Optoelektronika_FULL_cropped

ляющая электрического поля на проводящих стенках куба равна нулю, на каждой из них будет выполняться граничное условие:

E ´ ni = 0 ,

(2.18)

где ni (i = 1, 2, … , 6) - вектор нормали к соответствующей грани куба. Решение волнового уравнения (2.8), удовлетворяющее граничным

условиям (2.18), имеет вид:
Ek = Ek 0 (x, y, z)× sin(ωt + φk 0 ),	(2.19)

где φk 0 - начальная фаза колебаний. Пространственная конфигурация поля в полости соответствует стоячим световым волнам вида:

Ek 0x	= Eka0x × cos (kx x)× sin(ky y)× sin(kz z),
Ek 0 y	= Eka0 y × sin(kx x)× cos (ky y)× sin(kz z),	(2.20)
Ek 0z	= Eka0z × sin(kx x)× sin(ky y)× cos (kz z),

причем составляющие волнового вектора удовлетворяют соотношениям:

				kx2 + ky2 + kz2 = k 2 ,					(2.21)
	kx = mx	π	,	ky = my	π	, kz = mz	π	,	(2.22)
		L			L		L

где mx , my , mz = 0,1, 2, ... - произвольные целые числа.

Из уравнения Максвелла (2.3) и материального уравнения (2.5) сле- дует, что для электронейтральной среды, заполняющей полость,

ÑEk = 0.	(2.23)
Согласно выражению (2.19), это означает, что
ÑEk 0 = 0.	(2.24)

Выполняя дифференцирование в (2.24) с учетом выражений (2.20), не- трудно убедиться, что для стоячих световых волн в полости

Ek k = 0.

(2.25)

Это равенство говорит об ортогональности векторов E и k . Если числа mx , my и mz заданы, то вектор k определен и в перпендикулярной ему плоскости остаются только две степени свободы для выбора направле-

ния вектора E . Другими словами, при заданном k световая волна может иметь два независимых состояния поляризации.

Как следует из выражений (2.20), числа mx , my и mz определяют

количество узлов стоячей волны в полости по соответствующим коор- динатным осям. Таким образом, пространство волновых векторов обра- зует трехмерную решетку, координаты узлов которой задаются форму- лами (2.22). Объем элементарной ячейки этой решетки равен

	kx k y kz =	8π3	.	(2.26)
		L3

Каждой такой ячейке соответствуют две стоячие волны (моды) со вза- имно ортогональными поляризациями.

Рассчитаем число мод, приходящихся на частотный интервал от ω до ω + dω . Волновое число k и частота ω связаны соотношением

ω = υk . Поэтому в k-пространстве данному интервалу частот соответст- вует шаровой слой радиусом k = ωυ , толщиной dk = dωυ и объемом 4πk 2dk = 4πω2dωυ3 . Обозначим плотность состояний поля в полости через g(ω). Разделив объем шарового слоя на объем элементарной

ячейки, на ширину спектрального интервала dω, на объем полости V и умножив на 2, чтобы учесть две возможные поляризации, получим:

	g(ω) =	ω2	.	(2.27)
		π2υ3

Полученный результат не зависит от формы и размеров полости. Поэтому при L → ∞ и υ = c выражение (2.27) дает плотность мод свето-

вого поля в свободном пространстве (вакууме).

Разложение поля на осцилляторы. Итак, световое поле можно представить в виде набора дискретных волн (мод) с различными значе-

ниями вектора k . Запишем энергию колебаний для k-той моды поля:

Uk (t) =		r	r
	1	ò(εε0 Ek2	+ μμ0 Hk2 )dV .	(2.28)
	2V

Поскольку электрическая и магнитная составляющие волны имеют оди- наковую энергию, вместо формулы (2.39) можно записать:

	Uk (t) = òεε0 Ek2dV .							(2.29)
			V
Выразим напряженность электрического поля через векторный по-
тенциал с помощью формул (2.11), (2.13) и (2.14):
r	0k e	−i(ω	t − krr)	r	i(ω	t − krr)	].	(2.30)
Ek = iωk [a		k		− a0k e	k

Так как мгновенное значение энергии поля недоступно для измерения, усредним Uk (t) по периоду световых колебаний. Подставив выражение

(2.30) в формулу (2.29) и выполнив усреднение по времени, получим:

Uk = 2Vεε0a0k a0k .

(2.31)

Введем новые переменные Qk и Pk , определив их соотношениями

Q =

(a

+ a

),

(2.32)

εε V

0k

k

0

0k

P

= − iω

(a

− a

).

