3. Примеры и задачи

Пример 5.18.

Насос перекачивает мазут по всасывающей линии трубопровода длиной ℓ, диаметромdи шероховатостью поверхности трубы 0,1 мм. Уровень жидкости в бакеH, показание вакуума на входе в насосp_v, а ртутного манометраh_рт, коэффициент местных сопротивленийx_м= 2,5.

Рассчитать расход Q.

Дано: вязкость 75 мПа∙с, плотность 890 кг/м³,ℓ= 7 м, d= 150 мм,H= 4 м, p_v= 50 кПа,h_рт=100 мм.

Решение :

Если жидкость несжимаемая, то силы инерции учитываются инерционным напором. Тогда для горизонтального трубопровода Ź1=Ź2, постоянного диаметра v1=v2, после выключения насоса р1=р2=ра, уравнение Бернулли для

4. Расчет газопроводов при Больших перепадах давлений

5. Гидравлический удар в трубах

Резкое повышение давления воды в трубах при внезапном перекрытии трубопровода было известно в водопроводной технике давно; это явление было названо "гидравлическим ударом" (потому что оно часто сопровождается появлением звука, сходного со звуком при ударе молотка по твердому телу, а иногда и сильным сотрясением трубы).

Теоретические исследования явления гидравлического удара были начаты также давно, однако только в конце прошлого столетия эта задача была решена Н.Е. Жуковским.

Исследования Н.Е. Жуковского показали, что гидравлический удар представляет собой сложный физический процесс и что все явления гидравлического удара объясняются возникновением и распространением ударной волны, происходящей от сжатия воды и расширения стенок трубы.

Упрощенно (пренебрегая рядом факторов, и в том числе потерями напора) процесс гидравлического удара можно представить себе так.

Пусть из резервуара большой емкости выходит горизонтальная труба, по которой в стационарных условиях протекает вода со скоростью . На расстоянииlот входного сечения находится задвижка, которую можно закрыть как угодно быстро. Предположим это закрытие мгновенным. Тогда частицы жидкости, которые непосредственно соприкасаются с поверхностью задвижки, мгновенно остановятся, затем остановится ближайший к ним слой жидкости. Произойдет очень быстрое сжатие этого слоя, и давление в нем увеличится. Назовем это увеличение давления ударным давлением. Затем остановится и сожмется следующий слой жидкости, и в нем также увеличится давление; далее сжатие будет распространяться по всей длине трубы в направлении от задвижки к резервуару.

Пусть за интервал времени Δt повышенное, т.е. ударное давление достигнет резервуара. Если обозначить расстояние от резервуара до задвижки черезl, то скорость распространения ударного давления

с = l/ Δt

Величину сназывают скоростью ударной волны.

В момент достижения ударной волной входного отверстия (т.е. резервуара) вся вода в трубе окажется сжатой, скорости всех частиц равными нулю и давление повышенным против первоначального, т.е. большим давления, обусловливаемого уровнем воды в резервуаре. Поэтому начнется отток жидкости из трубы в резервуар и постепенно вся жидкость в трубе придет в движение в направлении к резервуару; при этом давление будет уменьшаться до его первоначального значения. Когда это давление достигает задвижки, жидкость движется в трубе в сторону резервуара с некоторой скоростью, после чего начинается ее послойная остановка (начиная с сечения у задвижки) с понижением давления. Когда скорость во всей трубе станет равной нулю, пониженное давление достигнет входного сечения трубы; после этого наступит стадия послойного восстановления движения с первоначальной скоростью в сторону задвижки. Через промежуток времени Δt эту начальную скорость приобретает последний у задвижки слой жидкости, и так как задвижка является препятствием для передвижения жидкости, то снова возникнет "гидравлический удар", т.е. описанное явление повторится.

