- •Система открытого образования
- •Часть II
- •Б бк 65.5
- •Теория пределов Вопросы для повторения
- •Элементы дифференциального исчисления
- •Построить графики функций:
- •Элементы интегрального исчисления (неопределенные интегралы)
- •Установить расходимость ряда, пользуясь необходимым условием сходимости
- •Пользуясь признаками сравнения, изучить сходимость рядов
- •С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряды
- •С помощью признака Коши исследовать на сходимость ряды
- •Функциональные ряды
- •Знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями (оду). Контрольные вопросы к теме
- •Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Найти частные решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
- •Учебное издание
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Элементы дифференциального исчисления
Контрольные вопросы к теме
Понятия приращения аргумента и приращения функции.
Производная функции, ее геометрический смысл.
Понятие дифференцируемости функции.
Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.
Понятие сложной и обратной функции.
Правила вычисления производных сложной и обратной функций.
Основные теоремы дифференцирования.
Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.
Производные высших порядков.
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Пример. Найти производную функции:
Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, – необходимо применять прием логарифмического дифференцирования.
Этот прием основан на соотношении
.
Решение:
Найти производные функций методом логарифмического дифференцирования
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Найти производную функции, заданной неявно
Ответ:
Ответ:
Ответ:
|
|
|
|
Найти производные порядка
Если и- функции, имеющие производные порядка, то
;
-формула Лейбница.
;
;
;
;
;
;
;
.
Составить уравнения касательных и нормалей к кривым
Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид
, а уравнение нормали –
в точке
Касательная
Нормаль
в точке
в точке
в точке
в точке
в точке
Найти дифференциалы функций
Если идифференцируемые функции от
|
|
|
|
|
|
Вычислить приближенно
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить пределы с использованием правила Лопиталя
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование функций одной переменной
Контрольные вопросы к теме
Критерии монотонности функции.
Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.
Понятие стационарных точек функции.
Области выпуклости графика функции и точки перегиба.
План исследования функции и построение ее графика.
Интерполяция и аппроксимация функций.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Формула Тейлора и формула Маклорена.
Понятие эмпирических функций.
Найти асимптоты кривой
Решение:
вертикальная асимптота
наклонная асимптота при
Исследовать функцию и построить график:
Пример.План исследования функции и построения ее графика рассмотрим на примере функции .
I.Область определения X =R.
Функция не является периодической.
функция четная
II. асимптота, причем,
Так как y(x)+приx+иy-приx-, то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных).
кроме горизонтальной асимптоты наклонных асимптот нет
III.Найти локальные экстремумы функции
;
Из уравнения находим стационарные точки при x = 1 и x = –1
IV.Найти точки перегиба функции
при ,и(точки перегиба)
при - максимум;при– минимум
V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.
x |
( |
– |
–) |
–1 |
(–1;0) |
0 |
y'(x) |
– |
– |
– |
0 |
+ |
+ |
y''(x) |
– |
0 |
+ |
+ |
+ |
0 |
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
точка пере-гиба |
|
|
|
точка пере-гиба |
x |
0 |
(0;1) |
1 |
1;) |
|
(; |
y'(x) |
+ |
+ |
0 |
– |
– |
– |
y''(x) |
0 |
– |
– |
– |
0 |
+ |
|
|
|
max |
|
|
|
|
точка пере-гиба |
|
|
|
точка пере-гиба |
|