(2.33)

εε V

0k

k

k

0

0k

Тогда a

0k

и a

выразятся через Q

и P следующим образом:

0k

k

k

r

1

r

r

a0k

=

(ωk Qk

+ iPk ),

(2.34)

2ωk

εε0V

r

r

r

1

a

=

(ω Q

− iP

).

(2.35)

0k

2ωk

εε0V

k k

k

Дивергенция векторного потенциала, согласно формуле (2.10), равна ну- лю. Используя выражение (2.13) для Ak (r, t), легко убедиться, что

ka0k = ka0k = 0 .		(2.36)
При этом из (2.32) и (2.33) сразу же следует, что
kQk = 0	и kPk = 0 .	(2.37)
Таким образом, векторы Qk и Pk	перпендикулярны направлению рас-

пространения волны, а следовательно, имеют по два независимых на- правления поляризации, которые мы будем обозначать индексом σ .

Подставляя a0k и a0k из выражений (2.34) и (2.35) в формулу (2.31)

для средней энергии, находим:			1	(P2		).
U		=			+ ω2Q2		(2.38)
	kσ		2	kσ	k kσ

Выражение (2.38) представляет собой гамильтониан классического гар-

монического осциллятора. Для того чтобы получить полную энергию поля U, необходимо просуммировать значения Ukσ по двум поляризаци-

ям σ и всем возможным значениям волнового вектора k :

		2		2	1	(Pk2σ + ωk2Qk2σ ).
	U = å åUkσ = å å						(2.39)
					2
	kr	σ = 1	kr	σ = 1

Вторичное квантование: переход к фотонному представлению.

При исследовании поведения квантовомеханических объектов во време- ни используются два различных подхода. В первом исследуется измене- ние состояния данного микрообъекта во времени. Во втором изучается изменение числа микрообъектов в определенном квантовом состоянии. В отношении оптического излучения первый подход применить нельзя, т. к. при взаимодействии света с веществом фотоны рождаются или ис- чезают и следить за изменением состояния какого-либо отдельного фо- тона невозможно. Поэтому вторым подходом, который называется ме-

тодом вторичного квантования. В этом методе переменные Pkσ и Qkσ

заменяются соответствующими квантовомеханическими операторами

ˆ	ˆ
Pkσ	и Qkσ , а гамильтониан светового поля приобретает следующий вид:

ˆ

2

ˆ

2 1

ˆ

2

2

ˆ 2

H = å å H kσ =

å å

(Pkσ

+ ωk

Qkσ ).

(2.40)

kr σ = 1

kr σ = 12

ˆ

ˆ

подчиняются коммутационному соотношению:

Операторы Pkσ

и Qkσ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

= ih ,

(2.41)

[Qkσ,

Pkσ

]= Qkσ Pkσ - Pkσ Qkσ

ˆ

и

ˆ

где h - постоянная Планка. Заменим Pkσ

Qkσ на другие операторы:

1

ˆ

ˆ

aˆkσ

=

(ωk Qkσ

+ iPkσ ),

(2.42)

2hωk

+

1

ˆ

ˆ

aˆkσ

=

(ωk Qkσ

- iPkσ ).

(2.43)

2hωk

Можно показать, что коммутатор введенных операторов равен

[aˆkσ , aˆk+σ ]= aˆkσ aˆk+σ - aˆk+σ aˆkσ

=1,

(2.44)

а гамильтониан светового поля запишется следующим образом:

ˆ =

2

æ ˆ+

ˆ

+

1

ö

(2.45)

H

å åhωk çakσ akσ

2

÷ .

kr

σ = 1

è

ø

Рассмотрим физический смысл операторов aˆk+σ и aˆkσ . Введем вол- новую функцию ψkσ (nkσ , t), квадрат модуля которой дает вероятность того, что в момент времени t в kσ -состоянии (моде с волновым векто- ром k и поляризацией σ ) будут обнаружены nkσ фотонов. Действия операторов aˆk+σ и aˆkσ на функцию ψkσ (nkσ , t) определяются формулами:

aˆk+σψkσ (nkσ , t) =				ψkσ (nkσ + 1, t),	(2.46)
	nkσ + 1
aˆkσψkσ (nkσ , t) =			ψkσ (nkσ -1, t).		(2.47)
		nkσ

Единица в подкоренном выражении формулы (2.46) отвечает за процесс спонтанного испускания фотона, а nkσ – за вынужденные переходы с

испусканием (формула (2.46)) и поглощением (формула (2.47)) фотона

соответственно. Поэтому величина aˆk+σ

называется оператором рожде-

ния, а

aˆkσ - оператором уничтожения фотона.

