s)
		2 λn
			0

Пример 2. Рассмотрим граничную задачу:

utt − a2 uxx = 0, 0 < x < l, t > 0,

u x=0 = 0, u x=l = 0, t > 0,

35

u t=0 = ϕ(x), ut t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l.
Решение данной	задачи будем искать							в виде u(x, t) = X(x) T (t). Под-
ставляем в уравнение и получаем, что
			T 00(t)				X00(x)
					=					.
			a2 T (t)				X(x)
Следовательно,		T 00(t)			X00(x)
				=					= −λ.
		a2 T (t)				X(x)

Из последнего уравнения для переменной x с учётом граничных условий, получаем задачу Штурма-Лиувилля

X00 + λ X = 0,

X(0) = 0, X(l) = 0.

I. При λ > 0, общее решение имеет вид:

√√

X(x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x.

Подставляем граничные условия и получаем систему:

√√

C1 = 0, C1 cos λ l + C2 sin λ l = 0.

С учётом первого уравнения, второе уравнение перепишется следую-

щим образом:

C2 sin √

l = 0.

λ

Отсюда получается, что

√

√

sin

λ l = 0,

а значит λ l = π n, n N.

Таким образом,

√

=

π n

,

π n

x,

λ

Xn(x) = Cn sin

l

l

и, полагая Cn = 1, получаем, что

π n

Xn(x) = sin

x.

l

В таком случае уравнение для T (t)

будет иметь вид

T 00 + π n 2 a2 T = 0, l

36

и, следовательно,

a π n

a π n

Tn(t) = An cos

t + Bn sin

t.

l

l

И, таким образом,

∞

An cos a

π n

a π n

t sin

π n

x.

u(x, t) = n=1

l

t + Bn sin

l

l

X

Подставляем начальные условия и получаем, что

		∞				π n
	X
			An sin			l		x = ϕ(x),
	n=1
∞		a π n					π n
X					Bn sin				x = ψ(x),
n=1			l					l

откуда получаем, что

An	= l			Z0		l				s ds,
						ϕ(s) sin l
	2						π n
						Z0
Bn = a π n							l				s ds.
							ψ(s) sin l
	2							π n

6.2. Уравнения с неоднородностью в правой части

Пример 4. Рассмотрим граничную задачу:

utt − a2 uxx = f(x, t), 0 < x < l, t > 0,

u x=0 = 0, u x=l = 0, t > 0,

u t=0 = ϕ(x), ut t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l.

Решение данной задачи ищем в виде u = v + w, где w решение смешанной задачи для однородного уравнения с заданными начальными условиями, а v решение смешанной задачи для неоднородного

37

уравнения с нулевыми начальными условиями. Таким образом, смешанная задача для w :

wtt − a2 wxx = 0, 0 < x < l, t > 0,

w x=0 = 0, w x=l = 0, t > 0,

w t=0 = ϕ(x), wt	t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l,
а смешанная задача для v :

vtt − a2 vxx = f(x, t), 0 < x < l, t > 0,
v x=0 = 0, v x=l = 0, t > 0,
v t=0	= 0, vt t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l.

Из примера 2, решение смешанной задачи для w будет следующим:

∞

An cos a

π n

a π n

t sin

π n

x,

w(x, t) = n=1

l

t + Bn sin

l

l

X

где коэффициенты

An = l

Z0

l

s ds,

ϕ(s) sin l

2

π n

l

Bn = a π n

ψ(s) sin

l

s ds.

Z0

2

π n

Функцию v отыскиваем в виде

∞

π n

X

x.

v(x, t) =

Tn(t) sin

l

n=1

Подставляем в уравнение и получаем, что

∞

X

n=1

Tn00(t) +	a l			Tn(t) sin πln x = f(x, t).
		π n		2

38

Разлагаем функцию f в ряд Фурье на интервале (0, l) по синусам:

				∞					π n
f(x, t) =						fn(t) sin					x,
				n=1					l
где			X
			Z0	l
2							π n
fn(t) =				f(s, t) sin						s ds,
	l								l
находим дифференциальное уравнение
Tn00(t) +			a π n				2
							Tn(t) = fn(t).
				l
Учитывая нулевые начальные условия,									имеем, что Tn(0) = 0,

Tn0 (0) = 0. Для нахождения Tn(t) будем использовать метод вариа-

ции произвольных постоянных. Ищем Tn(t) в виде

a π n

a π n

Tn(t) = Cn(t) cos

t + Dn(t) sin

t.

l

l

С учётом нулевых начальных условий

Cn(t) = −a π n Z0

t

fn(s) sin a l

s ds,

l

π n

t

fn(s) cos a l

s ds.

Dn(t) = a π n Z0

l

π n

Подставляя Cn(t) и Dn(t) в выражение для Tn(t), получаем, что

t

Tn(t) = a π n

− Z

fn(s) sin a l

s cos l t ds+

l

π n

a π n

+ Z

fn(s) cos l s sin

0

Z

fn(s) sin a

(t − s) ds =

l

t ds = a π n

l

t

a π n

a π n

l

t

π n

0

0

tl

= a π n Z Z		f(s, t) sin	l s sin	l	(t − τ) ds dτ.
2			π n	a π n

00

39

Таким образом,

∞

π n

∞

π n

t + Bn sin

a π n

π n

x.

u(x, t) = n=1 Tn(t) sin

l

x+n=1 An cos a l

l

t sin l

X

X

Замечание. Если

f(x, t)

=

f0(x), то решение

ищем

в виде:

u(x, t) = v(x) + w(x, t),

где

v(x)

решение следующей граничной

задачи

−a2 v00(x) = f0(x), 0 < x < l, t > 0,

v x=0 = 0, v x=l = 0, t > 0,

а w(x, t) решение смешанной задачи:

wtt − a2 wxx = 0, 0 < x < l, t > 0,

w x=0 = 0, w x=l = 0, t > 0,

w t=0 = ϕ(x) − v(x), wt t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l.

6.3.Неоднородные уравнения с неоднородностями в граничных условиях.

Пример 5. Рассмотрим граничную задачу:

utt − a2 uxx = f(x, t), 0 < x < l, t > 0,

u x=0 = µ1(t), u x=l = µ2(t), t > 0,

u t=0 = ϕ(x), ut t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l.

Решение данной задачи будем искать в виде u = v + w, где

				x
	w(x, t) = µ1(t) +				µ2(t) − µ1(t) ,
				l
а v решение граничной задачи:
vtt − a2 vxx = g(x, t) = f(x, t) − wtt − a2 wxx , 0 < x < l, t > 0,
v t=0	v x=0 = 0, v x=l = 0, t > 0,					t=0, 0 ≤ x ≤ l.
	= ϕ(x) = ϕ(x) − w	t=0, vt	t=0	= ψ(x) = ψ(x) − wt
	e				e

40