Дифференцируемость функций в. Частные производные

Если у функции нескольких переменных зафиксировать (т.е. приравнять постоянной величине) все переменные, кроме одной, то тогда эту функцию можно рассматривать как функцию этой переменной. Рассмотрим отношение частного приращения функции по переменной :

к приращению аргумента :. Предел этого приращения при, если таковой существует, называется частной производной первого порядка функциипо переменной.

Определение: Частной производной функции нескольких переменных по одной из переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последняя стремится к нулю:

.

Частная производная от функции многих переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными. Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил дифференцирования, и можно пользоваться известными формулами дифференцирования функции одной переменной. Поскольку геометрическую трактовку имеют только функции двух переменных, то геометрический смысл частной производной можно установить на примере пространства . В этом случае функциязадает в пространстве поверхность.

Условие задает плоскость, перпендикулярную осии пересекающую ее в точке. Аналогично, условиесоответствует плоскости, перпендикулярной осии пересекающей ее в точке.

Обе плоскости пересекут поверхность и вырежут на ней плоские линиии. Частная производная, где– точка с координатами, совпадает с производнойв точке, а частная производнаясовпадает с производнойв точке. Эти производные равны тангенсам угла наклона касательных, проведенных, соответственно, к плоским линиямив точке.

При переходе к пространству геометрический смыслне изменяется и соответствует тангенсу угла наклона касательной, проведенной к сечению гиперповерхностисистемой гиперплоскостей, высвобождающих только одну координату.

Нетрудно показать, что если функции иимеют конечные частные производные, то конечные частные производные имеют и композиции этих функций вида,,и. При этом:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Дифференциал функции нескольких переменных

Функция , определенная в области и непрерывная в точке, называется дифференцируемой в точке, если полное приращениев некоторой окрестности точкиможно представить в виде:

,

где – постоянные;– бесконечно малые, стремящиеся к нулю при. Если не все значенияравны нулю, то величинаявляется бесконечно малой первого порядка и называется главной линейной частью приращения дифференцируемой функции или ееполным дифференциалом. Величинаявляется бесконечно малой более высокого порядка. Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции можно записать в виде.

Для дифференцируемых функций предел отношения частных приращений к приращению соответствующей переменнойимеет конечный предел при, равный, т.е. из дифференцируемости функциинепосредственно вытекает существование конечных частных производных этой функции и их равенство коэффициентамглавной части разложения полного приращения.

Под дифференциалом независимой переменной обычно понимают приращение этой переменной, т.е. .

Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть полного приращения этой функции.

Функция, имеющая дифференциал в данной области, называетсядифференцируемойв этой области. Если функциядифференцируема в данной области, то в этой области она непрерывна.

Теорема. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Доказательство: Пусть функциядифференцируема, т.е. имеет дифференциал. Для определения коэффициентоврассмотрим полное приращение функции. Тогда частное приращение функции пой переменной можно записать как. Отсюда следует, что. Переходя к пределу приэто равенство можно записать в виде. Аналогичные рассуждения справедливы для каждой изкомпонент. Таким образом, с учетом вышесказанного, выражение для полного дифференциала функцииможно записать как:

.

Совокупность всех частных производных вектора можно рассматривать как координаты вектора, который называется вектором-градиентом . При этом формула для вычисления полного дифференциала может рассматриваться как скалярное произведение вектора-градиента и вектора с координатами, равными дифференциалам независимых переменных, который называется вектором-приращением. Скалярное произведение принимает максимальное значение при условии, что вектора – сомножители сонаправлены. Таким образом, направление вектора-градиента является направлением наиболее сильного изменения функции.