Запишем уравнение для стационарных состояний поля k-й моды:

ˆ

(2.48)

Hkσψkσ =Ukσψkσ .

ˆ

Подействуем введенным оператором Hkσ на волновую функцию ψkσ :

æ

+

1 ö

é

+

1

ù

ˆ

ˆ

+

÷ψkσ

(

nkσ , t

) =

ˆ

nkσ ψkσ

(

nkσ

-

1, t

) +

ψkσ

(

) =

hωk çakσ akσ

hωk êakσ

2

nkσ , t ú

è

2 ø

ë

1

û

æ

ö

= hω

çn

+

÷ψ(n

, t).

(2.49)

2

k è

kσ

ø

kσ

Сравнивая полученный результат с уравнением (2.48), замечаем, что

			æ			1	ö
U		= hω	çn		+		÷ .	(2.50)
						2
	kσ	k è		kσ			ø

	Отсюда для полной энергии светового поля получаем:
	2	æ	1	ö
	U = å åhωk çnkσ +			÷ .	(2.51)
			2
	kr σ = 1	è		ø

Полная энергия поля представляет собой сумму энергий отдельных фотонов, “населяющих” все моды поля.

Когерентность волн и статистика фотонов. Очевидно, что кван-

товая структура поля тем менее заметна, чем большее число фотонов со- держится в одной моде поля. Поэтому условием перехода от квантового

представления к волновому может служить соотношение
nkσ >> 1,	(2.52)

которое называется условием классичности. Физически возможность на-

копления множества фотонов в одном и том же квантовом состоянии обусловлена бозонным характером статистики фотонов. Бозоны, в отли- чие от фермионов, могут занимать одно и то же квантовое состояние в неограниченном количестве, причем вероятность появления нового фо- тона в той же моде поля тем выше, чем сильнее эта мода уже заселена.

Когерентность световых волн - это согласованность протекания колебательных процессов, выражающаяся в закономерной связи между фазами, частотами, поляризациями и амплитудами этих волн.

Если все фотоны находятся в одном квантовом состоянии (моде), то мы имеем дело с плоской монохроматической световой волной с задан- ным волновым вектором и поляризацией. Близкие по свойствам поля дают одномодовые лазерами, работающие при значительном превыше- нии порога генерации. Этот случай соответствует полной когерентности световых колебаний. В другом предельном случае равновесного тепло-

вого излучения фотоны почти равномерно распределены по различным модам поля. Излучение такого типа некогерентно. Таким образом, коге- рентность излучения принципиально связана с его неравновесностью. С другой стороны, когерентность излучения тем выше, чем сильнее выра- жены его волновые и слабее - корпускулярные свойства. Поэтому усло- вие классичности светового поля (2.52) в известной степени определяет также и условие его когерентности.

Лекция 3. ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Тепловое излучение. Тепловым называют электромагнитное излу- чение тела, находящегося в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой. Такое излучение испускается всеми телами при любых температурах T отличных от нуля.

Для абсолютно черного тела спектральная плотность энергии рав-

новесного излучения в единице объема дается формулой Планка
u(ω) = g(ω)× f (ω, T )× hω =	hω3	×	1				,	(3.1)
				hω
	π 2c3
			e kT -1
где k - постоянная Больцмана, hω - энергия фотона,						g(ω) - плотность

состояний поля, f (ω, T ) - вероятность заполнения состояний фотонами,

задаваемая функцией распределения Бозе - Эйнштейна
f (ω, T ) =	1				.	(3.2)
		hω
	e kT			-1

Формула Планка справедлива при любых температурах и для любых частот, поэтому из нее следуют все законы теплового излучения.

Излучение абсолютно черного тела используется в оптоэлектронике для калибровки источников и приемников излучения.

Люминесценция. По определению Вавилова - Видемана, люми-

несценция - это излучение избыточное над тепловым излучением тела при данной температуре и продолжающееся после прекращения возбу- ждения в течение времени, превышающего период световых колебаний.

Для возбуждения люминесценции энергия должна подводиться к телу каким-либо нетепловым способом. По способу возбуждения выде- ляют несколько видов люминесценции. Фотолюминесценция - свечение вещества под действием оптического излучения (обычно видимого или ультрафиолетового). Электролюминесценция - свечение под действием электрического поля (связана с протеканием через вещество электриче- ского тока). Катодолюминесценция - свечение вещества при бомбарди- ровке его пучком быстрых электронов. Радиолюминесценция - свечение некоторых сред под действием продуктов радиоактивного распада (α -, β - и γ -лучей) и космического излучения. В современной оптоэлектро-

нике чаще всего используется электролюминесценция твердых тел.