Рис. 5.37

В действительности явление удара гораздо более сложное, так как стенки трубы обладают упругостью (расширяются и сжимаются при изменениях давления в жидкости); жидкость также обладает упругостью, и, кроме того, в потоке возникают сопротивления движению жидкости, в результате чего колебания давления в трубе затухают. Расчеты этих колебаний довольно сложны, и мы их здесь не будем касаться, ограничиваясь определением повышения давления Δpв горизонтальной трубе у задвижки при мгновенном ее закрытии. С этой целью составим уравнение количества движения, отнеся его ко всей массе жидкости в трубе, т.е. к массе, равнойplπd²/4 и ко времениΔt, в течение которого ударное давление, возникшее у задвижки, достигнет резервуара.

Количество движения указанной массы в начальный момент будет равно:

[KД]_t = plυπd²/4

Количество движения этой же массы в конечный момент (через промежуток времени Δt) будет равно нулю, так как в этот момент все частицы указанной массы останавливаются (их скорость υ=0). Следовательно:

[KД]_t+dt=pl·0·πd²/4=0.

Итак, приращение количества движения за время Δt

[KД]_t+dt -[KД]_t= πd²/4[p₁-(p₁+Δp)]Δt=- πd²/4ΔpΔt

Определим сумму импульсов всех сил, действовавших на эту массу в течение времени Δt.Импульс силы тяжести и силы давления со стороны стенок трубы равен нулю, так как эти силы нормальны оси трубы. Силы давления на торцовые сечения дают в сумме импульс, равный:

(P₁-P₂)Δt=πd²/4[p₁-(p₁+Δp)]=-ΔpΔtπd²/4

Импульсами касательных напряжений на стенку пренебрегаем по малости.

Итак, имеем

-plυπd²/4=- ΔpΔtπd²/4,

откуда

Δp=pπl/Δt

Но l/Δt=с, т.е. скорости распространения ударной волны, а поэтому

Δp=pυc

Это есть формула Н.Е. Жуковского для определения величины гидравлического удара.

Из этой формулы следует, что величина ударного давления зависит от начальной скорости движения воды в трубе и от скорости распространения ударной волны.

В то же время скорость сзависит от упругих свойств жидкости и от упругих свойств трубопровода.

Если бы стенки трубы были абсолютно жесткими, то скорость распространения ударной волны совпадала бы со скоростью распространения звука в жидкости; последняя равняется, как об этом уже упоминалось,

c_=√E₀/p,

где Е₀модуль упругости жидкости.

Для воды Е₀= 1,96∙10⁹Па иc_= 1400 м/с.

В действительности стенки трубы упруги; поэтому скорость распространения ударной волны определяется из формулы

c=√E₁/p,

где Е₁кажущийся модуль упругости жидкости, определяемый из формулы

E₁=1/(1/E₀+d/E_δ)

(здесь d диаметр трубы; Емодуль упругости материала стенок трубы, например, для сталиЕ₀= 1,96∙10¹¹ Па; δтолщина стенок трубы).

Таким образом, в развернутом виде формула Жуковского записывается в виде

Δp=pυ1/√p(1/E₀+d/E_δ)

Из этой формулы видно, что чем выше эластичность материала (т.е. чем меньше модуль упругости материала стенок трубы) и чем больше диаметр трубы и меньше толщина стенок, тем меньше величина гидравлического удара.

Явление гидравлического удара носит периодический характер. Действительно, после достижения резервуара ударная волна отразится и со скоростью сбудет распространяться к задвижке. Общее время пробега прямой и отраженной (обратной) ударных волн составляет длительность фазы гидравлического удараT_ф=2l/c. Далее циклы повышений и понижений давления будут чередоваться с промежутками времениT_фдо тех пор, пока под влиянием гидравлических сопротивлений этот колебательный процесс не затухнет.

Рассмотренные выше решения справедливы при мгновенном закрытии задвижки (t_з =0). Если время полного закрытия задвижкиt_збольше, чем длительность фазы гидравлического удараT_ф, то повышение давления в этом случае можно определять по формуле

Δp=pυcT_ф/t_з.

Для предохранения трубопровода следует или не допускать быстрых закрытий запорных устройств трубопроводов, или устанавливать демпфирующие воздушные колпаки. Для газопроводов и воздуховодов величина гидравлического удара обычно мала.