Vasilevsky_Kv_du_S_Chp_metodichka

Таким образом,

∞

π n

∞

π n

t + Bn sin

a π n

t sin

π n

x +

u(x, t) = n=1 Tn(t) sin

l

x+n=1 An cos a

l

l

l

X

X

x

µ2(t) − µ1(t) ,

+µ1(t) +

l

где

tl

Tn(t) = a π n Z Z		g(s, t) sin	l s sin	l	(t − τ) ds dτ,
2			π n	a π n

00

An	= l			Z		l				s ds,
						ϕ(s) sin l
	2					el	π n
				0
							ψ(s) sin l				s ds.
Bn = a π n						Z
	2							π n
						0	e

ВОЗМОЖНЫЙ ВИД ФУНКЦИЙ w(x, t)

1)Если u x=0 = µ1(t), u x=l = µ2(t), то

x

µ2(t) − µ1(t) ;

w(x, t) = µ1(t) +

l

2)

Если u x=0 = µ1(t),

ux x=l = µ2(t), то

w(x, t)

= µ1(t) + x µ2(t);

3)

Если ux

x=0

= µ1(t),

u

x=l = µ2(t), то

l µ1(t);

w(x, t) = µ2(t) + x

−

4)

Если ux

x=0

1

x x=l

2

= µ

(t),

u

= µ2(t), то

x

µ2(t) − µ1(t) ;

w(x, t) = x µ1(t) +

2 l

5)

Если u x=0 = µ1(t),

(ux + h u) x=l = µ2(t), то

w(x, t) = µ1(t) +

µ2(t) − h µ1(t)

x;

1 + l h

41

6) Если (ux − h u) x=0 = µ1(t),				(ux + h u) x=l = µ2(t), то
	µ2(t)	−	(1 + l h)µ1(t)				µ1(t) + µ2(t)
w(x, t) =					+			x.
		(2 + l h) h					2 + l h
Рекомендуется,			используя				представление
w(x, t) = A x2 + B x + C и				различные			виды граничных усло-
вий, получить выше приведённые формулы.

Задание 1. Решить следующие смешанные задачи для однородных уравнений методом разделения переменных

1. utt = a2uxx, ux(0, t) − h u(0, t) = 0, ux(l, t) + h u(0, t) = 0, u(x, 0) = x, ut(x, 0) = x2.

2. utt = a2uxx, ux(0, t) = 0, ux(l, t) + h u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1.

3. utt = a2uxx, u(0, t) = 0, πux(l, t) = 0, u(x, 0) = x, ut(x, 0) = sin 2 l x

4. utt = a2uxx, ux(0, t) = 0, u(l, t) = 0,
	π			3 π		5 π
u(x, 0) = cos		x,	ut(x, 0) = cos		x + cos		x.
	2 l			2 l		2 l

5. utt = a2uxx,	u(0, t) = 0, u(l, t) + h ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = ex.
6. utt = a2uxx,	ux(0, t) = 0, u(l, t) = 0,

u(x, 0) = x + ex, ut(x, 0) = 1.

42

7. utt = a2uxx, ux(0, t) + h u(0, t) = 0, ux(l, t) − h u(l, t) = 0, u(x, 0) = x, ut(x, 0) = −x.

8. utt = a2uxx, ux(0, t) + h u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = x2.

9. utt = a2uxx, ux(0, t) + h u(0, t) = 0, u(l, t) = 0,

u(x, 0) = x,		ut(x, 0) = 1.
10.	utt = a2uxx,	u(0, t) = 0,	ux(l, t) + h u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1,		ut(x, 0) = x.
11.	utt = a2uxx,	ux(0, t) + h u(0, t) = 0,		ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = −x, ut(x, 0) = x.
12.	utt = a2uxx,	ux(0, t) − h u(0, t) = 0,		u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1,		ut(x, 0) = 2 x.
13.	utt = a2uxx,	ux(0, t) = 0,	ux(l, t) + h u(l, t) = 0,
u(x, 0) = ex, ut(x, 0) = 1.
14.	utt = a2uxx,	ux(0, t) + h u(0, t) = 0,		ux(l, t) − h u(l, t) = 0,
u(x, 0) = −1, ut(x, 0) = 1.
15.	utt = a2uxx,	ux(0, t) + h u(0, t) = 0,		u(l, t) = 0,
u(x, 0) = x,		ut(x, 0) = 1.
16.	utt = a2uxx,	ux(0, t) = 0,	ux(l, t) + h u(l, t) = 0,

u(x, 0) = x2, ut(x, 0) = 2 x.

43

17.	utt = a2uxx,	u(0, t) = 0,	ux(l, t) + h u(l, t) = 0,
u(x, 0) = ex, ut(x, 0) = e−x.
18.	utt = a2uxx,	ux(0, t) = 0,	u(l, t) = 0,
u(x, 0) = x3, ut(x, 0) = 3 x2.

19.	utt = a2uxx,	u(0, t) = 0,	ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = e2 x, ut(x, 0) = x
20.	utt = a2uxx,	u(0, t) = 0,	u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin x,		ut(x, 0) = cos x.

