Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

(3.5)

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное числоназывается корнем-й степени из, если, т.е.:

или

.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или(здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно,, а.

Таким образом, комплексное число , которое является корнем-й степени изимеет вид:

(3.6)

Придавая различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно,можно записать в виде, где. Тогда:

,

Т.е. значение аргумента при данном отличается от значения аргумента прина число, кратное. Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями. При таких значенияхполучаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше.

Итак, для каждого ненулевого числа существует ровно корней -й степени из .

Пример. Вычислить.

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

.

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

.

Отсюда полагая, что , получим:

;

;

.

Контрольные вопросы к лекции №3

1. Счетные и несчетные числовые множества.

2. Ограниченные множества.

3. Границы и грани множеств.

4. Соединения элементов.

5. Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний.

6. Понятие комплексного числа.

7. Понятие мнимой единицы (числа ).

8. Основные операции над комплексными числами.

9. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

10. Понятие модуля комплексного числа.

11. Понятие аргумента комплексного числа.

12. Охарактеризовать умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

13. Формула Муавра.

Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы

Основные понятия:

скалярная величина; векторная величина; коллинеарные векторы; компланарные векторы; единичный вектор; сложение векторов; проекция вектора; линейная комбинация векторов; линейная зависимость векторов; базис; координаты вектора; базисные орты; правая система координат; направляющие косинусы; скалярное произведение; векторное произведение; смешанное произведение.

Основные понятия

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величинойили скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величинойили вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный векторилинаправленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление,свободный векторили простовекторпредставляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

• направлением;

• длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой, где точкаесть начало вектора (его точка приложения), а‑ его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяилии равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора. Вектор, длина которого равна нулю, называетсянуль-вектороми обозначается.

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;

2. они параллельны;

3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, икомпланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором илиортом. Орт обозначатся.