Спонтанное и вынужденное излучение. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из атомов одного сорта. В энергетическом спектре атомов выделим два уровня с энергиями Ei и E j (рис. 3.1).

Ei

Aij	Bij	B ji	Рис. 3.1. Оптические переходы
		E j	в двухуровневой системе

Между выделенными уровнями возможны оптические переходы трех типов: спонтанные переходы с излучением ( Aij ), вынужденные пе-

реходы с излучением ( Bij ) и с поглощением ( B ji ) света. Энергия испус-

каемого (поглощаемого) при этом кванта равна ωij = (Ei − E j ) h, а ве-
роятности соответствующих переходов равны:
p sp = A ,				(3.3)
	ij		ij
pijst	= Bij u(ωij ),			(3.4)
p st	= B	ji	u(ω ).	(3.5)
ji			ij
Здесь Aij - коэффициент Эйнштейна для спонтанных переходов,				Bij и

B ji – коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов с испус-

канием ( Bij )

и поглощением ( B ji ) кванта,

u(ωij ) - плотность энергии

излучения на частоте ωij

в расчете на единицу объема. Коэффициенты

Aij , Bij и B ji

связаны между собой соотношениями:

A =

hω3

B

ij

;

B

ij

=

g j

B

ji

,

(3.6)

ij

π 2υ2υg

gi

где υ и υg - фазовая и групповая скорости света в веществе, gi

и g j -

кратности вырождения или статистические веса уровней i и j.

Положительная и отрицательная люминесценция. Так как лю-

минесценция есть превышение спонтанного излучения над тепловым излучением системы, для мощности люминесценции имеем:

é

æ n

j

öù

P (ω

ij

)=

ê

A n

i

- g

B

ij

u(ω

ij

)ç

-

ni

÷

hω

ij

,

(3.7)

l

ij

i

ç

÷ú

ë

è g j

gi øû

где u(ωij ) - плотность теплового излучения, ni и n j - населенности

верхнего и нижнего уровней. В состоянии термодинамического равнове- сия населенности уровней распределены по Больцману:

	n	i		n j		−	hωij
			=		e		kT ,		(3.8)
				g j
	gi

Если в результате нарушения равновесия окажется, что

	ni		n j		−	hωij
		>		e		kT ,		(3.9)
	gi		g j

то мощность люминесценции будет положительной. При выполнении обратного соотношения мощность люминесценции окажется отрица- тельной. Понятие об отрицательной люминесценции впервые было вве- дено Б. И. Степановым в 1955 - 1956 годах.

Оптическое усиление и суперлюминесценция. Введем коэффи-

циент поглощения в среде на частоте ωij в расчете на единицу длины α(ωij ). Тогда выражение (3.7) можно переписать в виде:

Pl (ωij )= Psp (ωij )− υg α(ωij )u(ωij ).

(3.10)

Сравнивая формулы (3.7) и (3.10), для коэффициента α(ωij ) получаем:

α(ω

)=

hωij

æ n j

n

ö

ij

g

i

B

ç

-

i

÷.

υg

ij ç

÷

è g j

gi ø

Согласно данному выражению и формуле Больцмана поглощения системы в состоянии равновесия равен

(3.11)

(3.8), коэффициент

α(ω )=

hωij

n j

æ

−

hωij ö

g

B

ç1 - e

÷

kT

> 0 ,

(3.12)

g

ij

υ

g

i

ij

ç

÷

j è

ø

т. е. в отсутствие возбуждения этот коэффициент положителен. Соглас- но формуле (3.11), он станет отрицательным, если окажется, что

	ni	>	n j	.	(3.13)
	gi		g j

Если к соотношению (3.13) применить формулу Больцмана, то одновре- менно следует предположить, что температура системы отрицательна:

T < 0 .

(3.14)

Состояние вещества, при котором выполняется условие (3.13) или

(3.14), называется состоянием с инверсной населенностью уровней, или состоянием с отрицательной температурой. Такое состояние может возникнуть, если вещество подвергается достаточно мощному внешнему возбуждению нетепловой природы. Такого рода внешнее воздействие называется накачкой, а вещество с инверсной населенностью уровней -

активным веществом.