Задание 2. Решить следующие смешанные задачи для неоднородных уравнений методом разделения переменных

	utt − uxx = f(x, t 0 < x < l, t > 0),
	u t=0 = ϕ(x), ut				t=0 = ψ(x),
вариант 1:		u	=0 = µ1(t),				u x=l = µ2(t)
вариант 2:		ux xx=0 = µ1(t),					u x=l = µ2(t)
вариант 3:		u	x=0 = µ1(t),				ux x=l = µ2(t)
вариант 4:		ux x=0 = µ1(t),					ux x=l = µ2(t)
вариант 5:	(ux	+ h u) x=0 = µ1(t),					u	x=l = µ2(t)
				= µ1(t),
вариант 6:		u x=0				(ux		h u) x=l = µ2(t)
вариант 7:	(ux					(ux	−
		+ h u) x=0 = µ1(t),					−	h u) x=l = µ2(t)

44

	f(x, t)	ϕ(x)	ψ(x)	µ1(t)	µ2(t)
1	x	x2 − x	0	2 t	0
2	x + t	x2	2 x	1	0
3	x t	0	x	2 + t	t
4	et cos x	cos x	2 x	2 t	t − 1
5	4 t sin x	0	0	3	t2 + t
6	x (2 + t)	x	0	1 − t	t
7	t e−x	0	x2	t	2 t − 1
8	et+x	1	0	1	et
9	t3	0	cos x	t2	1
10	2 t − x2	sin x	cos x	et	0
11	cos t	0	sin x	1	0
12	t2 − x	2	0	t	−1
13	sin t	x	1	2 t + 1	0
14	2	x2 + 1	x	1 + t	1 − 2 t
15	x − t	1 − x	2	0	t2

6.4.Метод разделения переменных для уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Пример 6 . Рассмотрим граничную задачу:

utt − a2 (uxx + uyy) = 0, 0 < x < l1, 0 < y < l2, t > 0,

u x=0 = 0, u x=l1 = 0, t > 0,

	u		y=0 = 0, u y=l			= 0, t > 0,
u t=0 = ϕ(x, y),			ut t=0 = ψ(x, 2y), 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2.
Решение	данной задачи ищем в виде u(x, y, t) = v(x, y) T (t). Под-
ставляем в уравнение и получаем, что
			T 00(t)		vxx + vyy		= −λ.
				=
		a2 T (t)			v

В таком случае v решение граничной задачи vxx + vyy + λ v = 0.

45

v(0, y) = v(l1, y) = v(x, 0) = v(x, l2) = 0.

Эту задачу также решаем методом разделения переменных. Поэтому

v(x, y) ищем в виде v(x, y) = X(x) Y (y), где

X00

+ µ X = 0,

X(0) = X(l1) = 0,

Y 00

+ ν Y = 0,

Y (0) = Y (l2) = 0.

Решая эти задачи Штурма-Ливвилля, придём к тому, что

µn =

π n

2

,

Xn(x) = sin

π n

x,

l1

l1

νm =

m

2

π m

π

,

Ym(y) = sin

y.

l2

l2

А в таком случае

π n

2

π m

2

2

π n

π m

λn,m =

+

,

vn,m(x, y) =

√

sin

x sin

y.

l1

l2

l1

l2

l1, l2

Рассматривая уравнение для Tn(t), приходим к тому, что

Tn,m(t) = An,m cos a p

t + Bn,m sin a p

t.

λn,m

λn,m

В таком случае

∞

λn,m t + Bn,m sin a

λn,m t vn,m(x, y).

u(x, y, t) = n, m=1 An,m cos a

X

p

p

С помощью начальных условий находим, что

An,m =

√l1, l2

l1

l2

ϕ(x, y) sin l1

x sin

l2

y dx dy,

Z Z

2

π n

π m

00

Bn,m =		a2 λn,m l1, l2	l1	l2	ψ(x, y) sin l1	x sin	l2	y dx dy.
			Z Z
	2				π n		π m
	p		0	0

Задание 3. Решить следующие смешанные задачи для уравнения колебания прямоугольной мембраны

46

1. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,	ux(l1, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, l2, t) = 0;
u(x, y, 0) = 1,	ut(x, y, 0) = 1,

2. utt = a2 (uxx + uyy),

ux(0, y, t) = 0, u(l1, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, uy(x, l2, t) = 0, u(x, y, 0) = x + y, ut(x, y, 0) = x − y;

3. utt = a2 (uxx + uyy),

ux(0, y, t) = 0,	ux(l1, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, l2, t) = 0,
u(x, y, 0) = x,	ut(x, y, 0) = y;

4. utt = a2 (uxx + uyy),
ux(0, y, t) = 0,	u(l1, y, t) = 0,	uy(x, 0, t) = 0, uy(x, l2, t) = 0,
u(x, y, 0) = x y,	ut(x, y, 0) = 1;

5. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0, u(l1, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, l2, t) = 0, u(x, y, 0) = ex+y, ut(x, y, 0) = ex−y;

6. utt = a2 (uxx + uyy),

ux(0, y, t) = 0, ux(l1, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, l2, t) = 0,

47

	π			3 π
u(x, y, 0) = cos		x sin				y,		ut(x, y, 0) = cos
	l1			l2
7. utt = a2 (uxx + uyy),
ux(0, y, t) = 0,	u(l1, y, t) = 0,							u(x, 0, t) = 0,
	π			3		π
u(x, y, 0) = cos			x sin				y,	ut(x, y, 0) = 1;
	2 l1				2 l2

5 πx sin 7 π y; l1 l2

uy(x, l2, t) = 0,

8. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,

ux(l1, y, t) = 0,

u(x, 0, t) = 0,

u(x, l2, t) = 0,

5 π

3 π

u(x, y, 0) = 1,

ut(x, y, 0) = sin

x sin

y;

2 l1

l2

9. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,

u(l1, y, t) = 0,

u(x, 0, t) = 0,

u(x, l2, t) = 0,

π

7 π

5 π

3 π

u(x, y, 0) = sin

x sin

y, ut(x, y, 0) = sin

x sin

y;

l1

l2

l1

l2

10. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,

u(l1, y, t) = 0,

uy(x, 0, t) = 0,

u(x, l2, t) = 0,

u(x, y, 0) = 1,

ut(x, y, 0) = y;

11. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,	ux(l1, y, t) = 0, uy(x, 0, t) = 0, u(x, l2, t) = 0,
u(x, y, 0) = x,	ut(x, y, 0) = 1;

48

12.

utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,

u(l1, y, t) = 0,

uy(x, 0, t) = 0,

u(x, l2, t) = 0,

u(x, y, 0) = ey sin

π

x,

ut(x, y, 0) = y sin

3 π

x;

l1

l1

13.

utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,

ux(l1, y, t) = 0,

u(x, 0, t) = 0,

u(x, l2, t) = 0,

u(x, y, 0) = ex sin

π

y,

ut(x, y, 0) = x sin

5 π

y;

l2

l2

14.

utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,

ux(l1, y, t) = 0,

u(x, 0, t) = 0, u(x, l2, t) = 0,

u(x, y, 0) = x ey, ut(x, y, 0) = y ex;

15. utt = a2 (uxx + uyy),

u(0, y, t) = 0,	ux(l1, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, uy(x, l2, t) = 0,
u(x, y, 0) = x y,	ut(x, y, 0) = x + y;

7.Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

Рассмотрим задачу Коши

ut = a2

u + f(x, t), x Rn, t > 0.

f

u

u t=0 = u0(x),

где

и

0 заданные функции.

Если функция f C2

R+{0} и все её производные до второго по-

рядка ограничены в

каждой полосе 0

≤

t

≤

T, а функция u

0

C(

R

n)

49

и ограничена, то решение исходной задачи Коши в классе функций u(x, t), ограниченных в каждой полосе 0 ≤ t ≤ T существует, единственно и выражается формулой Пуассона

u(x, t) =

1

u

(ξ) exp

x − ξ|2

dξ+

n Zn

2 a √π t

0

−

| 4 a2 t

t

R

+

Z Zn

f(ξ, τ)

exp

x − ξ|2

dξ dτ.

2 a π (t

−

τ)

n

−4 a| 2 (t

−

τ)

0

R

p

Пример 1. Решим следующую задачу Коши: ut

= 4 uxx + 2 x t,

u

=0

= e−x.

В

данном

случае

a =

2, n

= 1,

u0(ξ) = e−ξ,

f(tξ, τ) = 2 ξ τ. Будем вычислять интегралы по отдельности.

1

u

(ξ) exp

x − ξ|2

dξ =

2 a √π t

n Zn

0

−|

4 a2 t

R

+∞

−

2

+∞

1

Z

(x − ξ)

1

Z

e−(x−4

√

s)−s2 ds =

=

exp

ξ

dξ =

t

4 √π t

−

16 t

√π

−∞

−∞

e4 t−x

+∞

2

e4 t−x

+∞

2

=

√

Z

e−s +4 √t s−4t ds =

√

Z

e−(s−2√t) ds = e4 t−x.

π

π

−∞

−∞

Вычисляя аналогичным образом, найдём, что

t

Z Zn

f(ξ, τ)

exp

x − ξ|2

dξ dτ = x t2.

2 a π (t

τ) n

−4 a|

2 (t

τ)

0 R

p

−

4 t

−

x

2

.

−

Таким образом, u(x, t) = e

+ x t

Замечание 1. Для случаев n = 2 и n = 3 поступаем аналогично тому, как поступали в случае волнового уравнения, а именно:

а) при n = 2 имеем, что ξ = (x1, y1), и далее переходим к полярным координатам x1 − x = r cos ϕ, y1 − y = r sin ϕ. В этом случае

+∞ 2 π

ZZ Z

...) dξ =	... r dϕ dr;
R2	−∞ 0

50