Отрицательность коэффициента поглощения означает, что вещест- во в инверсном состоянии способно усиливать падающее на него излу-

чение, т. е. может служить оптическим квантовым усилителем. Кроме того, в инверсной среде неизбежно возникает собственная люминесцен-

ция − результат спонтанных переходов, стремящихся вернуть систему в равновесное состояние. Испускаемые при этом кванты будут вызывать вынужденные переходы. Собственную люминесценцию, усиленную за счет вынужденного излучения, называют усиленной люминесценцией,

или суперлюминесценцией.

Лазерная генерация. Для превращения оптического усилителя в

оптический квантовый генератор или лазер необходимо обеспечить по- ложительную оптическую обратную связь достаточной величины.

1			3	4				2
Рис. 3.2. Схема лазера:
1 и 2 − зеркала резонатора; 3 − активное вещество;
4 − система накачки
				L

Такая положительная обратная связь создается путем помещения активного вещества в открытый оптический резонатор, образованный

двумя параллельными зеркалами и не имеющий боковых поверхностей (рис. 3.2). По крайней мере одно из этих зеркал делается полупрозрач- ным для вывода генерируемого излучения из лазера.

Рассмотрим условия самовозбуждения лазера. Введем обозначение:

g = − α(ωij ).

(3.15)

Параметр g называется коэффициентом усиления активной среды по ин- тенсивности. Помимо усиления, распространяющийся в среде свет ис- пытывает потери, обусловленные посторонними механизмами поглоще- ния, рассеянием на неоднородностях и т. п. Эти потери, называемые внутренними, мы будем характеризовать коэффициентом αi . Кроме то-

го, существуют внешние потери, обусловленные выходом излучения из активного вещества через зеркала резонатора, дифракцией и другими причинами. Потери на выход излучения через зеркала называют полез- ными потерями, благодаря этому процессу можно использовать генери- руемое лазером излучение.

r1	A		r2	Рис. 3.3. К выводу условий само-
	A
				возбуждения лазера
0	z A	L		z

Представим напряженность электрического поля световой волны в точке A с координатой z A (рис. 3.3) в виде:

EA = E0e−i(ωt − kzA + φ0 ) .

(3.16)

После полного (двойного) обхода резонатора световой волной и возвра- щения ее в ту же точку A напряженность поля окажется равной

				1	(g − α )2L		e−i[ωt − k(zA + 2L) + φ0			] =
	E = E r e−iδφ1 r e−iδφ2 e 2
						i
	0	1	2
			= r r e−i(δφ1 + δφ2			+ 2kL) + (g − αi )L E		A	.	(3.17)
			1 2

Здесь r1 и r2 - модули коэффициентов отражения зеркал резонатора по амплитуде, δφ1 и δφ2 - фазовые сдвиги при отражении от зеркал, L -

длина резонатора, полностью заполненного активным веществом. Коэффициенты отражения зеркал по интенсивности R1 и R2

выражаются через r1 и r2 :	= r 2				= r 2 .
R		;	R	2		(3.18)
1	1				2

Если квантовая система работает как генератор, то напряженность поля в точке A должна оставаться неизменной ( E = EA ). Таким образом,

условием стационарной генерации является выполнение равенства

			−i(δφ1 + δφ2	+ 2kL) + (g − αi )L
	R1R2 × e				=1.	(3.19)

Используя формулу Эйлера для комплексных чисел и приравнивая по отдельности действительные и мнимые части в формуле (3.19), получим:

				sin(δφ1 + δφ2 + 2kL) = 0 ,			(3.20)
				× e(g − αi )L × cos (δφ + δφ		+ 2kL) =1.	(3.21)
	R R		2		2
1				1
Так как k = 2π λ ,		для выполнения условия (3.20) необходимо,					чтобы

длина волны излучения удовлетворяла следующему соотношению:

				4π	λq æ				δφ + δφ		ö
δφ	+ δφ	2	+		L = 2πq или L = q		ç1	-	1	2	÷ , (3.22)
1				λq	2 è				2πq		ø

где q - целое число. Так как для всех лазеров L >> λ значение q очень

велико (порядка 103 для полупроводниковых и 106 для газовых лазе- ров). Поэтому при q >> 1 вместо формул (3.22) можно записать:

	L = q	λq	.	(3.23)
		2

При выполнении условия (3.20) косинус в выражении (3.21) равен еди- нице, откуда сразу же следует, что

g = αi +	1	ln	1	.	(3.24)
	2L
			R1R2

Соотношения (3.23) и (3.24) носят названия фазового (интерферен-